復合干摩擦的準零剛度隔振系統的亞諧共振1)

牛江川 張婉潔 申永軍 王軍

(石家莊鐵道大學交通工程結構力學行為與系統安全國家重點實驗室,石家莊 050043)

(石家莊鐵道大學機械工程學院,石家莊 050043)

引言

由于工程中存在的巨大需求,振動控制技術一直是研究熱點[1].隔振技術是振動控制的主要手段之一,而非線性隔振可以改善隔振系統的性能,因此成為了隔振技術的研究熱點.陸澤琦和陳立群[2]綜述了近年來非線性隔振理論和應用的研究進展,以及高靜態低動態剛度隔振及其非線性阻尼加強形式和雙層非線性隔振.高雪等[3]以分段雙線性分段光滑隔振系統為理論模型,系統研究了摒除不利于隔振的非線性動力學現象設計方法.Ding等[4]利用解析法和數值法研究了具有彈性支承端的黏彈性梁的隔振.

由于準零剛度非線性隔振系統具有寬頻帶隔振特性,因此受到了學者們的廣泛關注[5-13].目前學者們主要研究準零剛度隔振系統的結構,單頻激勵下的力和位移傳遞特性及幅頻響應特性,隔振性能的提高以及其在不同領域中的推廣應用.在準零剛度結構設計方面,徐道臨等[14]設計了一種具有高靜態剛度、低動態剛度的非線性低頻隔振器,并利用諧波平衡法分析了系統的動力學特性,推導了系統的力傳遞率.Wang等[15]提出了一種相當緊湊的準零剛度隔振器,由一對相互排斥的磁環和一個節省空間的波形彈簧并聯而成.Gao 和Teng[16]針對重型機械低頻干擾振動的隔離問題,提出了一種以波紋管結構為彈性元件,以加壓氣體和不可壓縮液體為工作介質的高靜態低動態剛度油氣隔振器.Wang等[17]提出了一種具有雙準零剛度機構的新型非線性超低頻隔振器.在準零剛度隔振性能的提高方面,Wen等[18]通過半主動控制策略對準零剛度隔振系統進行控制以擴大其有效位移范圍.Zhang等[19]通過附加慣容非線性能量阱克服準零剛度隔振系統中較小的動態剛度可能導致的低頻振動.Liu等[20]通過引入可調諧非線性慣容來增強準零剛度隔振系統的隔振性能.Donmez等[21]通過在準零剛度隔振系統中的垂直彈簧上串聯干摩擦阻尼,降低準零剛度隔振系統在共振區域的傳遞率.在準零剛度隔振的推廣應用方面,Ding 和Chen[22]分析了準零剛度隔振器對初始彎曲結構多模態彎曲振動的隔振效果.趙含等[23]建立了基于準零剛度隔振器的推進軸系縱振動力學模型,應用諧波平衡法求解出系統的力傳遞率.趙權等[24]研制了一種空間占比小的準零剛度車載隔振系統,采用平均法求解了系統在車體簡諧位移激勵下的動力學響應以及位移傳遞率.

準零剛度結構引入的非線性剛度特性在單頻激勵下可能引起系統的次共振.例如,Liu 和Yu[25]利用半解析法和數值法研究了準零剛度隔振系統周期1 響應中存在的超諧共振.另外,由于干摩擦阻尼減振技術在工程中應用廣泛[26-29],因此本文通過干摩擦阻尼器對準零剛度非線性隔振系統的共振響應進行控制.首先利用平均法求解復合干摩擦阻尼器的準零剛度隔振系統在簡諧激勵下的主共振近似解析解,然后再根據增量方程求解系統的1/3 次亞諧共振近似解析解.推導系統的幅頻響應方程,分析定常解的穩定性,并獲得系統主共振和亞諧共振的力傳遞率.然后詳細分析準零剛度和干摩擦阻尼的振動抑制以及隔力效果.

1 系統模型

復合干摩擦阻尼器的準零剛度非線性隔振系統的物理模型示意圖如圖1 所示.圖1中m表示系統的質量,c是隔振系統的等效線性黏性阻尼,k和k1分別表示隔振系統垂直彈簧的線性剛度和水平彈簧的線性剛度,fc為干摩擦阻尼器提供的庫倫摩擦力.Fcosωt表示外部激勵,其中F為激勵幅值,ω為激勵角頻率.Lh為質量塊處于靜平衡位置時水平彈簧的長度,水平彈簧的原始長度為L0.

