一題多解求發散，巧妙添加輔助線

周強　鄧晴

[摘? 要] 幾何題是中學數學教學內容的重點，同時也是中考數學中的難點之一，而正確添加輔助線往往是解決一道幾何題的關鍵. 輔助線起到了聯系已知條件和未知量的橋梁作用，不同輔助線的做法能夠實現一道幾何題的“一題多解”. 研究者以一道幾何題為例，從不同的角度作出輔助線，在實現一題多解的同時拓展學生思維，以期為學生解題以及教師教學提供參考.

[關鍵詞] 輔助線;一題多解;數學幾何題

一道幾何題作不同輔助線實現“一題多解”的例子

在一次批改學生測驗卷的過程中，發現一道幾何填空題學生們做的不是很理想，大多數學生沒有做出來. 而在上課評講此題的過程中，有多種不同的做法，這些不同的做法都是因為從不同思路尋找突破口，作不同的輔助線. 筆者將此題進行了深入的剖析，列舉出多種不同的方法.

試題呈現

如圖1，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，等邊三角形DEF的頂點D，E，F分別在直角三角形的三邊上，則EF長的最小值是多少？

解題分析

第一，簡單分析題目，理清大致方向.

初次讀題將已知數據在圖中對應出來并進行簡單分析，理清問題求解的大致方向. △ABC是固定長度且含有特殊角30°的直角三角形，內嵌一個大小不定的等邊三角形DEF，同時△CDF也是一個直角三角形. 所求線段EF長的最小值，這是一個動點求定直線最值的典型例題，雖然動點有三個，但由這三個動點所構成的三角形始終是等邊三角形.

第二，再次分析題目，挖掘隱含條件.

可借助確定性分析，剖析圖形結構，根據已知條件分析圖形中不變的幾何元素，或者變化過程中不變的幾何關系[1]，挖掘更多隱含條件. 無論點D，E，F怎樣移動，△DEF三邊始終相等，于是求線段EF的最小值可以看作是求線段DE或DF的最小值. 且三個角與∠B相等均為60°，于是∠BDE與∠BED的和就等于∠BDE與∠FDC的和等于120°，所以∠BED等于∠FDC，同理可得∠BDE等于∠AEF. 此時有邊等、角等的關系，自然會想到全等，但條件不夠，所以能夠初步想到必須添加輔助線.

第三，條件預設處理，尋找解題突破.

條件預設處理是指基于已知邊與角的條件根據導邊或導角找出更多邊角關系，最后復盤邊角關系找到解題突破口. 觀察邊角關系，△BDE中始終有一角和一邊跟另一個三角形一角一邊相等，所以可以通過“邊角邊”或“角角邊”關系構造兩個三角形全等. 同時，∠B等于∠EDF等于60°，且均在邊BC上，所以可以構造“一線三等角”，同理邊BC也可構造“一線三等角”. 于是，本題的突破口就在于通過一線三等角構造三角形全等，再通過勾股定理設參求得最小值.

思路1? 在△BDE與△FCD中已知一邊一角相等，且∠B和∠EDF均在邊BC上，所以還需在BC邊上構造一個∠G=60°，但構造角通常不易作圖，且構造完后DG=BE，所以可以直接延長DC，使DG=BE，再連接GF，這時∠G也等于60°. 構造線段等而不是角等的輔助線的方法，使作圖更加精準. 全等后設參，可以將Rt△DCF各邊表示出來，通過勾股定理求得最小值.

思路2? 從分析過程可以知道，除了在BC邊上構造一線三等角，也可在BA邊上構造. 做法與思路1類似，在EA上截取EM，使EM=BD，證明△BDE與△MEF全等，再設參求最小值.

思路3? 在△BDE與△FCD中已有一邊一角相等，除構造一線三等角，還可從∠B=60°這個特殊角考慮，在△BDE中添加垂線構造直角三角形使之與△FCD全等，過點D作AB的垂線，通過角角邊證明全等，再設參求最小值.

解后反思

1. 打破常規解題思維，提高問題解決能力

新一輪基礎教育改革指出，要以“培養全面發展的人”為核心，不僅要讓學生掌握數學知識，更要發展數學思維，學會用數學的觀點思考與解決問題. 幾何題型靈活多變，僅靠已知條件往往不能直接得出答案，添加輔助線是必經之路. 在教學過程中，教師可以有意地進行思維教學，引導學生根據數學素材進行具體化數學構思，打破常規刻板的解題思路，讓學生從不同的思維方向對同樣條件進行整合，會添加不同的輔助線. 所以一題多解能夠充分調動學生思維的積極性，提高學生對知識的整合能力以及問題解決能力. 這個過程肯定會耗時很久，但教師只要有耐心就會讓學生有信心.

2. 發展數學核心素養，培養幾何直觀能力

圖形與幾何是培養學生幾何直觀能力的主要載體之一，它既是初中數學的難點，又是重點. 主要題型是求解某個幾何量或者證明某些幾何量的關系，解答它們的難點就在于通過等量代換或代數計算聯系已知與未知，進而求得結論. 這樣，能在解題過程中培養學生的模型化思想、類比思想、數形結合思想等.

3. 巧添不同輔助線，強化圖形解題能力

在解決幾何題的過程中合理添加輔助線，能夠起到在已知條件和未知量之間構建橋梁、將復雜圖形簡單化、將隱含條件明朗化、將分散條件集中化等的作用[2]. 本題中，已知一對邊、一對角相等，顯然可添加輔助線構造全等，又知道同一邊有兩個60°角，能想到構造一線三等角. 輔助線的添加沒有固定法則，同一道題目可以從不同角度、不同層次添加不同的輔助線，從而實現同一道題目多種方法與途徑解答，即“一題多解”，以此提高學生對圖形的感知力，強化解題能力.

結束語

近年來，幾何題一直是中考數學中的壓軸題目，它形式不一、靈活多變，往往直接利用所給條件無法解決問題，必須借助輔助線. 而輔助線的做法往往也不是唯一的，教師可以在平時教學中引導學生作不同輔助線解題，這有利于挖掘學生的潛能，激發學習興趣，培養學生解決問題的能力. 學生本身也應該多動腦思考，養成主動思考的良好數學學習習慣，這樣才能從被動變為主動，進而提高學習能力.

參考文獻：

[1]付粉娟，陳法超. 基于通性通法? 探求一題多解[J]. 中學數學教學參考，2021（02）：16-19.

[2]陳玲. 輔助線在初中數學解題中的應用[J]. 科普童話，2016（26）：53.