音樂與數學的巧妙融合

王莉 王勇

音樂的要素——音高、音色、節拍、樂音、樂曲、樂器等都與數學密切相關.在高考試卷和全國各地高考模擬試卷中，以音樂為背景的考題頻頻“閃亮登場”，它們構思精巧、韻味十足、魅力四射，堪稱踐行“五育并舉”方針的范例，既可以讓學生更加理性地理解音樂、鑒賞音樂的美，又能提升學生的數學學科素養和關鍵能力，下面精選五類并配例加以剖析，旨在探索題型規律，揭示解題方法.

一、音樂+數列

例1 （2018年北京市高考題）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載培最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于12√2若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為（

）.

解析從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于12√2，第一個單音的頻率為f，由等比數列的定義可知，這十三個單音的頻率構成一個首項為f，公比為12√2的等比數列，記

上述應用都體現在解三角形中，可以看出，有時并不是單純用張角定理就能解決的，必要時還要余弦定理、角平分線定理等協助，特別值得一提的是方程思想的應用也不可忽視.令人驚嘆的是下面這道高考壓軸題用該定理也可“秒解”，

點評 根據題意可知這十三個單音的頻率構成一個等比數列，結合等比數列的通項公式即可得解.

例2（2021年南昌市模擬題）十二平均律是世界上通用的一種音樂律制，在交響樂隊和鍵盤樂器中得到廣泛使用.十二平均律是指將八度的音程（兩個音在音高上的距離）按頻率等比例地分成十二份，即一個八度共13個音，各相鄰兩音之間的頻率之比完全相等.已知一個八度音程的第7個音與第4個音的頻率之比為4√2若第1個音的頻率為440Hz，則最后一個音的頻率為（

）.

A. 520Hz B.640Hz C.760Hz D.880Hz

點評 本題以“十二平均律”為背景，考查等比數列的相關知識，弄清題意是求解的關鍵，對學生的閱讀理解能力要求較高，同時滲透“美育”的基本理念，

例3（2021年太原市模擬題）著名的物理學家李政道說：“科學和藝術是不可分割的.”像音樂中使用的樂音在高度上不是任意定的，它們是按照嚴格的數學方法確定的.我國明代的數學家、音樂理論家朱載堉創立了十二平均律，是第一個利用數字使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精確規定八度的比例，把八度分成13個半音，使相鄰兩個半音之間的頻率比是常數，如表l所示，其中a1，a2，

點評設“宮”的頻率為A2由“三分損益法”可依次求出微、商、羽、角的頻率，結合等比數列的定義可得正確結論，

二、音樂+三角函數

例5 （2021.宜昌市模擬題）我們聽到的美妙弦樂，不是一個音在響，而是許多個純音的合成，稱為復合音.復合音的響度是各個純音響度之和.琴弦在全段振動，產生頻率為廠的純音的同時，其二分之

點評 本題要求考生根據題意建立復合音響度的數學模型，再用“最小公倍數法”求出模型函數的最小正周期.考查考生的建模能力和運算求解能力，

例6（2021.青島市模擬題）音樂是用聲音來表達人的思想感情的一種藝術，聲音的本質是聲波，而聲波在空氣中的振動可以用三角函數來刻畫.在音樂中可以用正弦函數來表示單音，用正弦函數相疊加表示和弦，某二和弦可表示為f（x）= sin2x+sm3x，則函數y=f（x）的圖像大致為（

）.

點評 本題考查復合音模型函數的圖像和性質，利用函數的性質結合排除法可輕松獲解.

例7（2021.荊州市模擬題）（多選題）聲音是由物體振動產生的聲波.我們聽到的每個音都是由純音合成的，純音的數學模型是函數γ= Asinωt.音有四要素：音調、響度、音長和音色，它們都與函數y= Asinωt及其參數有關，比如：響度與振幅有關，振幅越大響度越大，振幅越小響度越小：音調與頻率有關，頻率低的聲音低沉，頻率高的聲音尖利.像我們平時聽到樂音不只是一個音在響，而是許多音的結合，稱為復合音.若一個復合音的

點評 本題全方位地考查復合音模型函數的圖像和性質，綜合性較強、難度較大，有一定的思考性和挑戰性，本題是多選題，是新高考標志性的新題型，

三、音樂+排列組合

例8 （2021年深圳市質檢題）中國古代的五音，一般指五聲音階，依次為官、商、角、徵、羽.如果把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、羽兩音階在角音階的同側，可排成這樣的不同音序的種數為（

）.

A.120

B.90

C.80

D.60

解析可分j類：第一類，若角音階在兩端，則宮、羽兩音階一定在角音階的同側，此時可排成的不同音序有2A4 =48（種）;第二類，若角音階在第二或第四個位置，則可排成的不同音序有2 xA; xA2=24（種）;第三類，若角音階在第三個位置，則可排成的不同音序有2 xA2 xA2 =8（種）.根據分類加法計數原理，可得排成的不同音序有48 +24 +8：80（種）.

