交通載荷作用下跨海橋梁-電纜組合結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動分析1)

張振鵬 趙健康 李文杰 趙鵬 黃凱文

(中國電力科學(xué)研究院有限公司,武漢 430074)

(電網(wǎng)環(huán)境保護(hù)國家重點(diǎn)實(shí)驗室,武漢 430074)

引言

隨著內(nèi)陸與島嶼、島嶼與島嶼之間的跨海大橋不斷建設(shè),越來越多的電纜采用沿跨海大橋敷設(shè)方式進(jìn)行[1-4].對于海島電力輸送而言,采用沿跨海大橋敷設(shè)電纜比沿海底敷設(shè)電纜具有更高的經(jīng)濟(jì)效益,且更加便于電纜的維護(hù)和檢修[5-7].當(dāng)電纜敷設(shè)于橋梁上時,橋上經(jīng)過的汽車和列車交通載荷會誘發(fā)橋梁的振動,從而引起電纜的振動,長期處于振動環(huán)境會導(dǎo)致電纜內(nèi)部產(chǎn)生額外的應(yīng)力且會導(dǎo)致構(gòu)件的疲勞問題[8-10].此外,電纜的機(jī)械振動會使得電纜同時承受溫度應(yīng)力和振動引發(fā)的彎曲應(yīng)力,使其內(nèi)部的應(yīng)力分布更加復(fù)雜,對電纜的介電性能產(chǎn)生不利影響[11].機(jī)械力和外部振動產(chǎn)生的應(yīng)力也會導(dǎo)致電纜絕緣材料的老化,從而使電纜絕緣性能降低甚至失效[12-14].張振鵬等[15]研究了交聯(lián)聚乙烯電纜在溫度和外部振動聯(lián)合作用下引起的電纜絕緣老化失效問題,研究結(jié)果表明機(jī)械振動加速了電纜絕緣層的老化.開展沿橋敷設(shè)電纜在交通載荷作用下引起的振動問題研究,對保證電纜的正常輸電功能和提高電纜耐久性具有必要性[16].

對于沿跨海橋敷設(shè)的電纜而言,由橋上行駛經(jīng)過的汽車和列車交通載荷引起的振動對電纜的影響不容忽略,在實(shí)際工程中往往也會采取相應(yīng)的減振措施[2,17].盡管沿橋敷設(shè)電纜的振動問題已經(jīng)逐漸被認(rèn)識到,但對橋上電纜振動響應(yīng)的特性和影響規(guī)律尚未研究透徹.實(shí)際上,引起橋梁振動的汽車和列車交通載荷包含有不同的頻率成份,在具有不同頻率成份交通載荷作用下的電纜動力響應(yīng)也會有區(qū)別.劉驥等[18]研究了外部載荷頻率對不同支撐條件下交聯(lián)聚乙烯電纜的內(nèi)部應(yīng)力和位移的影響規(guī)律,研究結(jié)果表明在共振頻率與非共振頻率外部載荷作用下,電纜內(nèi)部應(yīng)力、位移的幅值相差很大.隨著電纜服役年限的增長,外部振動可能導(dǎo)致絕緣層老化,護(hù)套開裂等現(xiàn)象,導(dǎo)致電纜無法完成電力輸送任務(wù)[19-20].同時,現(xiàn)代交通日益增長的車流量,進(jìn)一步加快了電纜的老化進(jìn)程.

本文建立了橋梁-電纜結(jié)構(gòu)整體組合分析模型,對沿跨海大橋敷設(shè)電纜在汽車和列車交通載荷作用下產(chǎn)生的隨機(jī)振動響應(yīng)展開研究.將交通載荷視為移動的隨機(jī)集中載荷序列,考慮引起車輛和橋梁振動的路面和軌道不平順性的隨機(jī)性,發(fā)展虛擬激勵法(pseudo-excitation method,PEM),通過構(gòu)造特定的虛擬移動載荷,求解虛擬響應(yīng),能快速地得到電纜響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差以及電纜響應(yīng)的演變功率譜.數(shù)值算例針對不同汽車和列車運(yùn)行速度,研究了不同行駛速度對電纜動力響應(yīng)的影響規(guī)律.本文工作為后續(xù)交通載荷引起沿橋梁跨海鋪設(shè)電纜振動及疲勞破壞和疲勞壽命評估問題的深入研究具有一定的參考價值.

