超冷原子系統(tǒng)中電磁誘導(dǎo)透明的弱光矢量怪波

秦璐，馮雪景，蔣亞靜，齊文榮，田紅娟，趙興東,夏世強(qiáng)，楊春潔，張計(jì)才，高玉峰，朱遵略，劉伍明

(1.河南師范大學(xué) a.物理學(xué)院；b.計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院,河南 新鄉(xiāng) 453007；2.中國科學(xué)院 物理研究所 北京凝聚態(tài)物理國家研究中心,北京 100190)

怪波(Rogue Wave)是一種在空間和時(shí)間上局域的具有很高振幅的波.它來無影、去無蹤的特性使其具有很強(qiáng)的破壞性,所以在理論和實(shí)驗(yàn)上，怪波的許多問題都值得深入研究.近年來，不同的物理體系中相繼發(fā)現(xiàn)怪波，包括水槽系統(tǒng)[1]、光纖及諧振腔[2-7]、玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein Condensation，BEC)[8-10]以及金融領(lǐng)域[11]等.關(guān)于怪波的成因，通常認(rèn)為是調(diào)制不穩(wěn)定性(Modulation Instability,MI)將一定范圍的初始頻率放大引起的，導(dǎo)致其遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于初始振幅.2007年，SOLLI等人[12]首次在非線性光纖中觀察到光學(xué)怪波，打開了光學(xué)怪波研究的大門，光學(xué)怪波由于其廣泛的應(yīng)用而備受人們的關(guān)注.

非線性薛定諤方程(Nonlinear Schr?dinger Equations,NLS)可以作為一種簡單的物理模型來分析光學(xué)怪波，而多分量耦合的非線性薛定諤方程可研究不同偏振分量的矢量怪波.本文在三腳架型四能級(jí)冷原子體系實(shí)現(xiàn)了雙分量光學(xué)怪波，其中兩束弱探測場和一束強(qiáng)控制場分別耦合原子能級(jí).由于體系電磁誘導(dǎo)透明效應(yīng)，該體系可以在較弱的功率下實(shí)現(xiàn)矢量光學(xué)怪波.通過調(diào)節(jié)原子系統(tǒng)的參數(shù)，可實(shí)現(xiàn)亮-亮矢量怪波、暗-暗矢量怪波和亮-暗矢量怪波.

1 模型簡介

在電偶極近似和旋轉(zhuǎn)波近似下，原子系統(tǒng)在相互作用繪景下的哈密頓量為

(1)

原子動(dòng)力學(xué)滿足光學(xué)布洛赫方程

(2)

其中ρ是一個(gè)4×4密度矩陣，密度矩陣元為ραβ(α,β=1,2,3,4)描述原子布局和相干.Γ是一個(gè)4×4相干弛豫矩陣，描述系統(tǒng)的自發(fā)輻射和退相干.假設(shè)控制光場強(qiáng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于探測光場，因此不考慮控制光場的動(dòng)力學(xué).探測光場的動(dòng)力學(xué)由麥克斯韋方程描述，在慢變包絡(luò)近似下可以寫為

(3a)

(3b)

2 線性色散關(guān)系

考慮到實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)的可能性，這里選取激光冷卻的87Rb原子氣體，其能能級(jí)結(jié)構(gòu)為：|1〉=|52S1/2,F=1,mF=1〉,|2〉=|52S1/2,F=1,mF=-1〉,|3〉=|52S1/2,F=1,mF=0〉和|4〉=|52P3/2,F=2,mF=0〉.自發(fā)輻射衰退Γ4≈2π×6.06 MHz,Γ3≈2π×3.2 kHz,Γ13≈Γ23=Γ3/2,Γ14≈Γ24≈Γ34=Γ4/3.

(4a)

(4b)

其中Dj(ω)=|Ωc|2-(ω-d3j)(ω+d4j)(j=1,2).

如圖2是探測光場兩個(gè)偏振分量吸收譜的Im(K1)和Im(K2)隨頻率ω變化圖.當(dāng)控制場關(guān)閉時(shí)(圖2(a))，探測光場的兩個(gè)偏振分量的吸收譜線存在一個(gè)很大的吸收峰.當(dāng)控制光場打開時(shí)(圖2(b))，探測光場的兩個(gè)偏振分量的吸收譜線出現(xiàn)透明窗口.

為了討論探測光場兩個(gè)偏振分量的非線性效應(yīng)，應(yīng)該考慮高階情況.在二階解中，Ωp1和Ωp2的可解條件滿足i[?Fj/?z1+(1/Vgj)?Fj/?t1]=0(j=1,2),其中Vgj=1/K1j(K1j=?Kj/?ω)為探測光場j分量的群速度.

