單元教學設計中“單元”的建構與規劃
——以冪函數、指數函數和對數函數單元為例*

張海強 (江蘇省宜興中學 214200)

2021年10月，應教育部基礎教育課程教材發展中心之邀，筆者參與了普通高中新課程新教材國家級示范區示范校建設工作，進行了數學必修一“冪函數、指數函數和對數函數”單元教學規劃，并執教了第4課時“對數函數的圖象與性質”公開研究課．該活動得到了首都師范大學王尚志教授、胡鳳娟老師的悉心指導．本次活動在單元整體分析(數學的理解、課標的理解和教材的理解)和學情分析的基礎上，采各教材之長，構建具有個性化的單元，提煉單元主題，凝練單元目標，并對單元作了課時劃分，提出各課時的階段目標和任務．現將設計過程整理成文，與大家分享．

從課程開發的立場看，單元是依據課程標準，圍繞主題(專題、話題、問題、大概念)或活動等選擇學習材料并進行結構化組織的學習單位．從教學的立場看，單元是教學過程中相對完整的學習“段落”[1]．本文涉及的“單元”更傾向于前者．

1 單元整體分析

1.1 數學的理解

函數是現代數學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言和工具，在解決實際問題中發揮重要作用．函數的概念從初中的“變量說”發展到高中的“對應說”，再到大學的“關系說”，是一個逐步抽象的過程．“變量說”和“對應說”可以認為是認識函數概念的兩個角度，但更重要的是兩個層次的抽象．“變量說”比較形象、直觀，與“變化過程”聯系緊密；“對應說”進一步舍棄了運動變化背景，抽象為兩個實數集元素之間的對應關系，不僅可以研究一類函數的性質、函數之間的關系，還可以研究不同函數類的關系，對不同函數類進行運算等，從而極大地拓展了函數的研究視野和函數的應用范圍．

函數性質的研究方法強調代數運算和圖象直觀的綜合運用，即進一步加強數形結合的方法．初中主要通過圖象直觀給出函數性質的定性描述，高中則加強了代數運算，使得函數的性質得到了定量刻畫，導數的引入實現了函數性質的精確刻畫．

1.2 課標的理解

函數是貫穿高中數學課程的主線．函數的概念和性質的學習路徑為函數的概念—函數的性質—函數的應用．通過學習，學生學會了一套“數學的話語方式”，接下來就是運用這套話語方式，從客觀世界的變量關系和規律中去抽象基本初等函數，用函數的語言表達，用圖象直觀和代數運算的方法研究性質，并用于解決數學內外的問題．這個過程既是函數一般概念的應用，同時也在應用過程中加深對函數概念的理解[2]．

在教學中，要幫助學生學會用圖象直觀和代數運算的方法研究冪函數、指數函數、對數函數和三角函數(周期性的模型)等連續性函數，以及數列等離散型函數．這些具體函數具有基礎性地位，不僅應用廣泛，而且是進一步學習數學的基礎．

函數學習重點提升數學抽象、數學建模、邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養，冪函數、指數函數和對數函數的圖象與性質的學習則主要側重于提升邏輯推理、數學運算和直觀想象等核心素養[3]．

1.3 教材的理解

(1)人教A版

教材將函數單元分為《函數的概念和性質》《指數函數和對數函數》《三角函數》三章，其中冪函數歸入《函數的概念和性質》一章，作為函數的概念和性質的直接應用．

冪函數定位于函數性質的簡單應用，冪函數概念的形成采用特殊到一般的方式獲得，是數學抽象的過程，同時又是一種歸納推理．整個過程體現一種重要的數學思想方法——類思想，以彰顯數學的文化價值．通過探究欄目的設置，提供研究函數的內容、方法和路徑，同時加強了函數之間的聯系．