1 計算模型及參數(shù)

1.1 跨海鋪設(shè)電纜有限元模型

本文分析所采用的電纜為220 k V 高壓交聯(lián)聚乙烯電纜,各層材料的主要物理特性參數(shù)[18]及厚度列于表1 中,圖1 中給出了電纜的結(jié)構(gòu)模型.根據(jù)電纜的結(jié)構(gòu)特征,并考慮到橋梁的長度較長,若采用實(shí)體單元來模擬電纜,節(jié)點(diǎn)自由度規(guī)模龐大,顯著消耗計算資源.對此,根據(jù)跨海橋梁電纜的細(xì)長結(jié)構(gòu)特征,在ANSYS 中用梁單元進(jìn)行模擬.當(dāng)電纜沿著跨海橋梁敷設(shè)時,通常會采用如圖2 所示的蛇形敷設(shè).其中,Ws為蛇形幅寬取0.24 m;Ls為蛇形節(jié)距取6 m.根據(jù)蛇形幅寬和節(jié)距,將電纜沿z軸方向的坐標(biāo)表示為正弦函數(shù).為了建模的便利性,將電纜各節(jié)點(diǎn)x軸坐標(biāo)間距取為0.5 m,并根據(jù)z軸坐標(biāo)沿電纜軸向變化的規(guī)律,得到電纜各個節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo),從而建立電纜的有限元模型.根據(jù)電纜各層材料參數(shù)和截面尺寸,分別定義相應(yīng)的材料特性和截面參數(shù),實(shí)現(xiàn)對鋪設(shè)電纜不同結(jié)構(gòu)層的模擬.

圖1 電纜結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of cable

圖2 電纜蛇形敷設(shè)形狀Fig.2 Snake-shaped laying shape of cable

表1 電纜各層材料參數(shù)[18]Table 1 Material parameters of each layer of cable[18]

1.2 橋梁-電纜組合結(jié)構(gòu)有限元模型

這里跨海橋梁分析模型采用典型的多跨連續(xù)梁橋,橋面和橋墩的材料及結(jié)構(gòu)參數(shù)列于表2 中.橋梁的有限元模型采用BEAM188 單元建立,單元長度設(shè)置為1 m.根據(jù)橋墩的結(jié)構(gòu)形式,假定橋墩在與樁基礎(chǔ)的交界面處為固定端約束.

表2 橋梁的結(jié)構(gòu)及材料參數(shù)Table 2 Material parameters of bridge

電纜沿跨海橋梁敷設(shè)時,每間隔一定距離均會采用電纜夾具對其進(jìn)行固定.由于夾具的剛度非常大,因此假定電纜在夾具位置處無法發(fā)生轉(zhuǎn)動,且假定電纜與橋梁是剛性連接的.將橋梁與電纜在連接節(jié)點(diǎn)處的自由度進(jìn)行耦合,從而建立如圖3 所示跨海橋梁-電纜組合結(jié)構(gòu)的分析模型.

圖3 跨海橋梁-電纜組合結(jié)構(gòu)分析模型Fig.3 Analysis model of the coastal bridge-cable composite strucuture

1.3 交通載荷的移動隨機(jī)載荷序列模型

當(dāng)橋上有汽車或者列車經(jīng)過時,橋梁主要在汽車車輪或列車輪對處受到集中力序列作用,在本文中采用移動隨機(jī)集中力序列來模擬汽車載荷或列車載荷對橋梁的作用.汽車采用5 軸貨車來模擬,列車采用8 節(jié)車廂編組的高速列車來模擬.汽車及列車的軸距及軸重(均值)如圖3 所示.列車前一車廂最后一組輪對與后一車廂第一組輪對的距離取 1 .1 m,不考慮車廂之間的水平方向連接作用力.當(dāng)汽車經(jīng)過橋梁時,分析時間自前輪上橋時起至后輪下橋時止.當(dāng)列車經(jīng)過橋梁時,分析時間自第1 節(jié)車廂的第1 組輪對上橋至列車最后1 節(jié)車廂最后1 對輪對下橋時止.為使問題分析和討論簡化,暫不考慮汽車和列車同時經(jīng)過橋梁時的情形.

2 橋梁-電纜隨機(jī)振動響應(yīng)求解的虛擬激勵法

當(dāng)汽車或列車從橋上經(jīng)過時,由于橋面的不平順性和軌道的不平順性,使得汽車和列車產(chǎn)生垂向的振動響應(yīng),導(dǎo)致圖3 中的移動集中力不再是確定的值.不平順性具有固有的隨機(jī)性本質(zhì),相應(yīng)的移動集中力也具有隨機(jī)性,需要結(jié)合隨機(jī)振動的功率譜分析理論來分析電纜的動力響應(yīng).

