人教A版新教材“正弦定理、余弦定理”的內容分析與教學建議

楊原明 (江蘇省蘇州工業園區教師發展中心 215021)

1 問題的提出

蘇州市從2020年9月起開始使用2019版人教A版(下稱人教版)高中數學新教材，對長期使用2004版蘇教版(下稱蘇教版)教材的教師而言是一次較大的挑戰，這種處于不同版本或新舊教材“交接”狀態下的教學也是一次課程變革．教師在使用新教材時很可能按舊教材的理解方式去進行解讀，按舊觀念的教學方式去進行教學，這種穿新鞋走老路的做法將直接影響新課程理念的具體實施．那么，教材“交接”狀態下教材內容的差異如何融合與銜接？如何根據實際學情和認知需求對教學內容進行優化統整？這些都是新時期下要予以解決的問題．本文擬以“余弦定理、正弦定理”這一教學內容為例，談談個人的理解與思考．

2 不同維度下教材教學內容的對比

2.1 從不同年份人教版教材的對比中理解新教材

先看人教社近三版(2000版、2004版、2019版)高中數學教材中“余弦定理、正弦定理”在位置、知識引入方式和證明方法等方面的差異(表1)．

表1 人教社近三版相關內容的安排情況

教材年份位置知識引入方式與順序證明方法2000版第一冊(下)第五章的第二部分解斜三角形從解直角三角形(已知的邊角求未知的邊角)引出解斜三角形.先研究正弦定理后研究余弦定理兩個定理都采用向量法2004版必修5第一章解三角形從三角形“大邊對大角、小邊對小角”以及“兩邊及夾角”的量化需求引入.先研究正弦定理后研究余弦定理正弦定理采用作高法,余弦定理采用向量法2019版必修第二冊第六章第6.4.3節余弦定理、正弦定理從判斷三角形全等(兩邊及其夾角)以及“大邊對大角、小邊對小角”的量化需求引入.先研究余弦定理后研究正弦定理兩個定理都采用向量法

由表1看出，2019版新教材較前兩版教材在位置上發生了明顯變化，這一內容完全是作為平面向量的應用來呈現，是向量在平面幾何中應用的示范，而之前兩版教材中該內容則單獨成章(單元)．這是因為新一輪課程體系更強調知識的整體性，突出向量是研究平面幾何問題的重要工具，這樣安排更容易讓學生領會到向量是統領“幾何與代數”的紐帶，學生的學習是基于整體的、系統的主題學習．

在知識引入的先后順序上，新教材與前兩版教材相比也有一些變化，前兩版教材均先研究正弦定理再研究余弦定理，新版教材則反之．這樣的編排是考慮到學生對向量恒等式較易想到將兩邊“平方”進行數量積運算，而兩邊點乘邊的法向量則不易想到，讓學生先獲得向量關系向數量關系轉化的基本活動經驗，再用類似思維去證明正弦定理，學生的思維更容易被激活．在知識引入的方式上，新版教材和2004版基本相同，均基于對三角形的定性刻畫轉化為定量表達的認知需求，這樣就回歸到學生已有的認知結構中去了，有利于他們更好地學習新知．

再看近三版(2000版、2004版、2019版)教材中例題和習題的配置與數量(表2)．

表2 人教社近三版相關內容的例題和習題編排情況

教材年份例題的配置及數量習題的配置及數量2000版在“正弦定理”后配置3道例題,“余弦定理”后配2道例題;在“解斜三角形應用舉例”設置2道實際應用的例題;在“實習作業”設置2道測量的例題9在5.9節后的練習有5道題,習題5.9中共9道習題;在5.10后的練習有2道題,習題5.10中共4道應用題;習題5.11中2道實習作業題,要求寫實習報告222004版在1.1節中分別在兩個定理中配2道例題;在1.2節中共有9道例題,其中前8道是實際應用題,例9是證明題131.1節練習配4道習題,習題1.1共配置6道大題(其中A組4道,B組2道);1.2節練習配3道習題,習題1.2共有14道題(A組14道,B組2道),以實際應用為主272019版在6.4.3節余弦定理配2道例題,正弦定理配2道,余弦定理、正弦定理應用舉例配3道7分別在三小節的練習中配3道習題,在習題6.4中配19道習題(除去在物理中的應用)28

