“大應用”數學觀的思考與實踐

廣東茂名市光華小學（525000） 曾德統

“大應用”數學觀是一種超越經驗主義、實用主義和理性主義的應用觀，是一種全面的、和諧的、特色化的育人觀和方法論。它把數學育人提高到一個新的層次。“大應用”數學，大在過程，大在全人，大在整合，大在未來。

一、什么是“大應用”數學

“大應用”數學之“大”，是相對于狹義的“應用”而言的，它是一種基于理論基礎和行動導向，綜合的、融通的數學學習理念，是對知行合一精神的價值回歸。“大應用”數學回歸教育本源，改變生活實踐能力欠缺的“考試人”“知識人”的狀態，塑造全面協調發展的“社會人”。所謂“社會人”，可以從應用思維、應用行為、應用態度和應用文化四個維度來理解。

“大應用”數學，“大”在哪里？

首先，大在過程。2020 年發布的《深化新時代教育評價改革總體方案》提出結果評價、過程評價和增值評價，覆蓋了教育長跑的起點、過程和終點，并以綜合評價貫穿其中，構成了一個多維立體、全面動態的評價體系。“大應用”本身就是一個過程，但關注點卻在于人的持續成長的過程，體現數學育人功能的多維和動態，在應用的過程中展示思維、思想成長的過程。通過應用過程去檢驗評價育人的效果，更能精準地進行科學的評價。

其次，大在全人。狹義的應用觀側重知識本身和技能技巧的應用，“大應用”數學則關注學生多方面的綜合發展。真正的學習經驗并非被動接受灌輸而得到，它必須是作為主體的人，通過主動實踐習得。“大應用”數學有利于加強教育的主體與學校外部世界的關聯，為培養體腦結合全面發展的人提供了路徑。

再次，大在整合。整合是新時代的一個熱詞，也是課程改革的重要方向。“大應用”數學關注的是整體協調發展，因此它強調學科的相互融合，課程內容的相互滲透、推陳出新。數學作為基礎工具性學科，不應只是粗淺地學習“1+1=2”。我們從數學史中知道，從古希臘開始，數學就與哲學建立了密切的聯系；到了近代，數學進入了人文社會科學領域；再到當代，數學與人文社會科學整合更是一種強大的趨勢。“大應用”數學，是把數學與其他學科密切聯系起來，在融入其他學科中綻放數學的光芒。

最后，大在未來。未來教育的樣子，將會是大應用、大融合、智能化的場景：未來的學校，很可能會是一個開放的空間，與社區充分地融為一體；未來的課堂教學，可能會在大自然、社區、工廠和企業的作業場所中進行；未來的學習，在突出個別化學習的同時，還有廣泛的同伴互助；未來的學生，更加關注職業啟蒙和職業規劃。“大應用”數學在未來的場景中將更具生命力，在高端的智能化場景中，知識只是載體，應用能力與意識、創新能力與意識才是未來公民的必備品質。

二、“大應用”數學提出的背景與理論依據

中外歷史上對數學應用的探索從未停止。未來人類智慧、人工智能和智能制造的“三智”融合，使生產生活走向智能。這一切，都呼喚著“大應用”數學的到來。

1.弗蘭登塔爾與現實數學教育

弗蘭登塔爾反對把數學教育的目標看成“致力于智力（思維能力）的發展”。“雖然這些系統是完美的，但同時也是封閉的，封閉到沒有出口和入口，完美到機器亦能處理。一旦機器可以介入，人的作用就不重要了。”他認為這類似于把學生訓練成計算機的教育模式，沒有留給學生發揮主動性和創造力的空間。數學在本質上是一項人類活動，應當使已經存在于頭腦中的那些非正規的數學知識和數學思維，上升發展為科學的結論，實現數學的“再發現”。他還認為，數學教育應當從學生熟悉的現實生活開始和結束，從生活中的問題到數學問題，從具體問題到抽象概念，從特殊關系到一般規則，通過學生自己的發現去學習數學、獲取知識。