指數函數和對數函數單元的定位：幫助學生學會用函數圖象和代數運算的方法研究指、對函數的性質，理解它們所蘊含的運算規律，運用它們建立模型，解決實際問題．

指數函數：包括指數運算和指數函數兩大部分．指數運算旨在對指數范圍的擴充，屬于數學運算的范疇．指數函數從真實情境中抽象而來，有利于培育數學抽象素養．

指數函數的圖象與性質的研究過程充分展示了函數圖象和代數運算的結合，體現了數形結合的思想．教材從描點法開始，畫出y=2x和y=2-x的圖象，并通過代數運算揭示內在聯系．并由“類思想”得出y=ax的圖象，并由圖象得出指數函數的性質．信息技術的應用讓學生動態地、直觀地理解底數a對指數函數圖形的影響，同時介紹了GeoGebra的使用方法．

對數函數：對數的概念和運算主要培育數學運算素養．

對數函數抽象的過程建立在對數與指數的內在關聯上，這是對數函數抽象過程“與眾不同”的地方．“探究”與“探究與發現”欄目的設置，要求教師在對數函數教學中加強從反函數角度發現和提出問題的引導．這是逆向思維的典范，而“反過來會怎樣？”就是學會數學地發現和提出問題的表現之一．

對數函數的圖象可以從描點和反函數關系兩個角度入手，進一步體會數形結合的思想和“類 思想”．

“以形助數、以數論形”成為對數函數的研究方法，通過代數運算得出指數函數、對數函數的性質，從代數關系獲得函數圖象之間的某些特征．

“不同函數增長的差異”讓學生體會“直線上升”“對數增長”和“指數爆炸”的含義．在它們之間進行比較的方式和路徑的設計必須引起重視．教材主要通過列表和圖象兩個方面，從直觀的角度讓學生去體會．

(2)滬教版

滬教版教材將冪函數、指數函數和對數函數作為一個研究單元，以此為載體，讓學生學會研究函數的一般方法．

對于冪函數，教材以例題的方式展示了研究冪函數的一般方法(一般程序)，側重于由數到形的研究路徑，即先研究冪函數的性質，再繪制冪函數的圖象．教材還特別關注函數之間的關系(和函數、平移、對稱變換)．

指數函數的研究則傾向于由形到數的研究路徑，即先繪制特殊的指數函數圖象，由圖象歸納出指數函數的性質，再以指數函數為模型應用于實際生活，體現數學建模等核心素養．

值得一提的是，繪制指數函數圖象的時候，傳統的描點法不可或缺，信息技術更應充分利用，可以展示底數a對指數函數的影響，體現“類思想”．

“借助計算器觀察函數遞增的快慢”一方面體現了信息技術的應用，另一方面讓學生體驗指數增長的飛速．

對數函數設置于高一下冊，對數的概念和對數的運算比其他教材更為詳盡，體現了對數學運算素養的重視．反函數專辟一節，位于對數函數之前，起到了鋪墊的作用，符合學生的認知規律，繪制對數函數的圖象即通過互為反函數的關系來實現．

(3)蘇教版

函數概念和性質組成一章，包括函數的概念、單調性和奇偶性．冪函數、指數函數、對數函數組成一章．指數與對數單獨成章置于《函數概念和性質》一章之前．

(4)湘教版

冪函數、指數函數和對數函數從代數運算統一性的高度來認識，提高了站位，有利于單元整體教學的展開．

冪函數的圖象與性質側重于代數運算，圖象直觀只關注5類具體函數，不推廣至一般情形，貼合課程標準的要求，“類思想”體現明顯．

指數函數的概念源于豐富的真實情境，“指數爆炸”和“指數衰減”是兩個重要形式，利于將數學抽象素養的培養落到實處．

關于指數函數的圖象與性質，指數函數的性質源于冪運算的性質，從代數運算推導指數函數的性質是湘教版的一大特色——“有了這樣基本的理性認識，就能夠在作圖之前預見到圖象的大致模樣，等到圖象出來，對照栩栩如生的曲線來檢驗自己的想法，就更為親切，更有成功感．”

