基于彈流耦合算法的船舶艉軸承潤滑特性分析*

張 斌 朱漢華

(武漢理工大學能源與動力工程學院 湖北武漢 430063)

大型船舶艉軸承經(jīng)常處于重載工況，交變載荷產(chǎn)生的摩擦熱使?jié)櫥陀湍ず穸葴p小，甚至使軸瓦承載區(qū)無法形成具有一定承載力的油膜[1]。此時，彈性變形和油膜厚度非常接近，相對誤差如此之小的彈性變形勢必會對軸承潤滑性能產(chǎn)生重要影響。彈流潤滑理論的日趨完善，使廣大學者漸漸看到了彈性變形的本質(zhì)和影響。

CONWAY和LEE[2]利用彈性位移方程來研究剛性軸承座中特殊形狀軸瓦表面彈性位移分布的變化，并簡化了數(shù)值計算求解彈性變形的過程。FANTINO和FRENE[3]對表征內(nèi)燃機連桿軸承的潤滑性能參數(shù)進行了迭代求解，對比分析了是否考慮彈性變形潤滑性能產(chǎn)生的差異，結(jié)果表明，計入彈性變形后油膜壓力呈現(xiàn)雙峰甚至多峰分布，同時最小油膜厚度近似線性減小。何芝仙和桂長林[4]優(yōu)化了彈性變形的計算方法，雖然結(jié)果存在一定誤差，卻大大提高了計算速度。鄒爭等人[5]通過數(shù)值計算的方法得到艉軸承變形的解析解，分析了安裝參數(shù)和工況參數(shù)對軸承變形的影響，并通過設(shè)計正交表來評估不同影響因素對彈性變形的影響程度。馬艷艷和崔子偉[6]發(fā)現(xiàn)應(yīng)力偶軸承更適合研究彈性變形，并在雷諾方程中加入應(yīng)力偶參數(shù)，推導出適合分析應(yīng)力偶軸承變形的雷諾方程。結(jié)果表明：相比于普通軸承，應(yīng)力偶軸承的彈性變形更明顯，且最大彈性變形量與應(yīng)力偶參數(shù)成正比。近年來，隨著對彈性變形研究的逐步深入，單一變量求解的方法已經(jīng)不再滿足精度要求，研究人員提出了油膜壓力、厚度、彈性變形的耦合求解算法，使得彈流潤滑理論日趨完善。

本文作者以重載工況下的船舶艉軸承為研究對象，通過有限單元法結(jié)合耦合算法求解油膜壓力、油膜厚度、彈性變形，進一步分析不同影響因素對艉軸承彈流潤滑特性的動態(tài)影響趨勢，得到一些有利于軸承設(shè)計和安裝的結(jié)論。

1 彈流潤滑數(shù)學模型

1.1 Reynolds方程

對Navier-Stokes方程(N-S方程)進行簡化得到Reynolds方程[7]：

(1)

式中：h為油膜厚度；p為油膜壓力；η為潤滑油動力黏度；U為軸頸轉(zhuǎn)速；x為周向坐標；y為軸向坐標。

式(1)為研究流體潤滑提供了數(shù)值計算的依據(jù)，其意義在于將油膜壓力p、油膜厚度h、潤滑油動力黏度η、軸頸轉(zhuǎn)速U等看似沒有關(guān)聯(lián)的參數(shù)有效聯(lián)系起來，實現(xiàn)了已知某一參數(shù)來求解其他未知參數(shù)的目標。文中將基于Reynolds方程進行潤滑分析。

1.2 有限單元法求解軸瓦彈性變形

文中建立了考慮軸瓦厚度的三維有限單元模型，將軸瓦整個表面的彈性變形分解到每個節(jié)點來求解。對軸瓦模型建立三維坐標系，x、y、z分別表示周向、軸向和徑向。所建模型及坐標系如圖1所示。