圖1 準零剛度隔振系統模型Fig.1 Quasi-zero-stiffness vibration isolation system model

水平彈簧在垂直方向提供的彈性恢復力可以表示為

根據牛頓第二運動定律,建立準零剛度隔振系統在外部激勵下的動力學運動方程

為了方便求解式(2),將式(1)寫成多項式形式.利用泰勒公式將式(1)在x=0 處展開,式(1)可以表示為

令Lh=0.7L0,根據式(4a)可以得水平彈簧在垂直方向彈性恢復力的值,根據式(4b)得到其三階近似值,如圖2 所示.從圖中可以看出,當x≤0.2L0時三階近似可以很好的表示水平彈簧在垂直方向的恢復力.

圖2 水平彈簧在垂直方向的彈性恢復力位移曲線Fig.2 Restoring force-displacement curve of horizontal springs in vertical direction

2 主共振

首先利用平均法求解準零剛度隔振系統的主共振近似解析解,并分析主共振定常解的穩定性.

2.1 主共振近似解析解

研究復合干摩擦的準零剛度隔振系統的主共振,并令

設式(7a)的周期解為

其中,φ=ωt+θ,振幅a和相位θ隨t緩慢變化.

根據平均法可以得到一個振動周期T=2π/ω 內振幅和相位的平均值為

首先計算式(9)的第一部分,可以得到

計算式(9)的第二部分時,需要分為兩種情況:振幅a＞0 和a＜0 .當振幅a＞0 時,可以得到

類似地,可以計算振幅a＜0 的情況.于是,式(9)的第二部分可以表示為

聯合式(10)和式(12),并替換含有小參數的變量,可以得到

2.2 定常解及其穩定性

將系統主共振穩態運動的定常解振幅和相位分別表示為和,令式(13)中的=0 和=0,可以得到系統的穩態運動方程

根據式(14)可以得到復合干摩擦的準零剛度隔振系統主共振的幅頻響應方程和相頻響應方程

從式(15a)中可以看出,準零剛度結構通過負線性剛度的形式改變系統的等效固有頻率使其為0.摩擦力以等效阻尼的形式影響系統的主共振幅頻響應,其值與激勵頻率以及振幅有關.而且穩態振幅越小,摩擦力的等效阻尼越大.

利用式(14)消去式(16)中的三角函數,進一步得到準零剛度隔振系統主共振的特征方程為

將式(17)中的行列式展開,得到準零剛度隔振系統主共振穩態響應的特征方程為

由于c/m+2fc/(πmω|)＞0,于是可以得到復合干摩擦的準零剛度隔振系統主共振定常解漸近穩定的條件為

3 亞諧共振

在準零剛度隔振系統主共振近似解析解的基礎上得到系統的增量方程,利用平均法計算系統的1/3 次亞諧共振近似解析解,并分析亞諧共振定常解的穩定性.

3.1 亞諧共振近似解析解

在主共振響應的基礎上,研究復合干摩擦的準零剛度隔振系統的1/3 次亞諧共振.首先,計算增量方程.令

將其代入到式(5)中,并利用主共振近似解析解進行化簡,消去其同次諧波項,可以得到

設式(21a)的周期解為

其中,ψ=ωt/3+? .

根據平均法可以得到一個公共振動周期T0=6π/ω內振幅和相位的平均值為

計算式(23)的第一部分,可以得到

直接計算式(23)的第二部分比較困難,因此引入符號函數的一階泰勒公式[30]

其中,δ (y) 為關于變量y的狄拉克函數.

根據式(25),P22可以近似為

將式(26) 中的狄拉克函數利用傅里葉級數展開,可以得到

其中,v0,vn和wn為傅里葉系數.其周期為T1=π/ω .

計算傅里葉系數,可以得到

于是,式(27)可以表示為

計算式(23)的第二部分,可以得到

聯合式(24)和式(30),并替換含有小參數的變量,可以得到

3.2 亞諧共振的定常解

根據式(32)可以得到準零剛度隔振系統1/3 次亞諧共振的幅頻響應方程和相頻響應方程

從式(33a)中可以看出,摩擦力以等效阻尼的形式影響系統的亞諧共振幅頻響應特性,其值與激勵頻率以及主共振的振幅有關.

