亞正規對偶截斷Toeplitz算子

丁宣浩， 黃雨浩， 桑元琦， 李永寧

1.重慶工商大學 數學與統計學院，重慶 400067；2.經濟社會應用統計重慶市重點實驗室，重慶 400067；3.西南財經大學 經濟數學學院，成都 611130

記H2表示開單位圓盤D={z∈C：|z|<1}上的Hardy空間，L2=L2(T)是單位圓周T={z∈C：|z|=1}上的平方可積函數構成的空間，L∞表示由T上全體本性有界函數構成的空間，H∞是D上有界解析函數構成的全體．

對于每一個非常值的內函數u，我們稱

Tfx=P(fx)x∈H2

模型空間正交補上的對偶截斷Toeplitz算子Df定義為

文獻[1-2]發現對偶截斷Toeplitz算子與Hardy空間上的Toeplitz算子[3]有許多相同的性質．例如：對偶截斷Toeplitz算子是有界的當且僅當其符號是有界的；緊的對偶截斷Toeplitz算子只能是零算子；對偶截斷Toeplitz算子為零算子當且僅當其符號為零；符號為連續函數的對偶截斷Toeplitz算子生成的C*-代數模去緊算子后構成的理想*-等距同構于T上的連續函數全體[2]．

因此，我們特別考慮是否Df是次正規算子當且僅當Tf是次正規算子?

為了說明我們的研究動機，首先來回顧次正規算子的定義以及Halmos第五問題的歷史．

對于Hilbert空間H上的算子S，如果S存在一個包含H的Hilbert空間K，且其上的正規算子N滿足S=N|H，則稱S為次正規算子．次正規算子理論在許多問題中都有廣泛應用[4]．文獻[5]對Toeplitz算子提出了著名的Halmos第五問題“是否次正規Toepltiz算子不是解析的就是正規的?” 文獻[6]給出了Halmos第五問題成立的充分條件．文獻[7]認為這個猜測幾乎是正確的．然而，Halmos第五問題首先被我國著名算子理論學家孫順華先生解決[8-9]．此外，文獻[10]也對這個問題進行了研究．但是至今數學家無法給出次正規Toeplitz算子的符號刻畫．

對偶截斷Toeplitz算子與Toeplitz算子有許多差異．文獻[11]的定理9證明了兩個解析Toeplitz算子的乘積還是Toeplitz算子．然而，我們很容易構造出兩個解析對偶截斷Toeplitz算子，其乘積不是對偶截斷Toeplitz算子[1]．更多關于Toeplitz算子和Hankel算子的相關研究可參見文獻[12-13]．

本文的第一部分，我們考慮了對偶截斷Toeplitz算子版本的Halmos第五問題，證明了不存在解析的次正規對偶截斷Toeplitz算子．本文的第二部分，我們完全刻畫了亞正規的對偶截斷Toeplitz算子．

1 解析對偶截斷Toeplitz算子

令Mf為L2上的乘法算子，定義為

Mfφ=fφ

Mf正是解析Toeplitz 算子Tf的正規延拓．因此，Hardy空間H2上每一個解析的Toeplitz算子Tf都是次正規的．Df(f是解析函數)在uH2上的限制Df|uH2是次正規的，但是我們不知道解析對偶截斷Toeplitz算子是否是次正規的．因此我們考慮如下的問題：

問題1是否每個解析對偶截斷Toeplitz算子都是次正規的?

下面的定理1將給出問題1的否定回答．

定理1如果f是一個非常數的解析函數，則Df不是次正規的．

證假設Df是次正規的，則存在正規延拓N，使得

此外，N+λI也是正規算子，并且滿足

其中λ是常數．因此，Df+λI是次正規的．不失一般性，假設f(0)=0．令f=zf1，其中f1∈H2．因為次正規算子必是亞正規的，所以Df是亞正規的．Hilbert空間H上的算子T為亞正規算子當且當

T*T≥TT*

當且當

‖Tx‖≥‖T*x‖ ?x∈H

因為

和

因此

進一步，

矛盾，則

2 亞正規對偶截斷Toeplitz算子

因為每個解析對偶截斷Toeplitz算子不是次正規的，我們將對偶截斷Toeplitz算子的Halmos第五問題改寫為如下形式：

問題2是否每個次正規的對偶截斷Toeplitz算子都是正規的?

首先，我們用復對稱算子的方法給出問題2的肯定回答．然后，運用經典的Toeplitz算子理論，完全刻畫正規對偶截斷Toeplitz算子的符號．

對于Hilbert 空間上的算子T，存在一個等距且共軛線性的對合映射C，使得

3.因果式(前因后果或前果后因)。如竺可楨的《沙漠里的奇怪現象》，文章從沙漠中的奇怪現象入手，揭示了光線、聲音作怪的奧秘。

CTC=T*

在L2上有一個經典的對合映射C，其定義為

定理2如果f∈L∞，則下面的3條陳述是等價的：

證?由上面的討論，我們知道亞正規的對偶截斷Toeplitz算子都是正規的．反過來，根據定義，每個正規算子一定是亞正規的．

(1)

展開(1)式可得

(2)

取y=ux，x∈H2，則(2)式變為

(3)

因此

根據文獻[3]的命題7.5，可得

則

進一步有

(4)

計算下式

由(4)式可得

類似地，有

因此

注1Hardy空間上的Toeplitz算子反酉等價于(H2)⊥上的對偶Toeplitz算子(H2)⊥[18-19]．

但是對于模型空間的情況就完全不同了，對偶截斷Toeplitz算子Df是正規的當且當Tf是正規的(定理2)，當且當存在常數c和d以及一個實值函數φ∈L∞，滿足f=cφ+d．正規截斷Toeplitz算子與正規對偶截斷Toeplitz算子的符號有巨大區別，并且是復雜的[20-21]．