2.1 橋梁-敷設(shè)電纜結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程

在進(jìn)行橋梁-敷設(shè)電纜組合結(jié)構(gòu)的有限元離散后,可以得到結(jié)構(gòu)在移動隨機(jī)載荷序列作用下的運(yùn)動方程[21]

式中,n為橋梁-電纜組合結(jié)構(gòu)中橋梁的自由度數(shù)目.

車輛在橋上經(jīng)過時是連續(xù)移動的,用于橋梁-電纜結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析的移動集中載荷也應(yīng)當(dāng)是連續(xù)移動的.采用有限元方法進(jìn)行分析,載荷只能作用于有限元模型的節(jié)點(diǎn)上,需要將單元內(nèi)連續(xù)移動的集中力等效作用于節(jié)點(diǎn).移動集中力作用于單元內(nèi)部時,可用插值形函數(shù)將移動集中載荷等效作用于單元兩端的節(jié)點(diǎn)上[22].移動集中力尚未上橋時,認(rèn)為其作用在橋梁有限元模型左側(cè)第1 個單元的左側(cè)節(jié)點(diǎn)上.當(dāng)移動集中力經(jīng)過橋梁到達(dá)橋梁最右端時,認(rèn)為其作用在橋梁有限元模型右側(cè)最后1 個單元的右側(cè)節(jié)點(diǎn)上.

移動力的x軸坐標(biāo)可以根據(jù)載荷移動速度v以及時間t確定.在確定每一時刻每個移動集中力的x軸坐標(biāo)后,便能夠進(jìn)行橋梁-電纜結(jié)構(gòu)在車輛載荷作用下的隨機(jī)振動分析.

2.2 移動隨機(jī)載荷作用橋梁-電纜結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動分析

在求解方程(1)時,由于結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目較多,通常采用振型疊加法.根據(jù)該方法的原理,當(dāng)取結(jié)構(gòu)前q階振型參與計算時,假定結(jié)構(gòu)具有正交阻尼,并利用振型的正交性,可以得到模態(tài)空間內(nèi)的q個解耦的單自由度運(yùn)動方程

式中,j=1,2,···,q,φj為結(jié)構(gòu)的第j階振型向量;xj(t),(t)和(t) 分別為結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)位移、速度和加速度;mj,cj和kj分別為結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)質(zhì)量、阻尼和剛度.

式(3)的解可以采用Duhamel 積分表示為

式中,hj(t-τ) 為脈沖響應(yīng)函數(shù).原方程(1)的解可表示為

結(jié)構(gòu)響應(yīng)x(t) 的方差矩陣Rxx(t) 為

式中,E [?] 為數(shù)學(xué)期望運(yùn)算;Δ τ=τ1-τ2,Rφjφk(Δτ)為模態(tài)響應(yīng)方差矩陣;Rff(Δτ) 為外載荷協(xié)方差矩陣.根據(jù)Wiener-Khintchine 關(guān)系[23],載荷以及響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜矩陣存在如下關(guān)系

將式(8)代入式(7)中并交換積分次序,得到

將式(10)代入式(6)中,并根據(jù)式(9)中的Wiener-Khintchine 關(guān)系,得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜矩陣

響應(yīng)的方差矩陣Rxx(t) 和功率譜矩陣Sxx(t,ω)是隨機(jī)振動分析中非常重要物理量,由式(6)和式(11)可知其計算過程涉及雙重求和和雙重積分,計算量非常大.在實(shí)際應(yīng)用中,計算響應(yīng)功率譜矩陣時通常忽略了振型的交叉項以減少計算量,得到了計算功率譜的SRSS (square root of the sum of squares,平方和開平方)方法.SRSS 方法對于參振頻率全部為稀疏分布,且各階阻尼比都很小的均質(zhì)材料結(jié)構(gòu)才是可用的[24].當(dāng)結(jié)構(gòu)自振頻率比較密集時,采用SRSS 公式計算功率譜可能會帶來較大的誤差.為此,本文采用PEM 來計算移動隨機(jī)載荷作用下電纜的響應(yīng)功率譜.

當(dāng)汽車或列車從橋上經(jīng)過時,引起橋梁垂向振動的激勵源主要是路面和軌道的不平順性[25-27].當(dāng)前后車輪行駛至橋梁相同位置時,所受到的不平順激勵是完全相同的,但存在與行駛速度相關(guān)的時間差.因此,可將橋上移動隨機(jī)載荷假定為完全相干的隨機(jī)載荷.這時,移動隨機(jī)載荷的功率譜矩陣Sff(ω)可表示為

式中,Sf(ω) 為激勵的功率譜;ai(i=1,2,···,Nf) 表示每個隨機(jī)載荷的強(qiáng)度,對于完全相干的激勵可取ai=1;ti(i=1,2,···,Nf) 表示每個隨機(jī)載荷的時刻.

