倒立擺的線性系統理論課程案例探索

孫軍偉，王延峰

摘? 要： 在線性系統理論課程教學中，結合控制類研究生專業基礎性課程建設的要求，將倒立擺案例教學引入到整個線性系統理論教學體系中。給出線性系統理論的建設原則，總結倒立擺課程案例的建設優勢，制定多級倒立擺課程案例的建設內容。倒立擺教學案例的引入，有望引導學生積極參與分析、設計和討論，提高學生運用所學線性系統理論知識解決控制工程應用問題的能力。

關鍵詞： 線性系統理論; 倒立擺; 課程案例; 控制工程

中圖分類號：G643.2? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ?文章編號：1006-8228（2022）06-108-04

Case exploration of linear system theory course of inverted pendulum

Sun Junwei， Wang Yanfeng

（College of Electrical Information Engineering， Zhengzhou University of Light Industry， Zhengzhou， Henan 450002， China）

Abstract： In the teaching of linear system theory， combined with the requirements of basic course construction for graduate students in control， the case teaching of inverted pendulum is introduced into the entire linear system theory teaching system. It gives the design principle of linear system theory， summarizes the advantages of inverted pendulum course case construction， and designs the content frame of multi-level inverted pendulum course case construction. The introduction of inverted pendulum teaching cases is expected to guide students to actively participate in analysis， design and discussion， and improve students' ability to solve control engineering applications by using the theoretical knowledge of linear systems.

Key words： linear system theory; inverted pendulum; course cases; control engineering

0 引言

《教育部關于做好全日制碩士專業學位研究生培養工作的若干意見》（教研[2009]1號）中，著重突出了招收碩士研究生必須具備“較強解決實際問題的能力”。《教育部關于加強專業學位研究生案例教學和聯合培養基地建設的意見》（教研[2015]1號）中，也著重說明了在碩士研究生培養階段，教學案例分析有舉足輕重的地位。《教育部關于專業學位研究生教育發展方案（2020-2025）》（學位[2020]20號）中，強調建設創新型國家的一條重要途徑就是發展專業學位研究生教育[1]。

怎樣才能不斷地提高專業學位研究生的創新能力，是對培養團隊的最大考驗。探索與其他學術型專業碩士學位研究生不同的人才培養教學模式，更有效的適應和解決教育工程工作難題，是一個非常值得深入研究的重點課題。

在現代的控制理論中，線性系統理論是基礎，其具有聯系基礎理論和應用理論之間的紐帶作用[2]。該課程教學內容豐富、涉及領域的知識范圍寬、對理論性和信息工程學的實際應用能力要求高，在培養我國大學生專業體系的知識觀念、創新意識思維和綜合科研實踐能力三個方面都起到了重要指導作用。所以許多國家在一些重點高等院校和重要科研機構把線性系統理論課程設置為研究生專業基礎和本科生的專業必修課。

該課程中包含有相當數量的系統數學理論推理、抽象概念，且各類數學計算較為復雜，學生在學習過程中普遍反映此課程的學習難度大。雖然學校配備了一些模擬仿真教學實驗，但由于部分學生只是機械地模仿復制學校實驗室的做法，對該校各門學科課程基礎知識的整體理解和實際應用方式缺乏整體感官上的認識，所以會產生課堂教學與課外實踐相互脫節的情況。

針對這些實際問題，引入了以倒立擺的案例分析教學法對程案例進行教學改革[3]，教師根據線性系統理論課程的具體教學大綱、目標及教學要求，采用一些實際的相關工程技術案例，引導廣大學生積極參與案例分析、設計和專題討論，使廣大學生將所學理論知識在實際工程案例中也能得到有效應用，從而不斷培養廣大學生參與分析和設計解決實際相關工程技術問題的綜合能力。

1 線性系統理論案例的建設原則

《教育部關于加強專業學位研究生案例教學和聯合培養基地建設的意見》（教研[20151]號）中，對案例教學作出了明確說明：案例教學是把學生放在教學的中心，將案例當作核心，給出具體的案例場景，在實際場景中學習，完美的結合實際與理論，引導學生發現、分析、解決案例中的問題，進一步發展到能對理論知其然，知其所以然地步的一種教學方式[4]。

“線性系統理論”課程中所涉及到的概念、方法、理論和總結在控制理論其余的課程中都具備一定的指導作用。變通的使用課程中所授知識是學生完成后續科研工作的基礎。以倒立擺系統為對象進行案例設計，實現倒立擺系統的極點配置和LQR最優控制，能更加深入地去掌握并了解本課程在各種典型系統狀態空間的建模、對系統進行諸如可配置極點等分析的應用，進一步提升研究生的實際問題分析能力和解決問題能力。線性系統理論案例構建過程遵循如下原則。

