2021年高考數學試題分析與2022年備考建議

廣西南寧市教育科學研究所（530012） 黎福慶

高考評價體系是新時代高考內容優化的理論支撐和探索指南。高考數學試題以高考評價體系為命題指導，確定考查理性思維、數學應用、數學探索和數學文化，突出考查邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力和創新能力。其具有基礎性、綜合性、應用性和創新性。在日常教學中，教師可通過創設課程學習情境、探索創新情境等落實考查要求。高考評價體系對高考數學備考指導具有重要意義。

一、2021 年高考數學試題（理科甲卷）考查特點

（一）以立德樹人為主要目標，推動德智體美勞全面發展

1.具有“重基礎、重應用、重時事、重生活”的特點，發揮實踐與應用的作用

如第2 題：為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如圖1 所示的頻率分布直方圖。根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（ ）。

圖1

A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%

B.該地農戶家庭年收入不低于10.5 萬元的農戶比率估計為10%

C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

解題思路：利用頻率分布直方圖所給相關數據估計該地農戶家庭年收入的平均值，可得答案C。

試題分析：考查內容為識圖（直方圖），要求學生學會從圖中抽取相關信息，解決相應問題。此題的解題關鍵是看懂直方圖中縱軸、橫軸等相關含義。本題考查學生的數據處理能力。

高考評價體系分析：以鄉村振興為情境，通過頻率分布直方圖給出某區域農戶家庭經濟情況的調研數據，考查學生的數據處理能力，具有基礎性和應用性的考查特點。

2.具有關注健康教育的特點

如第4 題：青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量。通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄法的數據V滿足L=5+lgV。已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據約為（ ）。

A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6

解題思路：根據給定的L，V關系，當L=4.9 時，求出lgV，再用指數表示，即可求解，答案為C。

試題分析：構造一個新穎的初等函數，要求考生分析其概念、圖像或性質，并解決與該函數有關的問題。

高考評價體系分析：圍繞社會普遍關注的青少年視力問題設置問題，凸顯身心健康是素質教育的主要內容，有利于促進學生增強身體素質，激發學生奮發向上的精神，體現了良好的指向性。本題考查學生的運算能力，著重培養數學應用和數學文化素養。

（二）體現從“知識立意”“能力立意”向“素養立意”的轉變

數學是訓練思維的基礎學科，數學的應用已融入每一個人的日常生活。2021 年高考數學試題十分重視數學的應用價值，考查考生的應用意識，在致力于提高學生分析和解決問題能力的同時更注重發展學生的數學學科核心素養。

如第8 題：2020 年12 月8 日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m)，三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一。如圖2 是三角高程測量法的一個示意圖，現有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′滿足∠A′C′B′=45°，∠A′B′C′=60°。由C點測得B點的仰角為15°，BB′與CC′的差為100；由B點測得A點的仰角為45°，則A，C兩點到水平面A′B′C′的高度差AA′-CC′約為（ ）。

圖2

A.346 B.373 C.446 D.473

解題思路：通過給已知圖形添加輔助線，將所求量轉化為求簡單三角形，借助正弦定理知識，進行運算求解，得到答案B。

試題分析：利用正弦定理、余弦定理和三角公式等，基于轉化思想、方程思想等，經過運算、推理，解決有關求線段長的問題。

高考評價體系分析：通過創設探索情境，考查平面幾何基本性質和三角函數基本知識等內容。學生在解題時經歷收集信息、加工信息、直觀內化、運算、解決問題等環節。本題突出“讀、想、畫、算、寫”的過程，考查學生發現、提出、分析和解決問題的能力，以及理性思維、數學應用等學科素養。

（三）增強開放性，探究創新

2021 年高考數學試題優化考查的內容，增強問題設計的創新性，凸顯高考的樹人導向，引導考生減少機械重復練習。

如第18 題：已知數列{an} 的各項均為正數，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立。①數列{an} 是等差數列；②數列是等差數列；③a2=3a1。注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分。

解題思路：選①③做條件證明②時，根據等差數列的求和公式表示出，再結合等差數列的定義可證；選②③做條件證明①時，設出=an+b，結合an，Sn關系求出an，根據a2=3a1可求b，進而可證{an}是等差數列。

試題分析：通過創設創新情境，利用等差（等比）數列的定義、性質以及函數的性質等知識，基于轉化思想和方程思想，經過變形證明問題。

高考評價體系分析：通過探索生活中的兩類基本數列模型，了解數列是存在遞推規律對象的數學模型。學生應掌握數列通項公式和求和公式的運用技巧。本題考查學生的邏輯思維能力和運算能力。

（四）小口切入，深入挖掘

如第20 題：拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x=1交C于P,Q兩點，且OP⊥OQ。已知點M(2,0)，且⊙M與l相切。（1）求C，⊙M的方程；（2）設A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切。判斷直線A2A3與⊙M的位置關系，并說明理由。