新教材的例題數量最少，這和內容的教學定位有關，尤其體現在定理的實際應用上，僅就測量距離、高度、角度三個方面分別以一道例題示范．例題呈現方式上，前兩版教材均采用“問題+解答”的形式，而新教材中的部分例題加入了“分析”，增設“分析”旨在為學生提供具體可行的思路或方法，引導學生進行完整的思維活動，促進其對問題的理解，進而提高分析問題的能力．在例題的內容上，與前兩版教材基本保持一致，即每個定理后均配設單一的解三角形問題，在實際應用時都強調定理在測量問題中的應用．

課后習題(包括練習、習題)在數量上比前兩版略有增加．習題類型上，2000版均以解答題出現，2004版除了解答題還增加證明題，且習題分成兩個層次，而2019版題型上還增設填空題，題型更加豐富，分成“復習鞏固”“綜合運用”“拓廣探索”三個層次，既有知識的復習鞏固，又有知識的外延拓展，還有運用知識進行項目化學習(如習題6.4第21,23題)，給學生的學習提供更多選擇的空間，為不同層次的學生進行數學理解打開了多個通道．

2.2 舊蘇教版、新人教版兩套教材的對比與理解

(1)章首語

兩版教材中章首語的內容如表3所示．

表3 人教社和蘇教版的章首語

版本內容人教版章首語:向量既是代數研究對象,也是幾何研究對象,是溝通幾何與代數的橋梁,是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎,在解決實際問題中發揮著重要作用.第6.4節“平面向量的應用”節首語:我們還將借助向量的運算,探索三角形邊長與角度的關系,把解直角三角形問題拓展到解任意三角形問題蘇教版從金字塔的建造到尼羅河兩岸的土地丈量,從大禹治水到都江堰的修建,從天文觀測到精密儀器的制造……人們都離不開對幾何圖形的測量、設計和計算.例如,測量河流兩岸碼頭之間的距離,確定待建隧道的長度,計算衛星的角度與高度……許多實際問題都可以轉化為求三角形的邊或角的問題,我們已經知道直角三角形的邊角關系,那么任意三角形的邊與角之間存在怎樣的關系?如何利用這些關系解決實際問題?

新人教版章首語先闡述了向量的學科地位與作用，在第6.4節的節首語中又進一步闡明了通過向量的運算進行“探索性”學習，學習的方向是從直角三角形向任意三角形拓展．這樣設計是基于指導學生學習的視角，旨在引導學生有方法地、有方向地進行學習．舊蘇教版章首語的重心則放在知識的功能性上，即實際應用問題中的“測量、設計和計算”，旨在引領學生經歷完整的項目化學習：從實際問題中抽象出數學問題，再通過正、余弦定理研究邊與角，進而解決實際問題中的“長度”“高度”“角度”等計算問題，強調知識的應用價值，體現定理的工具性．正是由于章首語的不同目標定位，使得整塊知識的學習方式和教學組織也需要改變．

(2)欄目設置

蘇教版安排了正文、旁白、思考、練習、習題等欄目，而人教版教材則安排了正文、旁白、探究、思考、練習、習題等欄目．

“思考”在蘇教版中以陳述句呈現，而在人教版中則以疑問句呈現，而且人教版中還增加了“探究”，也均為疑問句，從心理學上講，疑問句的呈現方式更易引發學生探究的心理趨向．

從旁白的功能上看，蘇教版的旁白均是以補充說明為主，人教版教材除了注釋說明(以藍色文本框呈現)之外，還有提問質疑(以橘黃色文本框呈現)，這說明人教版更注重以問題引導學生思考與分析，分析問題更有方向性．

在練習方面，人教版均為單一的“解三角形”練習題，蘇教版除此之外還有實際應用、公式變形的應用、判斷三角形形狀等問題．練習作為一節課隨堂教學反饋的學材，數量不宜多、難度不宜大，訓練的指標要單一，進而題目的呈現背景、文字數量、知識轉化層級等方面都要有所控制，否則隨堂練習就變成有一定難度的綜合應用．習題方面，蘇教版分為“感受·理解”“思考·運用”“探究·拓展”三個層次，人教版分為“復習鞏固”“綜合運用”“拓廣探索”三個層次，兩版教材均試圖通過不同層次的習題設定來滿足不同學生的練習需求．蘇教版習題以傳統的解答題和證明題為主，題目答案確定，均為結構良好習題，而人教版習題除此之外還有開放性的習題，如“你能用三角形的邊和角的正弦表示三角形的面積嗎？”