(1)離散和選擇一般單元

在對多自由度的計算模型進行離散時通常選用8節(jié)點六面體單元，文中軸瓦模型單元用u、v、w分別表示每個節(jié)點的3個自由度，下標1～8分別表示六面體的8個節(jié)點。如圖2所示。

(2)選擇位移函數(shù)

假設(shè)每個節(jié)點的坐標為(xi，yi,zi)，i=1,2,…,8

選擇位移函數(shù)[8]：

u=a1+a2x+a3y+a4z+a5xy+a6xz+a7yz+a8xyz

(2)

各節(jié)點的位移分別表示為u1,u2,…,u8，位移矩陣如式(3)所示。

(3)

定義形狀函數(shù)為N，節(jié)點位移量為S，則：

(4)

將3個自由度的位移場u、v、w分別表示為向量形式：

(5)

(3)定義應(yīng)變位移和應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系[9]

三維實體模型的應(yīng)變向量如式(6)所示。

(6)

定義矩陣B(6×24)為

(7)

則應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系可以表示為

ε=BS

(8)

(4)推導單元剛度矩陣

單元剛度矩陣由矩陣B、D通過轉(zhuǎn)置變換和積分推導求得[10]：

(9)

式中：Ke為單元剛度矩陣；D為彈性矩陣。

(5)組裝形成整體剛度矩陣

如果沒有引入適當?shù)倪吔鐥l件對單元剛度矩陣進行自由度限制而直接求解，很難消除多自由度帶來的不確定性，進而引發(fā)位移結(jié)果的多變性。因此，合適的邊界條件對于剛度矩陣的求解至關(guān)重要[11]。文中引入如下的邊界條件：

①三維有限單元模型表面的等效壓力載荷來自于軸瓦內(nèi)表面受到的油膜壓力，且油膜壓力連續(xù)分布在整個軸瓦內(nèi)表面；

②在組裝整體剛度矩陣的過程中，軸瓦外表面受到的約束為剛性約束，模型各節(jié)點均無任何自由度的位移[12]。

組裝形成的整體剛度矩陣為

(10)

式中：K為整體剛度矩陣；G為單元節(jié)點轉(zhuǎn)化矩陣。

(6)求解位移

求解位移，需建立有限元方程進行求解，進而得到整體剛度矩陣中各節(jié)點的位移式[13]。文中建立的有限元方程如下：

KSz=Fz

(11)

式中：Sz為整體結(jié)構(gòu)中各節(jié)點的位移；Fz為整體結(jié)構(gòu)中各節(jié)點的等效載荷。

1.3 彈流潤滑耦合算法

彈流潤滑耦合算法具體方法為：首先通過有限差分法求解Reynolds方程得到油膜厚度和壓力，作為彈流潤滑油膜厚度和壓力的初值；在初始壓力作用下軸瓦會產(chǎn)生彈性變形，計入彈性變形后油膜厚度會改變[14]，此時需要在初始油膜厚度上加入彈性變形，得到新的油膜厚度；油膜厚度的改變又會影響油膜壓力，再代入Reynolds方程求解得到新的油膜壓力。以上步驟作為第一次循環(huán)，通過MATLAB編程進行多次迭代，事先設(shè)定收斂精度，每一次循環(huán)結(jié)束后都校核軸承給定外載荷和油膜承載力的誤差[15]，檢驗誤差是否滿足收斂精度，這樣才能真正實現(xiàn)對潤滑性能參數(shù)的耦合求解。耦合算法的求解流程如圖3所示。

圖3 彈流潤滑耦合算法流程Fig.3 Flow of elastohydrodynamic lubrication coupling algorithm

2 模型驗證

為驗證所建彈流潤滑數(shù)學模型的正確性，選取文獻[16]中的全圓軸承參數(shù)進行驗證，基本參數(shù)如表1所示。

表1 軸承及潤滑油基本參數(shù)Table 1 The basic parameters of bearing and lubricating oil

對比圖4和圖5可知，雖然文中得到的壓力分布圖中從峰值壓力降為0的過程要比較緩慢，可能是因為在求解軸頸平衡位置的過程中文獻[16]是采用割線法，而文中采用非線性方程求根的方法，造成一定誤差，但油膜壓力沿周向和軸向的變化趨勢基本一致，可以證明文中數(shù)學模型的正確性。