對于對數函數的圖象與性質，從指數函數與對數函數的關系入手，利用反函數來獲得對數函數的圖象，從而得出對數函數的性質，過程清晰明了，但對反函數的理解尚需一個過程．對數和對數函數的應用非常廣泛，是數學文化重要的載體．

值得一提的是，習題設置的三個欄目(學而時習之、溫故而知新、上下而求索)符合學生的認知規律，與中國文化有機結合，讀來備感親切．

(5)北師大版

奇偶性和簡單的冪函數合為一節，對函數奇偶性著墨相對偏少，對簡單的冪函數嚴格控制在5個常見函數，更加關注奇偶性的應用價值——簡化函數的研究范圍，以冪函數和分段函數為例．

指數冪的擴展和指數冪的運算，對數學運算提出了新的要求．

指數函數的概念教材一筆帶過，直截了當，并從代數運算的角度給出兩個性質，也即知曉了圖象的大致范圍．

指數函數的研究將a分為兩類，小步推進，分類研究，形成同構，有利于模仿探究，值得提倡．指數函數的作圖采用描點法，讓學生體驗作圖過程，體會“指數爆炸”．

對數具有豐富的文化背景，教材做了大量的闡述.對數作為新的運算對象，教材從概念、運算法則和換底公式三個部分展開，對培養學生的數學運算素養起到了良好的導向作用．

對于對數函數，利用指數函數直接給出對數函數的定義，并指出兩者之間的關系——互為反函數．

對數函數的圖象研究仍然采用小步推進的方式，先研究y=log2x的圖象，從描點法和互為反函數的圖象關系兩個角度作圖，尤其是從互為反函數的圖象的角度，給出了一個完整的演變過程，值得借鑒．

2 學情分析

2.1 學生已有的認知基礎

(1)學生已掌握指數冪的運算性質，理解對數的概念和運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數；(2)學生已理解函數的概念和基本性質；(3)能用描點法作出函數的大致圖象．

2.2 達成教學目標所需的認知基礎

(1)提煉函數作圖的基本要素；(2)能從函數圖象和代數運算兩個角度研究具體函數．

2.3 “已有基礎”與“需要的基礎”之間的差異

(1)描點法作圖是學生常用的作圖方法，但對函數作圖的基本要素缺乏應有的認識，需要師生合作、交流和分享，提煉出函數作圖的基本要素(基本形狀+具體位置)；(2)函數圖象和代數運算是研究函數的兩個角度，在探究函數的圖象與性質的過程中實現兩者之間的自由切換．

2.4 教學的難點與對策

難點：提煉函數作圖的基本要素；會從函數圖象和代數運算兩個角度研究一般函數．

突破難點的策略：從快速作圖的要求出發，幫助學生提煉函數作圖的要素；引導學生從數和形兩個角度研究函數，分別從解析式、列表和函數間的關系等維度切入，形成研究函數的一般方法．

2.5 幾個具體問題的調查分析

(1)坐標軸互換導致圖形變化，學生是如何思考的？

①旋轉(逆時針或順時針)90°；②描點：(1,2)→(2,1)，(a,b)→(b,a)；③沿直線y=x對折，此時x軸變為水平向右，y軸變為豎直向上；④看作圖紙的背面．

(2)冪函數、指數函數學完后，學生是否形成了研究函數的一般方法調查．

結論：①對“研究函數的一般方法”有了感性認識，但缺乏提煉；②能用“數學的話語方式”表達冪函數、指數函數；③對函數的研究側重于局部，真實情境和具體函數、數與形之間的轉換不夠靈活．

(3)函數作圖的現狀調查

結論：①從總體而言，學生掌握的函數作圖方法不成系統；②對描點法根深蒂固；③多數學生能從解析式出發求定義域，即初步有了從數到形思考問題的意識；④利用函數間關系作圖的能力普遍較弱．

