問題驅(qū)動探究　自主構(gòu)建結(jié)論

張東年

[摘? 要] 問題驅(qū)動教學(xué)有助于在課堂教學(xué)中將培養(yǎng)學(xué)生的思維、提高能力、提升素養(yǎng)等目標(biāo)落到實處. 如何用問題驅(qū)動探究，研究者以“相似三角形的性質(zhì)”教學(xué)為例，得出問題驅(qū)動課堂教學(xué)的原則：（1）依據(jù)教學(xué)目標(biāo)，增強(qiáng)問題設(shè)計的有效性;（2）注重相機(jī)引導(dǎo)，實現(xiàn)問題設(shè)計的導(dǎo)向性;（3）關(guān)注最近發(fā)展區(qū)，彰顯問題設(shè)計的主體性;（4）重視問題開放性，鞏固問題設(shè)計的支撐性;（5）內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)問題設(shè)計的目的性.

[關(guān)鍵詞] 相似三角形;問題驅(qū)動;自主建構(gòu);教學(xué)思考

問題提出

波利亞說：數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和思維能力. 那么，如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維？亞里士多德已給出答案：思維從問題開始[1]. 借助數(shù)學(xué)問題驅(qū)動教學(xué)的關(guān)鍵是對問題的設(shè)計，教師在教學(xué)實踐中應(yīng)多視角關(guān)注數(shù)學(xué)問題設(shè)計，如注重數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能的培養(yǎng)，深挖數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，追本溯源、揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的自主建構(gòu)，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表述事實和數(shù)學(xué)思維思考世界等，這些也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)所要求的. 目前，在數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題設(shè)計過于簡單而喪失探究價值，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得不到訓(xùn)練，或者問題設(shè)計過于復(fù)雜，導(dǎo)致探究無法進(jìn)行，探究過程被直接“灌輸”取代，學(xué)生失去主動建構(gòu)知識的過程. 如何用問題驅(qū)動探究，讓結(jié)論自主建構(gòu)，使學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展過程？筆者以“相似三角形的性質(zhì)”一課的教學(xué)為例，對幾點教學(xué)思考進(jìn)行探討.

教學(xué)過程

（一）提出問題，引入新課

問題1：相似三角形的定義是什么？

生：若兩個三角形形狀完全相同，則這兩個三角形為相似三角形.

師：若兩個三角形的形狀完全相同，則構(gòu)成三角形的基本要素（角和邊）之間存在特殊關(guān)系，從形狀相同的兩個三角形抽象出它們構(gòu)成要素之間的這個關(guān)系就是相似三角形的定義.

設(shè)計說明? 判定兩個三角形是否相似，最原始的方法是相似三角形的定義. 反之，若已知三角形相似，則利用定義能得出兩個三角形構(gòu)成要素之間的特殊關(guān)系（對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例），因此，這就成為相似三角形的基本性質(zhì). 在研究幾何圖形時，應(yīng)該從特殊圖形或關(guān)系中抽象出定義，而定義具有雙層意義，即它是最原始的判定定理，也是基本性質(zhì). 然后借助定義可以推導(dǎo)出其他判定定理與性質(zhì)定理（如圖1）.

（二）還原認(rèn)知，探究新知

問題2：相似三角形的基本性質(zhì)來自哪里？出發(fā)點是什么？

生：來自相似三角形的定義.

問題3：相似三角形的基本性質(zhì)如何用文字語言、圖形語言和數(shù)學(xué)語言表述？

生：學(xué)生歸納總結(jié)（如表1）.

問題4：研究三角形的基本構(gòu)成要素（頂點、邊和角）之外，還研究過哪些幾何量呢？今天研究從相似三角形基本性質(zhì)出發(fā)推導(dǎo)其他性質(zhì). 那么，研究從哪里入手呢？

生：三角形的高線、角平分線和中線這三條主要線段.

師：若三角形相似，則三角形對應(yīng)邊上的高就是對應(yīng)高，對應(yīng)邊上的中線就是對應(yīng)中線，三角形中這些線段是否存在一般表示的規(guī)律？同學(xué)們?nèi)绾窝芯浚?/p>

1. 探究相似三角形對應(yīng)邊上的高的比

問題5：相似三角形對應(yīng)邊上的高的比值是多少？你能大膽猜測這個比值嗎？

生：對應(yīng)高的比等于相似比.

問題6：這個命題是否正確呢？這個命題的條件與結(jié)論分別是什么？

生：不確定. 條件是兩個三角形相似，對應(yīng)高，結(jié)論是對應(yīng)高的比等于相似比.

師：遇到文字命題，首先，要閱讀、分析與理解;其次，分清楚它的條件和結(jié)論;再次，將它翻譯成圖形語言、符號語言和數(shù)學(xué)語言;最后，推理該命題是否正確（如圖2）.