1.1 線性系統理論案例的真實性

培養實踐技能是對控制類專業學位碩士研究生的基礎要求，其培養的重要目標是重視理論基礎、理論實踐。線性系統工程理論實踐案例只有充分反映線性控制系統工程的理論真實性，才能真正使學生在畢業后的實際案例操作過程中把握相關工程的控制設計規律，更好地接近控制工程的實際，從而才能獲得事半功倍的培養效果。

1.2 線性系統理論案例的代表性

線性系統案例的內容是判斷案例體系建設成敗與否的基礎和關鍵，案例體系建設之初必須精選出相應的案例主題，注重其對于案例體系建設的內容。結合我國經典的控制體系和軟件控制流程，選取了一些具有國際代表性和示范意義的案例，使得這些案例能夠在大學生們進行控制的過程中起到啟發、誘導和促進的作用，還能將成功的案例和解決方法自覺地運用于實際生產生活。

1.3 線性系統理論案例的完整性

對于專業學位研究生課程的教學既要十分注重對學生的理論和實踐相互結合的綜合素質培養，還要充分培養他們夯實自己的理論功底，鼓勵他們在理論、算法上進行了大膽的嘗試、創新。沒有堅實的專業知識背景及其理論所做的支撐，沒有堅實的課堂教學專業知識基本背景和其教學理論的支持。學生在學習、工作、成長等方面，很容易感到落后而喪失信心。因此，對于工程學專業的學生來說，在強調其理論和實踐能力的同時，還需要重點研究其基本理論知識。案例也需要考慮理論分析的完整性、邏輯性、準確性和開拓性。

1.4 線性系統理論案例的詳細性

為了起到工程案例所具有的示范作用，案例中所需要采用的各種工程問題解決辦法都應盡量準確，且其解決辦法明確、具體，無歧義。對于具體的控制性問題，在構建案例時不但要詳細地分析各個控制量、被控制對象，建立一套被控制量影響的數學模型，而且要詳細地給出所需要的控制儀表選型、參數設置、控制量和輸出等各個環節的講解，使得廣大大學生按照自己構建的案例不僅能快速地搭建一套具體的控制管理系統，實現具體的控制性問題解決方案，而且還能隨時修改控制算法、控制參數，觀察其增加和減少控制量的作用和效果。

2 倒立擺課程案例的建設優勢

根據線性系統理論課程案例建設遵循的真實性、代表性、完整性及詳細性原則，倒立擺系統作為日常生活生產常用且典型的多變量系統，倒立擺入選線性系統理論案例庫具有一定的優勢。倒立擺系統主要包括系統建模、分析與控制等內容，嵌合線性系統理論課程多個基礎章節知識，滿足教學案例選擇的完整性及詳細性原則。具體如下。

2.1 案例選擇的實用性

有關倒立擺系統的研究也有很大的實際價值，常見的各種有關重心和支點問題的分析和控制，甚至航天器和各種云伺服電機的分析和控制，都和倒立擺控制問題不謀而合[5]。因此，對其穩定控制系統的研究價值是在實踐中存在的，這里有更具應用性的場景，例如，海上鉆井平臺穩定控制，導彈陣地控制，機器人雙腿行走結構等，由此可知，將倒立擺系統作為教學案例非同尋常的實際價值和理論價值。

2.2 控制對象的代表性

倒立擺系統具有明確的原理和較易于實現的設計，倒立擺系統作為多變量系統的代表，可以將多變量控制系統理論中存在的復雜問題，通過在現實的實驗室條件下搭建來進行試驗來解決和研究。針對課堂教學線性系統理論的實驗模型，從實驗模型的概念去考慮，倒立擺系統自然會滿足需求，還被視為實驗模型在數控技術中的應用和推廣。

2.3 建設內容的完整性

倒立擺系統可以分為兩類，單級倒立擺和多級倒立擺，根據Lagrange方程可以分別建立這兩類系統的數學模型;討論有限時間和無限時間情形的線性二次型最優控制問題，給出線性二次型最優問題的算法、類型、最優解的形式及屬性，分析矩陣形代數方程的解法;單級和多級倒立擺系統的最優控制器由線性二次型最優控制理論所給出，進而在控制器的作用下完成倒立擺系統仿真;硬件實現單級和多級倒立擺系統進行實驗驗證。通過系統建模、控制實現、結果仿真、實驗驗證等環節，讓學生從中感受案例教學的實踐性成果。

3 倒立擺課程案例的建設內容

線性系統理論作為線性系統的時域理論，主要是以狀態空間方法為主對線性系統進行分析。主要內容包括：系統的數學描述，系統的分析理論，系統的設計理論。倒立擺的模型建立、分析和控制的流程如圖1所示。根據線性系統理論的課程內容安排，倒立擺系統課程案例的建設內容如下。