根據(jù)PEM[28],功率譜矩陣Sff(ω) 可分解為向量的乘積

式中,上標(biāo)“*”表示向量的復(fù)共軛.

將式(13)代入式(11)中,得到響應(yīng)功率譜矩陣

對比式(16)和式(4)可知,在計算響應(yīng)的功率譜矩陣Sxx(t,ω) 時,只需要計算虛擬移動載荷引起的虛擬響應(yīng) ?x(ω,t) .在計算得到電纜響應(yīng)的功率譜后,根據(jù)式(9)可以得到電纜的響應(yīng)方差,從而可以對電纜響應(yīng)進(jìn)行估計.

3 數(shù)值算例

在本文算例中,橋梁采用5 跨連續(xù)梁橋,各跨跨度取30 m.由2.2 節(jié)可知,在計算電纜在車輛載荷作用下的隨機(jī)響應(yīng)時,根據(jù)PEM 只需要求解結(jié)構(gòu)在特定移動簡諧載荷下的動力響應(yīng).本文利用MATLAB作為實(shí)現(xiàn)虛擬激勵法主控制程序,通過調(diào)用ANSYS進(jìn)行瞬態(tài)響應(yīng)分析,進(jìn)行電纜非平穩(wěn)隨機(jī)振動響應(yīng)的求解.在模態(tài)疊加法中,取結(jié)構(gòu)前200 階振型參與計算,各階模態(tài)阻尼比均取為0.02.所有移動集中力均假定為高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程[29],均值如圖3 中的載荷序列所示,載荷的功率譜Sf(ω)=6.366×107N2/s .根據(jù)路面和軌道的不平順頻譜特性[30-31],汽車載荷的分析頻率取 [ 0,40π],頻率步長取 0 .4π .列車載荷的分析頻率取 [ 0,200π],頻率步長取1 .0π .在求解汽車載荷引起的動力響應(yīng)時,積分時間步長取 0 .005 s .求解列車載荷引起的動力響應(yīng)時,相應(yīng)的積分時間步長取 0 .002 s .根據(jù)結(jié)構(gòu)響應(yīng)特征,取跨海橋梁第3 跨跨中位置處的電纜跨中位移和纜芯及鋁護(hù)套應(yīng)力響應(yīng)作為主要的研究對象.

3.1 電纜響應(yīng)時變標(biāo)準(zhǔn)差

為了驗證PEM 計算結(jié)果的精確性,本文將PEM 的計算結(jié)果與MC 方法結(jié)果進(jìn)行對比.根據(jù)汽車或列車的運(yùn)行速度確定各輪軸力時間差,由移動載荷的功率譜Sf(ω) 利用三角級數(shù)疊加法生成1000 個隨機(jī)移動集中力序列樣本.根據(jù)每個載荷樣本均進(jìn)行一次動力響應(yīng)分析,分別得到電纜跨中位移和纜芯應(yīng)力響應(yīng),最后根據(jù)樣本值求得響應(yīng)的時變標(biāo)準(zhǔn)差.圖4 中給出了汽車載荷v=33.33 m/s 工況時,兩種方法的計算結(jié)果對比.從圖中曲線可知,PEM 計算得到的電纜時變響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差與MCS 模擬結(jié)果吻合較好,表明PEM 具有足夠的精確性.值得注意的是,在MCS 中需要進(jìn)行1000 次時域響應(yīng)分析.而采用PEM 計算響應(yīng)時變標(biāo)準(zhǔn)差時,只需在每個頻率點(diǎn)處構(gòu)造虛擬正弦和余弦移動載荷并進(jìn)行時域響應(yīng)分析.在本文中,PEM 僅需進(jìn)行200 次時域響應(yīng)分析便能夠得到與MCS 非常吻合的結(jié)果.