生：命題的條件和表述如表2.

問題7：通過什么途徑證明該命題？請同學(xué)們獨立思考后，再分小組討論交流.

生：通過證明△ABD∽△A′B′D′.

師：為什么想到證明△ABD∽△A′B′D′？同學(xué)們以前解決過類似的問題嗎？

設(shè)計說明? 以前學(xué)習(xí)全等三角形時，已證明過“全等三角形對應(yīng)邊的高相等”，思路是將高這兩條線段放在兩個三角形中，然后證明這兩個小三角形全等. 然而，全等是特殊的相似，由全等推廣到相似，全等三角形的相似比是1，相似的時候相似比一定是1嗎？相似比由1推廣到相似比為正實數(shù). 這就是學(xué)習(xí)經(jīng)驗，很自然地將以前學(xué)過的知識遷移到現(xiàn)在解決問題的過程中，這樣就可以將這兩條高放在兩個小三角形中證明相似.

設(shè)計說明? 學(xué)生經(jīng)過猜想得到對應(yīng)高的比等于相似比. 教學(xué)中經(jīng)過有理有據(jù)的推理得出結(jié)論，說明這個命題是真命題.

師：如圖3，相似三角形三條邊上的對應(yīng)高的比都等于相似比嗎？那么，AC，A′C′上的對應(yīng)高=？此時，應(yīng)證明哪兩個三角形相似？

生：對應(yīng)高的比等于相似比，通過證明△ABE與△A′B′E′相似求證結(jié)論.

師：類似的，能不能證明=相似比？這時的值等于哪兩個邊的比值？

生：可以，的值等于的比值，也等于的比值.

師：每條對應(yīng)邊上的高的比都等于k，三條對應(yīng)邊上的高的比相等嗎？那么，同學(xué)們能得出一個什么結(jié)論呢？

生：相等. 相似三角形對應(yīng)邊上的高的比等于相似比.

師：相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比. 我們現(xiàn)在只研究了一種幾何量——高，能不能進(jìn)一步擴(kuò)展研究其他幾何量，那接下來我們需要研究什么呢？

生：角平分線、中線.

師：相似三角形對應(yīng)中線的比等于什么？對應(yīng)角平分線的比等于什么？

設(shè)計說明? 學(xué)生利用已經(jīng)證明得出的“相似三角形一組對應(yīng)邊的高線等于相似比”，類比推理，得出最后的結(jié)論. 同時，再次啟發(fā)學(xué)生得出下一步研究對象和研究思路. （如表3）DB8C42CB-EB13-4F29-8E56-BCEFD14046BF

2. 探究相似三角形對應(yīng)邊上的中線、對應(yīng)角平分線的比

問題8：能借助探索“相似三角形對應(yīng)邊上的高的比等于相似比”的研究方法來獲取研究“相似三角形對應(yīng)邊的中線”的研究思路嗎？請小組討論.

師：請同學(xué)們大膽猜測“相似三角形對應(yīng)邊的中線的比等于什么”？

生：相似三角形對應(yīng)邊的中線的比等于相似比.

師：猜測的這個結(jié)論一定正確嗎？同學(xué)們能將該命題表述為其他形式嗎？

生：不確定，需要證明. 可以用圖形語言和數(shù)學(xué)語言描述（如表4）.

師：能說出證明思路嗎？以及判定依據(jù)是什么？

生：判定兩個小三角形相似. 相似三角形的性質(zhì)，AD，A′D′為對應(yīng)邊上的中線，得到BD=BC，B′D′=B′C′. 判定兩個小三角形相似的依據(jù)是，=，∠B=∠B′.

師：正確嗎？有沒有同學(xué)補(bǔ)充？

生：應(yīng)該是=，∠B=∠B′.

師：應(yīng)該在要證明相似的兩個三角形內(nèi)找條件. 這個判定三角形相似的定理是什么？

生：對應(yīng)兩邊成比例，夾角相等的兩個三角形相似.

師：同理能不能證明出三條對應(yīng)邊上的中線的比等于什么？請說明思路.

生：學(xué)生回答思路.

師：那么，我們可以得出一個什么結(jié)論？

生：相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比.

問題9：是否借助探索“相似三角形對應(yīng)邊上的高、中線的比等于相似比”的研究方法，獲取研究“相似三角形對應(yīng)角的角平分線的比等于相似比”的研究思路？請小組討論.

生：猜測結(jié)論，分析命題中的條件和結(jié)論，將命題用圖形和數(shù)學(xué)語言表述，結(jié)合前面探究的方法和思路解決問題，得出結(jié)論“相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比”.

師：綜合前面所得結(jié)論，如何用文字語言表述這些結(jié)論？

生：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

（三）擴(kuò)展探究，深化理解

1. 探究相似三角形對應(yīng)線段的比

問題10：同學(xué)們能想到其他的對應(yīng)線段嗎？

生：相似三角形的對應(yīng)角的三等分線，對應(yīng)邊的三等分點，它們也是對應(yīng)線段，它們的比等于相似比.