2.陶行知的生活教育理論

陶行知先生的生活教育理論包含三重含義。一是生活即教育。生活中的每時每刻都需要教育，不同的生活內容都具有教育的功效。二是社會即學校。社會是所有人接觸和生存的環境，社會環境可以被看作一個教育的大環境，將學校與社會相結合，教育服務于生活，學校服務于社會，運用社會大環境來實現對學生的培養。三是教、學、做合一。即教師的“教”和學生的“學”應結合社會需要，將理論和經驗付諸實際，來檢驗教和學的成果。陶行知先生從大教育觀出發，指出生活的過程就是一種教育的過程，這和“大應用”數學提出的初衷和理念是一致的。

3.課程標準與數學應用意識

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》明確把“應用意識”作為十大關鍵詞之一。“應用”這部分內容既不好教，也不好考，但是又很重要，它支配著我們解決實際問題的整個過程。課程標準提出“增強應用意識，提高實踐能力”，并指出應用意識的主要表現，一是認識數學在現實生活中的廣泛應用，二是主動運用數學知識解決問題，三是探索數學知識的應用價值，達到數學知識現實化、現實知識數學化的良性循環。

三、“大應用”數學背后的價值思考

“大應用”數學，追求的是成長主體通過真實的實踐應用過程，將課本的理論知識與生活的實踐活動相結合，進行知識的“再生產”、真內化，進而深化知識，增長才干，更好地解決主體成長過程中出現的理論和實踐割裂、學與用分離以及教與學脫節等問題。“大應用”數學同樣注重扎實的數學基礎、數學思想方法，包括數學建模、數學計算、解決實際問題等基本能力，在應用中內化數學應用意識。愛因斯坦指出，教育就是當一個人把在學校所學的知識忘光之后剩下的東西。“大應用”數學的核心就是關注這些“剩下的東西”，統籌解決學生尚未了解的關鍵問題。

1.更能培養“社會人”。“大應用”數學以應用為載體，著眼通過處理好個體與社會、實踐與認識、生活與學習等的關系，理性尋求實踐與認識的交融處，實現學生潛在的價值，讓學生更好地成為“社會人”。

2.更好地促進課程改革。新的教育評價更關注學生的成長動態過程性評價。數學課程改革重要的內容之一便是讓學生學會如何將自己所學到的知識與實際生活聯系起來，并能夠在日常的生活中應用這些知識。“大應用”數學關注作為“整體的人”的發展，關注整合，著眼于未來。

3.更好地進行深層學習。應用是思維的試金石。小學生的年齡特點，要求我們從現實出發，從問題入手進行深層學習。“大應用”數學就像一面照妖鏡，對于假深度、假學習等現象，一照便知。對小學數學課堂來說，深層學習體現在培養學生興趣、發展思維，體現在課堂中見數學思想、有生產生成。

4.更好地培養應用意識。提出“大應用”數學教學理念，是為了更好地培養學生的數學應用意識。“大應用”數學能夠最大限度地將數學課堂與實際生活聯系起來，讓學生學會如何在生活中應用自己所學到的數學知識，并思考知識背后的價值。

5.更能讓數學持續生長。數學是基礎學科、工具學科，但它不僅僅是工具和方法，也是一種思維模式，一門科學，一種文化，一種素質。“大應用”數學從認識論的視角思考，學生的整個認知過程，都將受到隱性知識的支配和影響，都將通過隱性知識指導自身獲取顯性知識，從而實現顯性、隱性兩類知識的相互促進和互相轉化、良性生長。

四、“大應用”數學教學的實踐

俗話說：“做到老，學到老。”其實也可以這樣理解：學以致用，應用已學的知識、技能、方法和思想去解決問題，包括生活實踐和未知領域的問題。反之，在應用的過程中提升“學”的層次，用就是學，學也是用，用與學互相促進。縱看，“大應用”貫穿人的學習全過程，貫穿人一生的成長，貫穿社會文明的代代傳承與發展；橫看，“大應用”體現跨學科的整合滲透，人與人、人與社會，甚至人與AI 機器之間的滲透支持、相互作用。課堂，是思想落地的地方。在小學數學教學中，以課堂為主陣地，用“大應用”數學的思想和意識引領課堂的重構，實現“大應用”數學的育人價值。

