一類具有恐懼效應的Holling-Ⅲ類時滯捕食系統

張子振， 張偉詩

(安徽財經大學 管理科學與工程學院,安徽 蚌埠 233030)

0 引言

捕食者-食餌系統在現實世界中是一種非常普及的系統.為了揭示捕食者與食餌之間的動力學關系，在過去的幾十年中，生物數學界學者對許多捕食者-食餌系統進行了研究，尤其是在兩種群捕食系統方面取得了豐富的成果[1-5].2011年，Zanette等[6]研究發現，歌雀由于受到捕食者的驚嚇導致繁殖率降低了40%.為了更好地描述環境因素對捕食系統的影響，Wang等[7]首次提出了一類具有恐懼效應的捕食系統.隨后，具有恐懼效應的捕食系統受到國內外學者的關注[8-11].考慮到不同形式的功能反應對捕食系統的動力學行為的影響，韓夢潔等[12]提出了具有恐懼效應的Holling-Ⅲ類捕食系統

(1)

顯然，捕食者種群捕獲食餌種群后，須經過一個妊娠周期才能達到數量上的增長.因此，本文在系統(1)的基礎上，考慮捕食者種群的妊娠時滯，研究如下時滯捕食系統：

(2)

其中τ為捕食者種群的妊娠時滯.

1 正平衡點的局部漸近穩定性和Hopf分岔的存在性

λ2+Υ1λ+Υ0+(Θ1λ+Θ0)e-λτ=0,

(3)

λ2+(Υ1+Θ1)λ+Υ0+Θ0=0.

(4)

當τ>0時，假設λ=iω(ω>0)為方程(4)的根，則有

(5)

進而有

(6)

令ω2=χ，則方程(6)變為

(7)

定理1當τ∈[0,τ0)時，系統(2)局部漸近穩定；當τ=τ0時，系統(2)在E*(x*,y*)處產生Hopf分岔，并產生一簇分岔周期解.

2 分岔周期解的方向和穩定性

(8)

其中X(t)=(X1(t),X2(t))T∈C，且

F(ζ,X(t))=(τ0+ζ)(F1,F2)，

η(θ,ζ)=(τ0+ζ)(U1δ(θ)+U2δ(θ+1)),

其中，δ(θ)是狄拉克函數.定義

及

(9)

其中

且

進而得到確定分岔周期解的方向和穩定性的系數

(10)

定理2對于系統(2)，當Γ1>0時，Hopf分岔是超臨界的，否則，Hopf分岔是次臨界的；當Γ2>0時，分岔周期解是不穩定的，否則，分岔周期解是穩定的.

3 仿真示例

在系統(2)中，選取r=0.6，K=0.1，d1=0.01，d2=0.011，a=0.1，b=0.47，c=0.5，m=0.045,計算得系統的唯一正平衡點為E*(1.248 9,5.162 0)，進而得到ω0=0.626 6，τ0=3.058 9.由定理1可知，當τ∈[0,3.058 9)時，系統局部漸近穩定,仿真效果如圖1所示.當τ0>3.058 9時，系統不穩定，并在E*(1.248 9,5.162 0)處產生Hopf分岔,仿真效果如圖2所示.另外，計算得λ′(τ0)=1.007 4-0.809 1i，C1(0)=-0.250 7+0.906 4i.根據公式(10)，Γ1=0.248 8，Γ2=-0.501 4.由定理2可知，系統在τ0=3.058 9處產生的Hopf分岔是超臨界的，并且是穩定的.

圖1 當τ=2.587 7∈[0,3.058 9)時，系統局部漸近穩定Fig.1 The system is locally asymptotically stable when τ=2.587 7∈[0,3.058 9)

圖2 當τ=3.424 8>τ0=3.058 9時，系統不穩定且產生Hopf分岔Fig.2 The system is unstabe and with Hopf bifurcation when τ=3.424 8>τ0=3.058 9

4 小結

本文考慮捕食者種群的妊娠時滯，研究了一類具有恐懼效應的Holling-Ⅲ類時滯捕食系統.以捕食者種群的妊娠時滯為分岔參數，推導出系統局部漸近穩定和產生Hopf分岔的充分條件，并計算出系統產生Hopf分岔的時滯臨界值.研究表明，在一定條件下，當時滯τ∈[0,τ0)時，系統中的食餌種群和捕食者種群的數量趨于正平衡點，系統處于理想的穩定狀態.當時滯τ越過臨界值τ0時，系統失去穩定并產生Hopf分岔，食餌種群和捕食者種群的數量處于周期震蕩狀態，不利于自然資源的合理開發利用.此外，本文還利用中心流形定理和規范型理論研究了系統在τ=τ0處產生Hopf分岔的方向和分岔周期解的穩定性.