問題11：以上結(jié)論是否正確？同學(xué)們會證明嗎？證明的途徑是什么？

生：通過證明小三角形相似來證明. 且陳述證明小三角形相似的過程與理由.

設(shè)計說明? 如果兩個角相等，那么它們的三分之一是相等的，它們的二分之一、三分之二也是相等的;如果兩條線段相等，那么它們的三分之一是相等的，它們的二分之一、三分之二也是相等的. 因此，可以將這個“對應(yīng)線段”再一次推廣，“對應(yīng)線段”可以是角的幾等分線，也可以是邊的幾等分點. 總之，如果這條線段的端點是對應(yīng)點，那么這條線段就是對應(yīng)線段. 只要兩個三角形相似，它們對應(yīng)線段的比就等于相似比.

2. 探究相似三角形的周長比與面積比

問題12：我們已研究了三角形的高、中線、角平分線這些幾何量，我們在學(xué)習(xí)三角形時還計算過三角形的哪些量？接下來我們應(yīng)該研究什么？

生：三角形的周長和面積.

問題13：請大膽猜測，兩個三角相似，它們的周長比、面積比和相似比k有沒有關(guān)系？

生：相似三角形的周長比等于k，面積比等于k的平方.

師：同學(xué)們?nèi)绾沃赖模磕苷f明理由嗎？

生：陳述證明思路.

師：先給出“相似三角形的周長比等于k”的證明思路，類比得出“相似三角形的面積比等于k的平方”的證明思路（如表5），根據(jù)思路圖書寫推理過程.

（四）反思總結(jié)，歸納提煉

師：從相似三角形的定義出發(fā)，利用過去學(xué)習(xí)全等三角形的經(jīng)驗，將知識經(jīng)驗進(jìn)行遷移，再加上有理有據(jù)的推理證明，得到相似三角形的性質(zhì). 那么，得到相似三角形的哪些性質(zhì)？

生：自己思考總結(jié)（學(xué)生口述）.

師：簡單地說，就是對應(yīng)線段、周長和面積，這三條性質(zhì)，它們共同的前提是什么？

生：兩個三角形相似.

師：兩個三角形相似是前提，它們構(gòu)成要素（重要的線段、有關(guān)的角）之間存在特殊關(guān)系. 再想想這些性質(zhì)定理證明時，最主要的依據(jù)是什么？

生：相似三角形的判定.

師：證明相似三角形的這些條件來自哪里？

生：相似三角形的基本性質(zhì).

師：相似三角形的基本性質(zhì)是什么？

生：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.

師：兩個圖形具備相似這個特征，就是圖形形狀完全相同，大小不一樣. 因此，組成圖形的元素（邊、角）就具有特殊的關(guān)系，就是“對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比是相等的”. 那么，這個基本性質(zhì)來自哪里呢？

生：相似三角形的定義.

師：下面是概括總結(jié)，如圖4.

教學(xué)思考

中學(xué)生保持著對數(shù)學(xué)問題的好奇心，課堂教學(xué)的關(guān)鍵是如何讓學(xué)生主動探索，實踐證明：不同的問題所引起的學(xué)生思維參與程度是不一樣的，其對學(xué)生理解和掌握知識的作用也不相同[2]. 教師應(yīng)認(rèn)真研究學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)新知識的心理準(zhǔn)備和知識儲備等，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計有效問題，用問題驅(qū)動學(xué)生探究，通過解決問題來實現(xiàn)自主構(gòu)建[3].

（一）依據(jù)教學(xué)目標(biāo)，增強(qiáng)問題設(shè)計的有效性

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)在問題驅(qū)動式教學(xué)實施過程中處于核心地位，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時，要將確立的教學(xué)目標(biāo)具體化，由目標(biāo)生成具體的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而立體整合成一個或多個教學(xué)活動[4]. 教師只有深入理解教材編寫的意圖和研讀課程標(biāo)準(zhǔn)的具體要求，才能準(zhǔn)確把握目標(biāo)，將目標(biāo)融入數(shù)學(xué)問題，增強(qiáng)問題設(shè)計的有效性，確保學(xué)生探究活動的開展與知識的自主建構(gòu)沿正確方向進(jìn)行. 如本課教學(xué)依據(jù)教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行學(xué)材再建構(gòu)，將相似三角形的性質(zhì)集中于一課時講解，猜測、推理得出“相似三角形對應(yīng)邊上高的比等于相似比”是本節(jié)課的重點，該結(jié)論的探究過程為后繼相似三角形性質(zhì)的探究提供一般性方法，是后面學(xué)習(xí)能力的基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，也為后續(xù)深入學(xué)習(xí)四邊形、圓的內(nèi)容積累具有借鑒意義的研究方法.DB8C42CB-EB13-4F29-8E56-BCEFD14046BF