于是可以得到準零剛度隔振系統的1/3 次亞諧共振的近似解析解

其中,和由式(15)確定,和由式(33)確定.需要注意的是,由于在推導幅頻響應方程的過程中進行了平方處理,所以根據幅頻響應方程計算的解析解數量會增多,因此需要將其代入穩態運動方程進行驗證.

3.3 定常解的存在條件及其穩定性

首先分析準零剛度隔振系統1/3 次亞諧共振定常解的存在條件.令z=,將準零剛度隔振系統的幅頻響應方程重新整理為

根據一元二次代數方程存在正實根的條件,可以得到1/3 次亞諧共振的存在條件為

顯然,式(36)中的第二個條件覆蓋了第一個條件.因此,準零剛度隔振系統1/3 次亞諧共振定常解的存在條件可以重新整理為

當k2=0 時,激勵頻率滿足式(37)準零剛度隔振系統就會存在1/3 次亞諧共振.顯然,亞諧共振的存在條件與主共振的振幅以及摩擦力相關.

利用式(32)消去式(38)中的三角函數,進一步得到系統亞諧共振的特征方程為

將行列式展開,得到系統1/3 次亞諧共振的特征方程為

由于S2＞0,于是可以得到準零剛度隔振系統1/3 次亞諧共振定常解漸近穩定的條件為

4 力傳遞率

根據圖1 所示的準零剛度隔振系統模型,傳遞到基礎的合力G可以表示為

利用傳遞到基礎的力幅值和激勵幅值的比值表示力傳遞率.于是,可以得到準零剛度隔振系統的力傳遞率為

其中,‖‖ 表示對力取模.

根據主共振的近似解析解,可以得到準零剛度隔振系統主共振的力傳遞率為

根據亞諧共振的近似解析解,可以得到準零剛度隔振系統1/3 次亞諧共振的力傳遞率為

根據式(2),式(42)可以重新表示為

于是,可以得到準零剛度隔振系統力傳遞率的另外一種表示形式

從式(47) 中可以直觀的看出當外部激勵幅值F≠0且=0 時,力傳遞率 η=1 .

5 數值解驗證

根據文獻[19]選取一組準零剛度隔振系統的參數:m=60 kg,c=200 N·s/m,k1=2179 kN/m,Lh/L0=0.7,k=2(L0/Lh-1)k1=1867.7 kN/m,L0=0.5 m,F=1 kN.根據式(2)利用龍格庫塔法分別繪制摩擦力fc=0 N和fc=50 N 時系統的幅頻響應曲線,如圖3 所示.圖中的橫坐標為激勵頻率與原線性系統固有頻率的比值,即 γ=ω/ω0.根據式(15) 和式(34),利用近似解析解繪制系統的主共振(primary resonance,PR) 和1/3 次亞諧共振(subharmonic resonance,SR)的幅頻響應曲線,并根據穩定性條件分別得到穩定解和不穩定解.從圖3 中可以看出,無論是否存在干摩擦力的作用,準零剛度隔振系統的主共振和亞諧共振的幅頻響應的近似解析解和數值解都具有很好的一致性.準零剛度隔振系統的主共振響應中存在明顯的幅值跳躍現象.準零剛度隔振系統的亞諧共振僅在一定激勵頻率范圍內存在,而且出現在主共振區域.當無摩擦阻尼器時,從數值解中還可以看出比較明顯的超諧共振以及其他低次亞諧共振.當復合干摩擦阻尼器時,不但使得系統的1/3 次亞諧共振區域變小,并且消除了其他低次的亞諧共振.

圖3 幅頻響應響應曲線對比Fig.3 Comparison of amplitude-frequency response curves

圖3 幅頻響應響應曲線對比(續)Fig.3 Comparison of amplitude-frequency response curves (continued)

根據式(2),利用數值解分別繪制摩擦力fc=0 N和fc=50 N 時準零剛度隔振系統傳遞到基礎的力傳遞率曲線,如圖4 所示.根據式(44)和式(45),利用近似解析解繪制系統的主共振和1/3 次亞諧共振的力傳遞率曲線.從圖4 中可以看出,無論是否存在干摩擦力的作用,準零剛度隔振系統的主共振和亞諧共振的力傳遞率的近似解析解和數值解也都具有很好的一致性.通過復合干摩擦阻尼器,使得準零剛度隔振系統的亞諧共振力傳遞頻帶變小,但是也增大了系統在有效隔振頻帶內的主共振力傳遞率.