圖4 文中油膜壓力分布Fig.4 Oil film pressure distribution in this paper

圖5 文獻[16]油膜壓力分布Fig.5 Oil film pressure distribution in reference[16]

3 動態(tài)參數(shù)對艉軸承彈流潤滑特性的影響

基于建立的船舶艉軸承彈流潤滑數(shù)學模型，將彈性模量、軸承間隙、長徑比3種參數(shù)作為影響因素，分析了3種動態(tài)參數(shù)對艉軸承彈流潤滑特性的影響。所選用的艉軸承相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表2 艉軸承及潤滑油相關(guān)參數(shù)Table 2 Parameters of stern bearing and lubricationg oil

3.1 動態(tài)彈性模量對艉軸承彈流潤滑特性的影響

彈性模量在彈性力學中定義為物體所受的應(yīng)力和產(chǎn)生應(yīng)變的比例系數(shù)，作為彈性體在彈性變形階段的重要物理量，可以用來衡量材料產(chǎn)生變形的難易程度，也可以看作材料剛度的體現(xiàn)。圖6—13示出了動態(tài)彈性模量對艉軸承彈流潤滑特性的影響，彈性模量的范圍是100～150 GPa。

圖6 動態(tài)彈性模量影響下彈性變形三維分布Fig.6 Three dimensional distribution of elastic deformationunder the influence of dynamic elastic modulus：(a)100 GPa;(b)110 GPa;(c)120 GPa;(d)130 GPa;(e)140 GPa;(f)150 GPa

圖7 彈性模量對最大彈性變形量的影響Fig.7 Influence of elastic modulus on maximum elastic deformation

圖8 動態(tài)彈性模量影響下油膜壓力三維分布Fig.8 Three dimensional distribution of oil film pressureunder the influence of dynamic elastic modulus：(a)100 GPa;(b)110 GPa;(c)120 GPa;(d)130 GPa;(e)140 GPa;(f)150 GPa

圖9 彈性模量對最大油膜壓力的影響Fig.9 Effect of elastic modulus onmaximum oil film pressure

圖10 動態(tài)彈性模量影響下油膜厚度三維分布Fig.10 Three dimensional distribution of oil film thicknessaffected by dynamic elastic modulus：(a)100 GPa;(b)110 GPa;(c)120 GPa;(d)130 GPa;(e)140 GPa;(f)150 GPa

圖11 彈性模量對最小油膜厚度的影響Fig.11 Influence of elastic moduluson minimum oil film thickness

圖12 彈性模量對摩擦力的影響Fig.12 Effect of elastic modulus on friction

圖13 彈性模量對端泄流量的影響Fig.13 Effect of elastic modulus on end discharge

對比圖6和圖8可以發(fā)現(xiàn),彈性變形和油膜壓力的分布趨勢相似，幾乎都是在周向中點附近取得最大值，沿周向和軸向均呈現(xiàn)先增后減的趨勢。由圖10可知，油膜厚度在周向中點附近取得最小值。軸承在周向180°附近油膜壓力和油膜厚度會同時出現(xiàn)最大值和最小值，因此該區(qū)域潤滑環(huán)境復雜，需要引起關(guān)注。通過觀察圖7、圖9和圖11可知，彈性模量增加時，油膜峰值壓力增加，最大彈性變形量和最小油膜厚度均減小。原因在于彈性模量增加，軸瓦表面剛性變強，軸瓦不易發(fā)生形變，相同外部條件下最大彈性變形量減小；軸承承載能力增加，意味著油膜峰值壓力增加；增大油膜壓力會導致偏心率增大，最小油膜厚度在周向0～180°的區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)，由油膜厚度的公式可知，在此區(qū)間內(nèi)油膜厚度與偏心率成反比，因此最小油膜厚度會減小。