（二）注重相機(jī)引導(dǎo)，實現(xiàn)問題設(shè)計的導(dǎo)向性

教學(xué)過程中教師發(fā)揮主導(dǎo)作用，注重引導(dǎo)語的設(shè)計和思考問題途徑的引導(dǎo)，啟發(fā)思維、點撥疑難、指點方法，促使學(xué)生自己學(xué)會、會學(xué);讓學(xué)生的心理活動積極有效進(jìn)行和健康發(fā)展. 因此，合理的問題設(shè)計應(yīng)具有引導(dǎo)性，教學(xué)意圖、思想方法、知識技能等要滲透在問題中，教師要通過問題來引導(dǎo)學(xué)生完成課堂教學(xué). 如本課中引導(dǎo)學(xué)生利用已經(jīng)證明得出的“相似三角形一組對應(yīng)邊的高的比等于相似比”，類比推理，得出“相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比”，同時啟發(fā)學(xué)生得出進(jìn)一步探究活動的研究方法和思路.

（三）關(guān)注最近發(fā)展區(qū)，彰顯問題設(shè)計的主體性

維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論中指出受教育者的發(fā)展水平有兩種：一是受教育者現(xiàn)有發(fā)展水平，二是受教育者在成長或?qū)W習(xí)過程中可能達(dá)到的發(fā)展水平. 前者與后者之間存在的可成長區(qū)間即為最近發(fā)展區(qū)[5]. 據(jù)此，問題設(shè)計應(yīng)關(guān)注學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，以學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展水平為基礎(chǔ)，設(shè)計出的問題經(jīng)學(xué)生認(rèn)真思考后就能回答，此類問題既有挑戰(zhàn)性，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，又能激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的興趣. 教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)通過難易適中的問題啟發(fā)與引導(dǎo)學(xué)生思考，并在思考后有收獲. 如本課中研究相似三角形性質(zhì)定理的過程設(shè)計，先降低難度，從回顧相似三角形的定義出發(fā)，得出基本性質(zhì)，再得到“相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比”，最后得出一般結(jié)論“相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比”，以及“相似三角形周長的比等于相似比，面積比等于相似比的平方”，實現(xiàn)了本節(jié)課重要結(jié)論的自主建構(gòu).

（四）重視問題開放性，鞏固問題設(shè)計的支撐性

涂榮豹指出：啟發(fā)探究最重要的就是要在教學(xué)中盡可能多采用一些元認(rèn)知問題，少采用一些認(rèn)知性問題，即要通過提高問題的開放性來激發(fā)學(xué)生探究的積極性[6]. 設(shè)計問題要重視問題具有一定的開放性，能給予學(xué)生獨立思考和主動探究的空間. 學(xué)生在探究開放性問題的過程中對問題提出種種假想，如果是條件開放問題，則引導(dǎo)學(xué)生逆推使結(jié)論成立的條件，需要提出若干假設(shè);如果是結(jié)論開放題，則要推出可以成立結(jié)論[7]. 開放性問題的解題思路、途徑、結(jié)論往往是多維的，有時預(yù)設(shè)和生成也不一樣，正因如此，才有利于教師捕捉學(xué)生的認(rèn)知沖突點，有助于學(xué)生建構(gòu)知識. 如教學(xué)中“相似三角形對應(yīng)邊上的高的比值是多少？你能大膽猜測這個比值嗎”“我們現(xiàn)在只研究了一種幾何量——高，能不能進(jìn)一步擴(kuò)展研究其他幾何量，那接下來我們需要研究什么呢”等問題，在將學(xué)生探究活動引入深處的同時，也為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)提供機(jī)會.

（五）內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)問題設(shè)計的目的性

只有把數(shù)學(xué)思想方法嵌入日常的教學(xué)中，成為教師備課的有機(jī)組成部分，“四基”數(shù)學(xué)教學(xué)才能真正落到實處[8]. 而“數(shù)學(xué)思想和方法”的教學(xué)要以數(shù)學(xué)知識和活動為載體，由知識向思維過渡，即通過適當(dāng)?shù)膯栴}，將學(xué)生的注意力由具體知識引向背后的數(shù)學(xué)思想方法[9]. 在問題設(shè)計中教師要挖掘知識背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，然后把它融入探究活動中，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展過程、在過程中感悟思想，從而加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和思維品質(zhì)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)化. 如教學(xué)中學(xué)生對相似三角形性質(zhì)定理的探究層層深入，在達(dá)到對結(jié)論本質(zhì)的自主建構(gòu)的同時，也使特殊到一般、特殊到特殊、一般到特殊、數(shù)形結(jié)合、類比猜測等數(shù)學(xué)思想方法得到滲透.

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