在三階解中，系統(tǒng)中的克爾效應(yīng)會(huì)產(chǎn)生很重要的作用.推導(dǎo)得到探測光場兩個(gè)偏振分量的非線性包絡(luò)函數(shù)F1和F2滿足的可解條件

(5a)

(5b)

考慮原子的能級(jí)壽命是有限的，非線性薛定諤方程中的系數(shù)都是復(fù)數(shù)形式.但是由于EIT效應(yīng)存在，系數(shù)的虛部都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于實(shí)部，可以忽略不計(jì).通過定義ζ=z/LD，τ=(t-z/Vg)/τ0,u1=(Ωp1/U0)exp(-iK1z),u2=(Ωp2/U0)exp(-iK2z),耦合非線性薛定諤方程轉(zhuǎn)化為無量綱形式

(6a)

(6b)

3 矢量怪波解

由于控制光場誘導(dǎo)的EIT效應(yīng)，因此方程(6)中的復(fù)系數(shù)的虛部可以忽略.這使得方程(6)幾乎是可積的，因此系統(tǒng)支持矢量怪波解.當(dāng)忽略系數(shù)的虛部時(shí)，方程(6)很容易得到亮-亮，亮-暗和暗-暗怪波解.

通過選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)，方程(6)中無量綱參數(shù)gδ=0.001,gD1=-1,gD2=-1,g11=g12=g21=g22≈-2.此時(shí)系統(tǒng)非線性為自聚焦非線性.上式方程即成為矢量非線性薛定諤方程(Vector Nonlinear Schr?dinger Equations,VNLS)或Manakov 系統(tǒng)

(7a)

(7b)

利用標(biāo)準(zhǔn)的達(dá)布變換[13-15]求解聚焦矢量非線性薛定諤方程(7)可得到有理解，即怪波解

(8)

與傳統(tǒng)的固態(tài)系統(tǒng)相比，超冷原子系統(tǒng)的一大優(yōu)勢(shì)就在于其易于操控.選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)，非線性薛定諤方程無量綱參數(shù)gδ=0.001,gD1=-1,gD2=-1,g11=g12=g21=g22≈2,此時(shí)系統(tǒng)非線性為自散焦非線性[16-17].在自聚焦條件下，矢量非線性薛定諤方程支持亮怪波解.在自散焦條件下，非線性薛定諤方程支持暗怪波.利用標(biāo)準(zhǔn)的達(dá)布變換[13-15]，可得到矢量自散焦非線性薛定諤方程的怪波解

(9)

選擇不同的初始輸入?yún)?shù)，體系支持暗-亮怪波解.如圖5所示，探測場兩個(gè)偏振分量的峰值強(qiáng)度分布，其中a1=3,a2=1,q=1.觀察發(fā)現(xiàn)探測光場一個(gè)偏振分量|u1|在(τ,ζ)=(0,0)位置，其峰值下陷至最小值，即暗怪波.探測光場另一個(gè)偏振分量|u2|在(τ,ζ)=(0,0)位置，具有極高的峰值，即亮怪波.

4 調(diào)制不穩(wěn)定性

關(guān)于怪波的起因，目前有很多不同的猜測.調(diào)制不穩(wěn)定性被認(rèn)為是誘導(dǎo)怪波的一種重要機(jī)制，它可以將一定范圍的初始頻率放大，這部分放大頻率所對(duì)應(yīng)波的振幅隨著演化將越來越大，并最終遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于初始振幅[18-20].

(10)

其中αj和βj為擾動(dòng)部分的復(fù)振幅，δ為無量綱的波矢，λ為擾動(dòng)的增長率.

將調(diào)制的平面波(10)式代入到無量綱的耦合非線性薛定諤方程(7)中，保留αj和βj的線性部分可以得到擾動(dòng)增長率

(11)

擾動(dòng)增長率有虛部出現(xiàn)時(shí)，平面波背景不穩(wěn)定，即為產(chǎn)生怪波的條件.如圖6所示，在一定的δ區(qū)間，擾動(dòng)增長率存在，對(duì)這些頻率下的擾動(dòng)，穩(wěn)態(tài)解是不穩(wěn)定的，可以發(fā)生調(diào)制不穩(wěn)定性.

5 結(jié) 論

在許多物理系統(tǒng)中都發(fā)現(xiàn)怪波現(xiàn)象，為了詳細(xì)研究怪波的成因，遏制其帶來的危害.本文提出在冷原子系統(tǒng)中研究光學(xué)怪波，通過解析推導(dǎo)及數(shù)值模擬，得到了非線性條件下的光學(xué)怪波.進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，雙分量模型可以實(shí)現(xiàn)亮-亮怪波，暗-亮怪波和暗-暗怪波.此外，通過調(diào)制不穩(wěn)定分析，詳細(xì)地研究產(chǎn)生光學(xué)怪波的條件，有助于對(duì)非線性系統(tǒng)的不穩(wěn)定性本質(zhì)和動(dòng)力學(xué)有更深刻的理解，并發(fā)現(xiàn)其在光學(xué)信息處理和光學(xué)傳輸方面的潛在應(yīng)用.