解題思路：根據拋物線與x=1 相交可設出其標準方程，再利用對稱性設出P，Q坐標，由OP⊥OQ求出P坐標，再由⊙M與直線x=1相切求半徑，得結論；對于第（2）小題，先考慮A1A2的斜率不存在，根據對稱性即可得出結論；若A1A2，A1A3，A2A3的斜率存在，由A1，A2，A3三點在拋物線上，可將直線A1A2，A1A2，A2A3的斜率分別用縱坐標表示，再由A1A2，A1A2與⊙M相 切，得 出y2+y3，y2y3與y1的關系，從而求出M點到直線A2A3的距離，即得結論。

試題分析：本題原型為已知一條直線和一條圓錐曲線的方程以及相應的幾何關系，第（1）問考查求含參曲線的方程，第（2）問考查曲線在運動過程中的定值問題等。試題以創新情境為導向，利用拋物線的某些性質或代數形式，通過列方程（組）求解，求其代數形式和幾何性質問題。此題從考查拋物線的概念及簡單幾何性質入手，問題解決切入口小，思維深度層層遞進，考查學生分析和解決問題的能力。

高考評價體系分析：選擇拋物線和直線為研究對象，從幾何特殊點出發引直線，選取恰當的參數值，提出與其中的線段關系或角有關的數量關系問題，考查與點、直線、曲線有關的幾何量的計算，歷經代數式、方程式以及函數解析式的變形，從而更好地考查學生的邏輯思維能力、運算求解能力和數學建模能力，提升學生的理性思維、數學應用、數學探索、數學文化四類學科素養。

（五）突出理性思維，考查關鍵能力

如第21 題：已知a＞0 且a≠1，函數f(x)=(x＞0)。（1）當a=2 時，求f(x)的單調區間；（2）若曲線y=f(x)與直線y=1 有且僅有兩個交點，求a的取值范圍。

解題思路：首先求導函數，利用導函數的正負與函數的單調性的關系即可得到函數的單調性。其次利用指數對數的運算法則，將曲線y=f(x) 與直線y=1 有且僅有兩個交點等價轉化為有兩個不同的實數根，即曲線y=g(x)與直線有兩個交點。最后利用導函數研究g(x)的單調性，并結合g(x)的正負、零點和極限值分析g(x)的圖像，得到0 ＜而這正好是0 ＜g(a)＜g(e)，根據g(x)的圖像和單調性可得到a的取值范圍。

試題分析：利用函數及其導數的概念、性質，通過列方程或不等式，解決有關問題，考查學生的推理能力。

高考評價體系分析：理性思維是數學素養中的核心內容。解題過程突出理性思維，考查學生的邏輯思維能力和運算能力，很好地將數學應用、數學探究等導入理性思維的軌道上。

二、2022年高考備考建議

（一）夯實基礎，落實“四基”

根據教材弄清知識的來龍去脈，讓知識結構更清晰。研究近年來的高考數學全國卷真題，復習高中階段所學知識的過程應是站在更高的角度，對舊知識產生全新認識的重要過程。在高一、高二階段的數學課中，教師主要以知識點依次傳授講解為主線索，因為后面的相關知識還沒有講到，所以不能進行縱向聯系。基于此，學生學到的是零碎的、散亂的知識。因而，在高三復習時，教師應明確教學主線是知識的縱向聯系與橫向聯系相結合，以確保學生掌握基礎知識和基本技能。

（二）深入研究高考真題，倡導“五個一”教學

將近年來的高考數學全國卷真題按照內容分類，歸納各類試題的題型結構；結合高考評價體系的考查特點；將高考題改編變式，歸納出試題“模胚”并分析解答過程得分點。

1.說一說。談談相關問題的特點、近期的考情等。

2.練一練。以高考真題及其變式和教材中的典型問題為聯系內容，約8分鐘現場完成訓練。

3.講一講。將一道高考真題或變式題作為例題，指導學生審題，分析解題思路，找到解題時需使用的基本公式、基本方法，指明規范表達解題過程的重要性。

4.測一測。給出相關變式題或高考真題，讓學生現場用10 分鐘的時間解答，之后再給出詳細的答案。

5.歸一歸。引導學生歸納試題命題方法及試題考查特點，并思考：如何提高書寫速度？小題如何變式？大家存在的主要問題及還需注意的地方有哪些？

（三）基于三個“常規化”有效備考

1.小題訓練常規化。年級統籌安排每周一個約50分鐘的小專題訓練。

2.章節統測常規化。每上完一章及時統測一次。統測題由一名骨干教師命制、一名老教師審閱，以確保其科學有效性。

3.集中輔導常規化。統籌安排每周一個晚自習時間段進行集中輔導。

以上只是筆者的粗淺認識，不當之處，請同行批評指正并提出寶貴意見。