1.情境催生，讓應用發自需要

教師精心設計不同的情境，把問題蘊藏在情境中，把學生帶到情境當中，勾起學生的知識回憶，引發學生的情感共鳴，激發學生主動學習的意愿，讓應用成為學生發自內心的需要。創設情境要注意情境的有效性、適切性、推動性和延展性。

【案例】近視率（2020.11 常州，芮建花老師公開課“認識百分數”片段）

武進區部分學校六年級學生近視情況統計表

2020年10月

學校A學校B學校C學校近視人數96 120 114總人數240 320 300近視人數占總人數的幾分之幾96÷240=114÷300=120÷320=

師：為什么要學百分數？你準備怎么比？

生1：總人數不一樣，得到近視人數是總人數的幾分之分，需要通分進行比較。

師：方法真好。3 所學校的近視率如何求？哪一所的最高？

生2：用近視人數除以對應總人數就可以。A學校的最高。

武進區部分學校六年級學生近視情況統計表

2020年10月

學校A學校B學校C學校D學校E學校F學校G學校H學校I學校近視人數96 120 114 132 87 91 150 64 112總人數240 320 300 288 203 294 336 176 245近視人數占總人數的百分比96÷240=40%114÷300=38%120÷320=37.5%132÷288=45.8%87÷203=42.8%91÷294=31.0%150÷336=44.6%64÷176=36.4%112÷245=45.7%

師：有9所學校，如何比較？

生3：通分試一試，分母會比較大。

生4：通分太麻煩了。

師：看著這些數字，大家還有其他的看法嗎？

生5：學生的近視情況不樂觀，要注意眼睛保健。

【點評】這一環節的設計由簡單入手，一開始，學生可以用舊知識解決問題，但是隨著條件的增加、情況的變化，學生發現用舊知識解決當前的問題十分繁雜，因此急需找到簡便的辦法。這樣設計，倒逼學生產生心底的需要，讓學生“口渴”。

2.有效參與，讓學生樂于應用

課堂中學生的參與包括行動的參與、認知的參與和情感的參與三個維度。數學教師要改變單一的說教模式，激發學生的參與熱情，讓學生真正參與到課堂中去，做課堂的主人，實現情智共生。

【案例】認識小數（2020.11 常州，張祖潤老師公開課“認識小數”片段）

師：從0.6 繼續涂色，0.7、0.8，直到全部涂滿，現在是多少？（1.0）你是怎么想的？

生1：把長方形想象成1角。

生2：滿十進一。

師：繼續思考，增加一部分，合在一起，大概是多少？

生3：把右邊的長方形和正方形拼接起來，我猜是1.2。

【點評】這個環節數形結合，讓學生在初步認識小數的基礎上，運用已有的經驗，從0.6到1.0，再猜想大于1 的小數。學生在動態的思考中逐步加深對大于1 的一位小數的理解。這個教學設計符合學生的認知規律，易于學生理解和接納。

師：正方形一邊縮小，演變成線段，拼起來，你還能找到1.2嗎？

生4：正方形表示1，數軸中的一個刻度表示0.1，1.2在1后面的第2個刻度。

【點評】這個操作環節十分巧妙，由正方形變成數軸，把面與線巧妙打通，數軸也變得更簡約便捷，體現了數學的簡約美，同時為下面鞏固練習做了很好的鋪墊。

3.滲透應用，讓課堂有真生成

“大應用”數學教學是基于活動經驗的積累，透過知識看能力；是基于問題解決的多樣性，架起知行的橋梁；是基于思維發展的持續性，更好地培養問題意識。“大應用”數學教學追求應用水平的第三層次。楊堅老師“一張紙能折多少次”的公開課，由生活的“折”到數學的“折”，帶領學生經歷了一次極限與抽象的數學思想的洗滌。

