借“搬移”巧添線 構全等變“通途”

黃萍

從全等三角形開始，幾何越發充滿智慧，有時一條輔助線能使“天塹”變“通途”。平移、旋轉、翻折等變換只改變圖形的位置，不改變形狀與大小，變換前后圖形全等。若把這幾種變換（組合）稱為“搬移”，我們可以通過“搬移”巧添輔助線，構造全等三角形，從而解決問題。

例 如圖1，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE=∠D，求證：AB=CD。

方法1 依托已知等邊“搬移”三角形

【分析】如圖2，延長AE到F，使EF=AE，連接CF，則△ABE≌△FCE，所以CF=BA，∠F=∠1=∠D，所以CD=CF=AB。

【點評】構造全等三角形是解決本題的關鍵。本題思路是利用倍長過中點的線段，構造“八字形”全等。

方法2 指向待證等邊“搬移”三角形

【分析】如圖3，在DE上取點F，使CF=BE，因為BE=CE，得CF=CE，則∠CFE=∠CEF，所以∠DFC=∠AEB。再根據∠1=∠D，證得△ABE≌△DCF，則AB=CD。

【點評】若待證的結論一定“真”，則由它也能打開思路。運用目標啟發思考也要學會哦。

研究圖形的基本視角是“邊”和“角”，我們前面利用相等的邊構造全等三角形，下面再看看相等的角。

方法3 由等角出發“搬移”三角形

【分析】基于∠1=∠D 這一條件，我們不妨“搬移”△CDE。如圖4，使∠D與∠1重合，可這樣敘述輔助線：在DE的延長線上取點F，使BF=BE。余下的小讀者自己完成哦！（方法2也可以認為是從“角”的角度考慮。）

從相等的邊和相等的角這兩個視角出發，還有其他搬移方法，同學們試試看吧！

初學全等，我們不妨借力“搬移”來投石問路，通過觀察，思考如何合理添加輔助線，構造全等三角形。當你和各種圖形“相處熟悉”了，解題自然就水到渠成啦！

（作者單位：江蘇省啟東市東安中學）