從上面這些欄目可以看出，人教版教材在學生的整個學習過程中始終貫穿問題引導思考，欄目引導探究，注重引導學生學會分析問題，培養學生數學核心素養．

(3)部分素材的設置

蘇教版在正文和習題中均有用幾何畫板演示的數學實驗來引導學生發現有關結論，進而引導學生在學習中養成運用信息技術進行探究、運算的意識，尤其是在處理實際問題中的數據時，更離不開數學計算工具的介入．人教版教材在有關計算時，在正文中指出“利用計算器”進行處理，在例題的數據上更傾向于簡單一些(如特殊角、整數值)．關于數學文化素材，兩版教材都有“海倫公式和三斜求積”，蘇教版通過“閱讀題”的方式呈現，并提出：“你能用正弦定理和余弦定理證明‘三斜求積’公式或海倫公式嗎？”人教版則安排在“閱讀與思考”欄目中，以數學家名字“海倫和秦九韶”為標題，著重介紹了兩位數學家的生平和研究經歷，這樣的數學史故事更容易激發學生數學閱讀的興趣，感受數學文化的熏陶．

3 教材“交接”狀態下的教學建議

3.1 把握課標，以不變應萬變

盡管教材變了，版本也變了，但課程標準的要求是統一的，課程標準是進行教學組織的行動綱領．課標將“幾何與代數”劃分為課程的主題之一，就是通過不同的單元引導學生不斷地認識幾何與代數，如通過向量的運算來定量刻畫幾何圖形的邊角關系，除此之外還可以通過其他視角來認識．因此，將認識數學對象的方法或視角作為教學的上位目標，是應對教材“交接”狀態下的教學指南．

基于此，筆者認為“正、余弦定理”的教學定位應是以三角形為基本圖形，在整個單元學習中逐步讓學生建立起研究幾何問題的認知系統，使學生逐步形成解決一般幾何問題的基本方向或視角，以此促進數學核心素養的養成．定理的證明過程便是該認知系統建立的示范．以余弦定理為例，可以從幾何法、坐標法、向量法以及定理互推(如射影定理、正弦定理)等角度進行思考，而且這樣的認知系統在知識應用時也要不斷地鞏固．以判斷三角形形狀為例：在△

ABC

中，已知

c

=2

a

cos

B

，試判斷△

ABC

的形狀．視角1 在△

ABC

中作高

CD

，

BD

=

a

cos

B

(圖1)，由等腰三角形的“三線合一”可得出△

ABC

的形狀為等腰三角形，這是運用純幾何的方法解決問題．

圖1

視角2 將

c

=2

a

cos

B

變形為

c

=2

ac

cos

B

，即即由此也可作出判斷，這是運用向量法解決問題．

視角3 用正弦定理將邊轉化為角進行判斷；或通過余弦定理將角轉化成邊進行判斷．

這樣就完成了從知識生成到知識應用，整個認知過程完善了認知系統，學生在這樣的認知系統下進行整體地學習，不斷地運用認知系統解決問題，其學習活動是有目的性、有方向性的研究活動，從而也解決了只在定理證明時才用到向量法，而后研究幾何問題卻很少用向量法的尷尬境況．

3.2 以學定教，合理選擇教學起點

教材“交接”狀態下如何選擇教學起點？教學活動的開展離不開教學起點的選擇，教學起點的選擇是由學生認知基礎決定的，針對不同層次的學生選擇不同的教學起點，這就需要對學生的認知力、認知需求以及智能發展高度等維度要有所考量，根據學生的實際情況選擇適宜的教學起點，遵循學生的個體差異，著力發展不同學生的認知結構．如傳統教學中關于“余弦定理”的引入有以下方式：

方式1 在初中，我們學習了勾股定理，即在直角△

ABC

中，∠

C

為直角，則

a

+

b

=

c

，那么∠

C

為銳角或鈍角時，

a

,

b

,

c

有怎樣的關系呢？

方式2 對于一個可解的三角形，給定其中的三個獨立條件(其中至少一條邊)有哪幾種類型？

①兩角及一邊長；②兩邊長及一邊對角；③兩邊長及其夾角；④三邊長．

已學的“正弦定理”可以解決哪幾類？(①②)

那么對③和④這兩種類型該如何求解呢？

方式3

A

,

B

之間隔著一個水塘，設置一個方案，測量

A

,

B

兩地間的距離．(要求：測量科學、合理)