由于黏度的作用，潤滑油在軸承間隙流動時會產(chǎn)生摩擦力。如果摩擦力太大，會產(chǎn)生過量的摩擦熱和摩擦功耗，影響軸承工作效率。軸承在工作中會從軸承兩端泄漏部分油量，稱為端泄流量。為保持一種動態(tài)平衡，需要不斷補充和端泄流量相等的潤滑油，所以計算端泄流量的意義在于了解補償流量。由圖12和圖13可知，增大彈性模量，材料的摩擦因數(shù)增大，因此摩擦力增加；端泄流量與油膜壓力和厚度都有關(guān)，雖然膜厚減小，但周向兩端壓力梯度增大的作用更明顯，導致端泄流量小幅度增加。

綜合彈性模量對艉軸承彈流潤滑性能的影響可以看出，在一定區(qū)間內(nèi)增大彈性模量能有效減小軸瓦產(chǎn)生的彈性變形，油膜峰值壓力、摩擦力和端泄流量均增加，但最小油膜厚度會近似線性減小。

3.2 動態(tài)軸承間隙對艉軸承彈流潤滑特性的影響

彈性變形和軸承間隙之間有著不可分割的關(guān)系，而間隙改變會直接影響到油膜厚度。此外，間隙太小可能使軸頸和軸瓦直接接觸，發(fā)生摩擦磨損，導致潤滑失效。圖14—21示出了艉軸承潤滑特性隨軸承間隙的動態(tài)變化趨勢，軸承間隙的范圍是0.03～0.08 mm。

圖14 動態(tài)軸承間隙影響下彈性變形三維分布Fig.14 Three dimensional distribution of elastic deformationunder the influence of dynamic bearing clearance：(a)0.03 mm;(b)0.04 mm;(c)0.05 mm;(d)0.06 mm;(e)0.07 mm;(f)0.08 mm

圖15 軸承間隙對最大彈性變形量的影響Fig.15 Influence of bearing clearance onmaximum elastic deformation

圖16 動態(tài)軸承間隙影響下油膜壓力三維分布Fig.16 Three dimensional distribution of oil film pressureunder the influence of dynamic bearing clearance：(a)0.03 mm;(b)0.04 mm;(c)0.05 mm;(d)0.06 mm;(e)0.07 mm;(f)0.08 mm

圖17 軸承間隙對最大油膜壓力的影響Fig.17 Influence of bearing clearanceon maximum oil film pressure

圖19 軸承間隙對最小油膜厚度的影響Fig.19 Influence of bearing clearance on minimum oil film thickness

圖20 軸承間隙對摩擦力的影響Fig.20 Influence of bearing clearance on friction

圖21 軸承間隙對端泄流量的影響Fig.21 Influence of bearing clearance on end discharge

由圖14—19可知，彈性變形、油膜壓力沿周向和軸向均近似呈拋物線分布，且基本分布趨勢不受軸承間隙變化的影響。軸承間隙改變會直接影響彈性變形量，進而改變油膜壓力、厚度，可以看出，當軸承間隙增加時，油膜峰值壓力增加，最大彈性變形量和最小油膜厚度則線性減小，與軸承間隙呈現(xiàn)出較強的負相關(guān)關(guān)系。從圖20、21可以看出，摩擦力、端泄流量隨軸承間隙增大而增大，但增加幅度不大，均在10%以內(nèi)。這主要是因為增加軸承間隙和增大材料的泊松比效果相似，會導致軸瓦的豎直變形量增加，因此最大彈性變形量增加。在定偏心距時，由偏心率和軸承間隙的關(guān)系可知，間隙增大會引起偏心率減小，而偏心率是相關(guān)潤滑參數(shù)的重要影響因素，其值減小會直接引起油膜峰值壓力、摩擦力、端泄流量增加，最小油膜厚度減小，尤其是大偏心率情況下，潤滑參數(shù)的變化會更明顯。