圖4 力傳遞率對比Fig.4 Comparison of force transmissibility

6 振動控制效果分析

接下來利用近似解析解分析準零剛度參數以及干摩擦阻尼對準零剛度隔振系統幅頻響應和力傳遞特性的影響.

6.1 準零剛度參數的影響

當干摩擦力fc=0 N 時,利用近似解析解分別繪制原線性系統(表示為L0=0 m),以及準零剛度水平彈簧原長分別為L0=0.1 m,L0=0.5 m 以及L0=1 m 時,系統的主共振和亞諧共振幅頻響應曲線及力傳遞率曲線,如圖5 所示.為了使對比效果更清晰,圖中僅顯示準零剛度隔振系統的穩定解.從圖5(a)中可以看出,由于引入準零剛度隔振器,使得系統的共振頻率向低頻處轉移,因此對于高頻激勵起到了很好的振幅抑制效果.隨著準零剛度水平彈簧原長的增大,主共振峰值逐漸變大,主共振頻率逐漸減小,亞諧共振的區域也逐漸變小.從圖5(b)中可以看出,準零剛度隔振器明顯降低了原系統的起始隔振頻率.準零剛度水平彈簧原長越大,有效的起始隔振頻率越低,而且最大力傳遞率也越小.

圖5 不同準零剛度參數的振動控制效果Fig.5 Effect of different quasi-zero-stiffness parameters

圖5 不同準零剛度參數的振動控制效果(續)Fig.5 Effect of different quasi-zero-stiffness parameters (continued)

6.2 干摩擦的影響

當準零剛度水平彈簧原長為L0=0.5 m 時,利用近似解析解分別繪制準零剛度隔振系統在干摩擦力fc=0 N,fc=100 N 以及fc=500 N 時,系統的主共振和亞諧共振幅頻響應曲線及力傳遞率曲線,如圖6所示,圖中同樣僅顯示系統的穩定解.從圖6(a)中可以看出,隨著干摩擦力的增大,不但可以消除準零剛度隔振系統的亞諧共振,而且能夠有效降低主共振的幅值.從圖6(b)中可以看出,隨著摩擦力的增大,準零剛度隔振系統的起始隔振頻率逐漸減小.同時,干摩擦力會導致準零剛度隔振系統在有效隔振頻率范圍內的力傳遞率增大.特別是當外部激勵無法克服干摩擦的作用時,系統的振幅為0,但是系統的力傳遞率為1,也就無法起到隔力的效果.

圖6 不同干摩擦力的振動控制效果Fig.6 Effect of different dry friction force

7 結論

本文利用增量平均法研究了復合干摩擦阻尼器的準零剛度隔振系統的1/3 次亞諧共振.通過幅頻響應方程可以看出,干摩擦力以等效阻尼的形式影響系統的主共振和亞諧共振的幅頻響應.對系統穩態解的穩定性進行了判斷,并推導了準零剛度隔振系統亞諧共振的存在條件.通過與數值解獲得的準零剛度隔振系統的幅頻響應曲線進行對比,驗證了主共振和亞諧共振近似解析解的準確性.準零剛度隔振系統的亞諧共振被轉移到了低頻處的主共振區域,并且可以通過增大干摩擦力消除系統的亞諧共振.通過比較系統的幅頻響應和力傳遞率,可以發現:準零剛度水平彈簧原長越大,起始隔振頻率越低,但是在低頻處的主共振振幅越大;干摩擦力的引入,不但可以有效抑制準零剛度隔振系統的共振振幅,而且可以降低系統的起始隔振頻率,但是會導致系統在有效隔振頻帶內力傳遞率的增大.因此,當以準零剛度隔振系統的振幅抑制為目標時,可以選用干摩擦阻尼器;當以降低系統的力傳遞率為目標時,不宜選用干摩擦阻尼器.