圖4 MC 方法與PEM 計算結(jié)果對比Fig.4 Comparison of results of MC method and PEM

圖5～圖7 中給出了采用PEM 計算得到的不同汽車和列車行駛速度時引起的電纜響應(yīng)時變標(biāo)準(zhǔn)差.對比圖中不同速度工況時的電纜響應(yīng)曲線可知,隨著汽車和列車行駛速度的增大,電纜的位移和應(yīng)力響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差總體呈現(xiàn)增大的趨勢.對比電纜不同部位的響應(yīng)時變標(biāo)準(zhǔn)差可知,無論是汽車載荷還是列車載荷,電纜鋁護(hù)套的應(yīng)力響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差會比纜芯應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差更大.在列車載荷作用時,電纜響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差出現(xiàn)的峰值波動更多,這與列車具有更多的輪對導(dǎo)致的載荷完全相干作用有關(guān).

圖5 電纜跨中位置位移響應(yīng)時變標(biāo)準(zhǔn)差Fig.5 SD of displacement of the mid-span of cable

圖6 電纜跨中位置纜芯應(yīng)力響應(yīng)時變標(biāo)準(zhǔn)差Fig.6 SD of stress of cable core of the mid-span of cable

圖6 電纜跨中位置纜芯應(yīng)力響應(yīng)時變標(biāo)準(zhǔn)差 (續(xù))Fig.6 SD of stress of cable core of the mid-span of cable (continued)

圖7 電纜跨中位置鋁護(hù)套應(yīng)力響應(yīng)時變標(biāo)準(zhǔn)差Fig.7 SD of stress of aluminum sheath of the mid-span of cable

3.2 電纜響應(yīng)演變功率譜

圖8 中給出了由PEM 計算得到的電纜跨中位移響應(yīng)演變功率譜.由圖可知,電纜位移響應(yīng)主要集中在較低的頻率范圍內(nèi).盡管汽車載荷和列車載荷的功率譜取值相同,但由于兩種載荷形式和特征不同,列車載荷作用下電纜位移功率譜的取值比汽車載荷作用的下功率譜更大.

圖9 和圖10 中分別給出了PEM 計算得到的纜芯和鋁護(hù)套的應(yīng)力演變功率譜.盡管移動隨機(jī)載荷被假定為高斯平穩(wěn)過程,但由于載荷在橋上移動具有與時間的相關(guān)性,由此引起的電纜響應(yīng)也具有時間相關(guān)性,功率譜具有演變特征.與位移演變功率譜不同的是,應(yīng)力響應(yīng)演變功率譜的分布頻帶范圍更寬一些.對比圖9 和圖10 中纜芯應(yīng)力功率譜和鋁護(hù)套應(yīng)力功率譜可知,無論是受汽車(或列車)載荷作用,纜芯和鋁護(hù)套應(yīng)力功率譜隨時間和頻率的變化趨勢基本一致,但在這兩種移動載荷作用下,電纜鋁護(hù)套的應(yīng)力功率譜值均大于纜芯應(yīng)力功率譜的值.根據(jù)結(jié)構(gòu)振動疲勞壽命分析的頻域方法[32],會使得鋁護(hù)套首先發(fā)生疲勞破壞.本文方法可以給出纜芯和鋁護(hù)套的應(yīng)力功率譜,從而為沿橋敷設(shè)電纜的進(jìn)一步疲勞壽命評估和預(yù)測提供了一定的基礎(chǔ).

圖9 電纜跨中位置纜芯應(yīng)力響應(yīng)演變功率譜Fig.9 PSD of stress of cable core of the mid-span of cable

圖9 電纜跨中位置纜芯應(yīng)力響應(yīng)演變功率譜 (續(xù))Fig.9 PSD of stress of cable core of the mid-span of cable (continued)

圖10 電纜跨中位置鋁護(hù)套應(yīng)力演變功率譜Fig.10 PSD of stress of aluminum sheath of the mid-span of cable

4 結(jié)論

本文針對沿橋敷設(shè)電纜在隨機(jī)汽車和列車載荷作用下的動力響應(yīng)進(jìn)行分析,建立了橋梁-電纜有限元分析模型,采用虛擬激勵法(PEM)計算了電纜的隨機(jī)振動響應(yīng),研究了汽車和列車運(yùn)行速度對電纜動力響應(yīng)的影響.分析結(jié)果表明,PEM 能夠得到與Monte Carlo 方法相吻合的電纜響應(yīng)演變標(biāo)準(zhǔn)差,且能夠方便地得到電纜響應(yīng)的演變功率譜.當(dāng)載荷的移動速度增大時,電纜位移和應(yīng)力演變響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差會相應(yīng)增大.與纜芯相比,鋁護(hù)套的位移響應(yīng)演變標(biāo)準(zhǔn)差和應(yīng)力響應(yīng)演變功率譜值更大,這可能使得電纜的疲勞破壞首先出現(xiàn)在鋁護(hù)層.