綜上所述，軸承間隙增加可以有效減小最大彈性變形，提高油膜峰值壓力，但最小油膜厚度會減小，而摩擦力和端泄流量受軸承間隙的影響不大。因此在軸承安裝時，需要將軸承間隙控制在合理的區(qū)間內(nèi)，確保軸承處于優(yōu)良的潤滑環(huán)境。

3.3 動態(tài)長徑比對艉軸承彈流潤滑特性的影響

長徑比作為材料重要的設(shè)計參數(shù)之一，通常用來描述材料的形狀，長徑比大的材料為細長狀，長徑比小的材料為短粗狀。圖22—29示出了艉軸承彈流潤滑特性隨長徑比的動態(tài)變化趨勢，長徑比的范圍是0.5～5。

圖22 動態(tài)長徑比影響下彈性變形三維分布Fig.22 Three dimensional distribution of elastic deformationunder the influence of dynamic aspect ratio：(a)L/d=0.5;(b)L/d=1;(c)L/d=2;(d)L/d=3;(e)L/d=4;(f)L/d=5

圖23 長徑比對最大彈性變形量的影響Fig.23 Influence of length diameter ratioon maximum elastic deformation

圖27 長徑比對最小油膜厚度的影響Fig.27 Influence of aspect ratio on minimum oil film thickness

圖28 長徑比對摩擦力的影響Fig.28 Effect of length diameter ratio on friction

圖29 長徑比對端泄流量的影響Fig.29 Effect of length diameter ratio on end discharge

從圖22、24可看出，彈性變形與油膜壓力出現(xiàn)最大值的位置仍在周向中點附近。從圖23、25、27可知，當長徑比從0.5線性增加至5時，最大彈性變形量近似線性增加，油膜峰值壓力則剛好相反，而最小油膜厚度僅增加了0.001 3 mm，說明長徑比對最小油膜厚度的影響較小。從圖28、29可知，摩擦力和端泄流量都與長徑比呈現(xiàn)出一種負相關(guān)關(guān)系。總體來看，增大長徑比，會使軸瓦內(nèi)表面產(chǎn)生較大的彈性變形，軸承間隙減小，進而降低油膜峰值壓力、摩擦力和端泄流量。產(chǎn)生上述變化的原因在于增大長徑比，軸瓦受力的比面積減小，相同外載條件下會產(chǎn)生更大的形變，因此最大彈性變形量增加；改變長徑比的本質(zhì)在于改變了軸承形狀，大長徑比的軸承會使油膜壓力分布更均勻，比壓不變時，油膜峰值壓力減小，最小油膜厚度略有增加。此外，長徑比也是偏心率的重要影響因素之一，增大長徑比致使偏心率增加，而摩擦力和端泄流量都會隨偏心率的增加同步減小。因此，在設(shè)計艉軸承長徑比時，應(yīng)綜合考慮艉軸承在重載工況下可能產(chǎn)生的彈性變形以及彈性變形對潤滑特性的影響。

4 結(jié)論

基于彈流潤滑耦合算法分析了艉軸承的彈流潤滑特性，探討彈性模量、軸承間隙、長徑比3種因素對艉軸承彈流潤滑特性的影響，得到以下結(jié)論：

(1)彈性變形和油膜壓力的三維分布趨勢相似，沿周向和軸向都近似呈拋物線分布，最大值出現(xiàn)在周向中點附近。

(2)隨彈性模量增加，油膜峰值壓力增加，最大彈性變形量和最小厚度均減小，摩擦力和端泄流量同時增加；隨軸承間隙增加，油膜峰值壓力穩(wěn)步提高，最大彈性變形量和最小油膜厚度卻剛好相反，近似線性減小，而摩擦力、端泄流量受軸承間隙的影響較小；隨長徑比增加，彈性變形與油膜壓力的分布更為平緩，最大彈性變形量近似線性增加，油膜峰值壓力減小，最小油膜厚度變化不明顯，而摩擦力和端泄流量都與長徑比呈現(xiàn)出一種負相關(guān)關(guān)系。