故選C.

點評 本題以音樂學科中的“音階”為載體考查排列組合應用問題，破解此類題的關鍵：一是有限制條件的元素需優先考慮，如本題，需對限制條件“宮、羽兩音階在角音階的同側”優先考慮，分類的“度”就很明確，只需對“角音階”的位置進行分類：二是會利用排列組合的應用情況進行求解.有序用排列，無序用組合.

四、音樂+概率

例9（2021年長沙市模擬題）五聲音階是中國古代的基本音階，中國古樂中的五聲音階為：宮、商、角、徵、羽.如果從這五個音中任取兩個音，排成一個音列.則這個音列中不含宮和羽的概率為（A3B744E8-6A54-451F-BC74-3C01C3445703

）.

A.3/10 B.7/10 C.9/20 D.11/20

解析 解法1從5個音中挑一個放在第一個位置，再從余下的4個音中挑一個放在第二個位置，共有5 x4 =20（種）情況.五個音去掉官和羽還剩3個，從3個音中挑一個放在第一個位置，再從余下的2個音中挑一個放在第二個位置，共有3 x2=6（種）情

點評 本題考查排列組合的有關知識和古典概型概率的求解方法，考查考生的邏輯思維能力和運算求解能力，

例10 （2021年洛陽市模擬題）我國最早按樂器的制造材料來對樂器進行分類，《周禮·春宮》中記載，中國古典樂器一般按“分音”分類，分為“金、石、土、革、絲、木、匏（ pao）、竹”八音，其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器，現從“金、石、土、匏、絲”中任取三音，則三音來自兩種不同類型樂器的概率為（

）.

A.1/5 B.3/5 C.3/4 D.2/3

解析 由題意可得，從“金、石、土、匏，絲”中任取三音，共有C5= 10種不同的取法，三音來自兩種不同類型樂器的取法共有C3C2=6（種），故所求概率p=6/10=3/5.

故選B.

點評本題首先求出從五音中任取三音的取法種數，然后求出三音來自兩種不同類型樂器的取法種數，最后利用古典概型的概率計算公式求解即可.

例11 （2021年湖北省七市聯考題）我國古典音樂名曲眾多，《高山流水》《梅花三弄》《陽春白雪》《漁樵問答》是其中經典名曲.現有甲、乙、丙、丁四位同學從這四部分名曲中，各選取互不相同的一部進行研修學習.若乙同學研修《陽春白雪》，則丁同學只在《高山流水》和《漁樵問答》中選一部研修的概率為（

）.

A.2/9 B.1/3 C.2/3 D.7/9

解析 方法1 乙同學研修《陽春白雪》的結果有A3 =6（種）.乙同學研修《陽春白雪》，丁同學只在《高山流水》和《漁樵問答》中選一部有C2A2=4（種）情況，若乙同學研修《陽春白雪》，則丁同學只在《高山流水》和《漁樵問答》中選一部研修的概率p=4/6=2/3.

點評 本題以古典音樂名曲的選取為背景，引導學生落實五育教育，促進全面發展，考查排列組合知識和條件概率的求解，要求學生用所學的數學知識解決生活中的實際問題.

五、音樂+推理

例12 （2021年邢臺市模擬題）“三分損益法”是古代中國發明制定音律時所用的方法，其基本原理是：以一根確定長度的琴弦為基準，取此琴弦長度的2/3得到第二根琴弦，第二根琴弦長度的4/3為第三根琴弦，第三根琴弦長度的2/3為第四根琴弦，第四根琴弦長度的4/3為第五根琴弦.琴弦越短，發出的聲音音調越高，這五根琴弦發出的聲音按音調由低到高分別稱為“官、商、角、徵、羽”，則“角”和“徵”對應的琴弦長度之比為（

）.

A.3/2 B.81/64 C.32/27 D.9/8

解析 設基準琴弦的長度為l，則根據“三分損益法”得到的另外四根琴弦的長度依次為2/3，8/9，16/27，64/81，五根琴弦從長到短依次為1，8/9，64/81，2/3，16/27，所以“角”和“徵”對應的琴弦長度分別為64/81和2/3，琴弦長度之比為32/27.

故選C.

點評本題結合“三分損益法”考查考生的推理能力，認真閱讀材料并深刻理解題意是求解的關鍵.

例13 （2020.福建省質檢題）上世紀末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1①），充分展示了我國古代高超的音律藝術及先進的數學水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯系.圖1②為骨笛測量“春（秋）分”“夏（冬）至”的示意圖.圖1③是某骨笛的部分測量數據（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當日正午太陽光線）與春秋分日光（當日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角，

由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續減小，其正切值及對應的年代如表2所示.

根據以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是（

）.

A.公元前2000年到公元元年

B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年A3B744E8-6A54-451F-BC74-3C01C3445703