3.1 倒立擺實驗器材

單級和多級倒立擺主要包括其機械結構、PCI-8333數據采集卡、驅動電路板、供電電源板組成。倒立擺機械結構有四部分組成。PCI-8333上的中斷源實現位置和角度的定時采樣;用12位的A/D實現位置和擺桿角度的采樣;使用12位的D/A實現控制器控制信號的輸出。驅動板能夠實現的是數據采集、濾波、PWM脈寬調制的輸出及功率放大等。分別采用電源芯片LM1812、LM7912、LM7805、MAX876、LM338，設計相應的電源電路。倒立擺控制系統的控制程序是在VC條件下編譯的，模塊化程序的引入使得后續開發更加容易。

3.2 倒立擺系統的數學模型建立

具有代表性的單級倒立擺系統，整個后支架、轉子和其他裝置安裝在固定導軌、發動機底座的鋼骨架結構上。在建立模型時，必須忽略機械元件的次要元件。根據拉格朗日方程可以去建立實際所需系統的數學模型;根據不同基準的要求，進一步簡化所得到的數學模型，并且也可以使用狀態空間表示法來表示系統模型。

3.3 能控性和能觀性檢驗

不同的控制手段和方法去控制不同種類的倒立擺，已經成為最具有歷史和挑戰性的研究課題之一。對線性時不變系統來說，構造能控性判別陣，可由其秩驗證系統的能控性，如若該矩陣具有滿秩的特性，則說明系統能控。類似的方法是構造能觀性判別陣，并由其秩來驗證系統的能觀性，如若該矩陣具有滿秩的特性，則說明系統能觀。

3.4 線性二次型最優控制

線性二次最優控制理論是指技術上最有意義、理論上最綜合的線性系統理論，以及系統綜合合理性的優化問題，其特點是系統控制的必要性，在這種情況下，首先討論有限時間條件下的線性二次最優控制，其中給出了線性二次最優問題的形式和屬性，然后給出了無限時線性二次最優公式和類型，最優解的形式和屬性。將線性二次最優控制問題歸結為求解矩陣代數方程，最后討論了矩陣代數方程的求解方法。

3.5 極點配置控制器設計

為了更好地使單級和多級倒立擺系統的極點達到符合所需要的瞬態和穩態性能指標，需要把單級和多級倒立擺系統的閉環和穩態極點都配置到所期望的位置上，而這種閉環系統的極點配置可由極點配置控制器自行設計的狀態回饋控制器來實現。首先，在倒立擺系統的建模中已經檢測到驗證了系統是一個完全能控而又能觀的系統;隨后，根據系統的要求，使用狀態反饋將閉環極點選擇在留有一定余量的位置，再經過大量的數據分析即得到預期的閉環極點;最后，將計算所得的預期期望閉環極點代入特征方程組，從而得到反饋增益矩陣。

3.6 LQR控制器的設計

LQR控制器的設計思想是通過優化線性系統的性能指標函數從而設計出目標極小的控制器[6]。根據系統線性條件下的狀態空間方程，使得性能指標函數能夠取得最小，進一步得到系統的控制量，利用求解Riccati代數方程計算出對稱矩陣和狀態反饋陣。在考慮實際系統中存在干擾、模型不確定性以及實際系統存在的限制的情況下，對系統進行了仿真結果的分析與研究，結果證明所設計的單級、二級、三級倒立擺控制器具有良好的魯棒性能與高度的抗干擾能力。

4 結束語

通過典型的倒立擺線性系統仿真案例的分析和設計，學生不僅能直觀地認識、理解倒立擺線性系統基本的構造和實際操作原理，而且能全面且深入地認識理解狀態空間的建模、能控能觀性判斷、李亞普諾夫穩定性理論、極點配置方法和LQR控制器的設計等線性系統的理論實踐內容，熟練地選擇并使用仿真軟件。該實踐案例豐富了其教學內容，大大提高了教學質量，提升了本專業學生綜合運用所學的理論知識來分析和解決實際工程問題的能力。

參考文獻（References）：

[1] 張大克，邢化明，張立東，等.基于數學技術培養的研究生數學課程教學改革[J].中國輕工教育，2020（2）： 76-79

[2] 吳小娟，黃洋.《線性系統理論》課程多元化教學探索[J].產業與科技論壇，2020，19（4）：204-205

[3] 張啟敏，馬婧英，王戰平.案例教學法在現代控制理論課程教學中的應用[J].科教導刊，2020（6）：113-114

[4] 楊迎花，王華靜，謝運甫，等.有機化學實驗教學中課程思政的探索與實踐[J].中國輕工教育，2021（1）：73-76

[5] 王杰，尹慧琳，伍淑莉.基于強化學習的倒立擺控制問題研究[J].信息通信，2019（5）：31-33

[6] 周勇.環形倒立擺系統改進遺傳算法的LQR控制研究[J].機械工程與自動化，2020（3）：31-32