對方式1，從學生已有認知中的勾股定理引出問題，使學生的認知視角從特殊走向一般，易于學生思維的展開，便于后續的類比、猜想、驗證等思維活動的進行．不過，怎么想到以勾股定理為起點來研究余弦定理呢？這樣的教學起點有教師“導演”出來的預設“劇情”之嫌，由此帶來的學生思維活動將是在教師已預設好的思維軌道中運行，對學生思維縱深的發展有抑制的可能，也就束縛了學生思維自由發展的空間．所以，這樣的教學起點對數學基礎薄弱、思維水平一般的學生群體比較適宜．

對方式2，從可解三角形的已知條件分類入手，其中部分類型可用已學知識解決，而其他類型則需尋求新知識，因而觸發了學生的研究興趣，并且研究的目標指向也很明顯——知識達成后，學生會認識到“余弦定理”可解決的三角形類型(③和④)．當然，我們也易發現該教學起點抽象程度高，需要學生有較好的數學思維能力和探究水平．

對方式3，以測量方案的設計為教學起點，能調動學生的思考積極性，其探究熱情由此產生，問題的開放性也會引發其相互交流、爭辯與反思．由于是開放的探究問題，有探究必有風險，可能會產生因探究而耗時多，或出現探究方向偏差等問題．這就要求學生的思維水平較高、敢于合作探究、敢于思考交流，同時對教師的課堂調控能力也提出了較高要求． 因此，這樣的教學起點適合于已長期形成了具有探究氛圍的學生群體，需要他們有較強的數學思維水平．

所以，在教學起點的選擇上，教師要認真分析學生當前的認知基礎和思維層次，依據學生的認知實情和思維水平進行選擇，不合適的教學起點對學生的數學思維能力的培養是低效甚至無效的，過低的教學起點會導致思維水平停滯不前，而過高的教學起點將導致思維能力高不可攀．

3.3 強化基礎知識，加強理解性教學

對于數學中的一些基礎知識和基本方法，記憶是一方面，更重要的是理解．俗話說“好記性不如爛筆頭”，這句話稍微改一下，變為“好記性不如知識的理解”，即學生在理解了知識內容后便能掌握知識并加以熟練地運用，學習的效果也將更好．“正弦定理、余弦定理”在2019版新教材中較前兩版教材和蘇教版教材在位置上發生了明顯變化，其作為平面向量的應用來呈現，是向量在平面幾何中應用的示范．因此，在上這節課時，教師不僅要傳授基本的知識內容，更要帶著學生去理解教材編寫者的用意，體會向量和正、余弦定理之間更深一層的聯系，學會用向量的知識去解決三角形中的一些問題，這樣學生在解決此類問題時才能如魚得水．如2021年新高考I卷的第19題：

記△

ABC

的內角

A

,

B

,

C

的對邊分別為

a

,

b

,

c

．已知

b

=

ac

，點

D

在邊

AC

上，

BD

sin∠

ABC

=

a

sin

C

．(1)證明：

BD

=

b

；(2)若

AD

=2

DC

，求cos∠

ABC

．這道題難度不大，但學生普遍做得不好，大部分學生對于第(2)小題無從下手，究其原因，主要是不知道如何正確處理條件

AD

=2

DC

．其實進一步探究就會觀察到∠

ADB

和∠

CDB

互為補角，也會聯想到其余弦值互為相反數，那么就自然地想到在△

ADB

和△

CDB

中分別用余弦定理，即可得到等式結合已知及余弦定理即可求cos∠

ABC

．若教師在新授課時強調向量在正、余弦定理中的應用，并強化這類問題，則學生在解決解三角形的問題時就會想到向量．而這道題用向量也可以輕易解決，這和人教A版教材把正、余弦定理作為向量的應用來引入遙相呼應．由

AD

=2

DC

可知兩邊同時取模，得到即即再結合余弦定理即可得到等式結合已知及余弦定理即可求cos∠

ABC

．

因此，對于基礎知識和基本方法的訓練不應該只是簡單的重復和片面的記憶，而要通過整理、歸納和總結，讓學生多方面地去認識數學知識及它們之間的聯系，通過分類、整理、綜合，逐步形成一個條理化、有序化、網絡化的知識結構體系，以便在解題時，準確依據信息尋求解題途徑、優化解題過程，最終在考場上對基礎知識和技能的運用能夠胸有成竹．

最后，需要說明的是新教材在使用過程中肯定會出現不適應，如何將使用舊教材時那些優秀的經驗延續到新教材中去、如何降低舊觀念下的教學慣性對新課程的影響等，這些都應是教材“交接”狀態下值得進一步思考與研究的話題．