【案例】數學地“折”（2020.11 常州，楊堅老師公開課“一張紙能折多少次”片段）

師：請選擇1號或3號紙，把每次對折后的大小記錄下來，填入表格中，再觀察數據，說說發現。

生1：我發現折的厚度乘2，長寬交替除以2。

生2：我發現對折后會有一個數據不變……

師：再對折下去，會怎樣？

生3：越來越厚，折不下去了。

生4：假設可以無限次對折。

師：繼續對折紙張，它的厚度加速增大。當厚度接近紙的短邊時，就不能再折。

師：我們來換個方向再折，發揮想象，能對折100次嗎？

（教師播放折紙實驗視頻……）

【點評】本環節依托操作實驗，展示了學生在生活中不曾深思的折紙現象。教師在引導學生動手操作的過程中，層層追問，使學生從生活的“折”走向數學的“折”，使研究方向從生活走向數學抽象，實現了數學應用思維的大飛躍。

4.實踐體驗，讓應用真正發生

“紙上得來終覺淺”，沒有來自實踐的體驗，就難以理解知識。“大應用”數學滲透在各個實踐體驗環節中，教學中充分調動學生參與體驗的積極性，積極實踐，讓應用真正發生。

【案例】漏掉的一槍（2020.11 常州，查人韻老師公開課“認識千以內的數”片段）

師：美羊羊、懶羊羊進行射擊比賽，各射擊6次。請看靶盤說出他們的得分各是多少。要求添上珠子，并寫出得分。

生1：美羊羊的得分是321 分，懶羊羊的得分是104分，他還漏一槍沒打。

師：懶羊羊有沒有可能得到冠軍？他可能得多少分？

生2：懶羊羊可能得1104 分、204 分、114 分、105分。如果懶羊羊射中靶心（1000 分），那么他就是冠軍。

生3：根據前面的記錄，懶羊羊的成績并不好。我想這一槍他很有可能打偏了，根本沒在靶上。如果這樣，他的得分就是104 分，那么美羊羊就是冠軍。

【點評】這個環節設計“漏掉的一槍”，開放性較大。學生真正參與了實踐活動，先猜后補，再推想，真正讓思維飛了一會兒。在這個過程中，學生的思維被一一揭露出來，爭議碰撞，靈感不斷。

5.放眼未來，跳出應用看應用

“大應用”數學的實施，關注人的未來成長，既不局限于眼前狹隘的應用，又不好高騖遠、大而不實。把數學知識、技能、方法和思想應用滲透到各個學科，深入到各個領域當中，從小節微處做實，落實好教育的根本任務——立德樹人，這就是開展了“大應用”數學教學。

【案例】紙月餅（2020 年9 月，曾德統老師公開課“節余多少錢”片段）

師（播放新聞報道信息）：“紙月餅”被某些別有用心的商家當成了牟利工具。比如，商家先印好一張面額為500元的餅券，以400元的價格賣出，消費者購買后送給他人，而回收商以250 元的價格回收餅券，之后又以300 元的價格把餅券賣給商家。這樣一個循環下來，商家并沒有售出月餅，但是每張餅券卻凈賺100元。

師：看完這則新聞消息，請分享你的想法。

生1：商家以400 元賣出餅券，300 元收回，用一張券白賺到100元。

師：商家究竟是怎么賺的錢？賺了誰的錢？

生2：消費者消費了400 元，而受贈的人實際收到250 元，剩下的150 元，其中100 元被商家賺了，50元被回收商拿走了。

師：對于商家的這種行為，你有什么看法？

生3：我覺得學好數學，就不容易上商家的當。

生4：要文明經商，這種行為不好，對實際社會沒有幫助。

【點評】這個環節設計安排在一堂課的后面，是在應用提升部分出示的興趣拓展題。播放新聞的目的是讓學生感覺到數學與我們的生活密切相關，激發學生應用數學知識去明辨是非、開展討論，在分享中陶冶學生的品格，開闊學生的思維。這樣的應用設計著眼全人成長，關注了學生的未來發展。

“大應用”數學不應是封閉、靜態的，它應該是一個開放、動態發展的體系。讓我們帶著“大應用”的思想，放眼未來，重構過程，與生共舞。