3 明確單元及其包含的知識內容

單元名稱：冪函數、指數函數、對數函數．其包含的知識內容：冪函數、指數函數和對數函數的概念、圖象與性質．

選擇理由：(1)湘教版教材的章頭圖將冪函數、指數函數和對數函數從代數運算的統一性的高度來認識，提高了站位，有利于單元整體教學的展開．

(2)將單元內容圈定為冪函數、指數函數和對數函數的概念、圖象與性質，有利于幫助學生形成研究函數的一般方法：由背景抽象出具體函數，再由數學推理推演出函數的圖象與性質，最后將其作為模型應用于實際問題．這一處理更加凸顯數學核心素養：數學抽象、邏輯推理和數學建模，即數學抽象和數學建模是溝通真實世界和數學的橋梁，邏輯推理則是數學內部系統化的思維過程．

(3)采用蘇教版的體例，將指數運算和對數運算單獨成章，關注數學運算素養的培養，在此基礎上著重研究三類函數的概念、圖象和性質，主題和指向性更加明確．

4 單元主題和單元目標

4.1 單元主題

積累學習冪函數、指數函數、對數函數的經驗，形成研究函數的一般方法．

4.2 單元目標

(1)經歷冪函數、指數函數和對數函數概念的形成過程，理解冪函數、指數函數和對數函數的概念，能從真實情境中抽象出數學概念．

(2)通過探究冪函數、指數函數和對數函數圖象和性質，提煉函數作圖的基本要素，體會數形結合的思想．

(3)通過對冪函數、指數函數和對數函數等知識結果的理解，提高歸納提煉的能力，從研究“個別”函數走向研究“一類”函數，掌握“類思想”．

(4)運用冪函數、指數函數、對數函數建立模型，解決簡單的實際問題，體會它們在解決實際問題中的作用．

(5)通過數學文化的挖掘，理解數學思想方法，崇尚科學精神，體悟數學之美．

本單元旨在積累學習冪函數、指數函數、對數函數的經驗，形成研究函數的一般方法．主要提升學生的數學抽象、數學建模、邏輯推理和直觀想象素養[3]．

5 教學階段劃分及每個階段在實現單元目標時所發揮的作用

本單元分四個階段．第一階段：冪函數(1課時)；第二階段：指數函數(2課時)；第三階段：對數函數(2課時)；第四階段：小結(2課時)．

5.1 第一階段：冪函數(1課時)

(1)階段目標

以冪函數為載體，理解研究一類函數的內容、基本思路(定義—圖象與性質—應用)和方法，學會從不同的角度看問題．

(2)任務提要

5.2 第二階段：指數函數(2課時)

(1)階段目標：在研究冪函數的基礎上研究指數函數，體會函數研究的一般方法．

(2)任務提要：①從真實情境中抽象出指數函數的概念；②利用描點法作出具體的指數函數的圖象；③由具體函數的圖象抽象出指數函數的性質；④指數函數(模型)的簡單應用．

5.3 第三階段：對數函數(2課時)

(1)階段目標：在冪函數、指數函數研究的基礎上，采用類比方法，探究對數函數的概念、圖象和性質，進一步體會函數研究的一般方法．

(2)任務提要：①在指數函數的基礎上抽象出對數函數的概念；②通過描點法和函數間的關系，作出對數函數的圖象；③由具體函數的圖象抽象出對數函數的性質；④對數函數(模型)的簡單應用．

5.4 第四階段：小結(2課時)

(1)階段目標：①通過冪函數、指數函數和對數函數增長差異的比較，從整體上把握三類函數；②經歷函數庫的建立過程，通過分享交流，學會分類．

(2)任務提要：①設計三類函數增長差異比較的方案；②構建有個性化色彩的函數庫．

(限于篇幅，活動設計、作業設計、評價設計和資源設計從略．)