“模型”少一點(diǎn) “積累”多一層

陳建洲 李玉榮 (江蘇省南京金陵中學(xué)河西分校 210019)

文[1]由一道幾何試題引發(fā)深度思考，給出了9個(gè)問題的解題分析，其中對(duì)問題1—3的求解引發(fā)了筆者的進(jìn)一步思考：為何要那樣求解？有沒有更自然、適切的解法？深度思考的意義何在？在此與作者商榷.

問題1如圖1，在矩形ABCD中，CD=3，AD=4，在AD邊上取點(diǎn)E，H，在AC上取點(diǎn)F，作正方形EFGH，連結(jié)AG，點(diǎn)E′是點(diǎn)E關(guān)于AG的對(duì)稱點(diǎn)，AE′交BC于點(diǎn)P，則PC的長為.

圖1

圖1

圖2

又∠PAM=∠DAG=∠M，所以PA=PM，設(shè)PA=x，則BP=7-x.

圖3

解法4如圖4，延長GF交AB于點(diǎn)M，交AP于點(diǎn)N，則∠NAG=∠HAG=∠AGN，所以NA=NG.

圖4

評(píng)注 解法1—4添加的都是樸實(shí)的輔助線，構(gòu)造出“角平分線+平行線=等腰三角形”等與角平分線有關(guān)聯(lián)的基本圖形，使用了面積法、勾股定理、相似三角形等基本計(jì)算工具，貼近學(xué)生思維發(fā)展區(qū)，解法自然、適切.

問題2如圖5，正方形ABCD中，AB=6，E是BC邊中點(diǎn)，將△ABE沿AE對(duì)折，使得點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，AF與對(duì)角線BD交于點(diǎn)G，求線段GF的長．

圖5

分析 此題文[1]是利用之前探究的結(jié)論求解的，筆者以為作為解答題顯然不妥.有更自然的求解方法嗎？要求線段GF的長，只需求線段AG的長，需借助△AGB或△AGD求解，但條件暫時(shí)不足．注意到∠AFE=90°，于是有兩個(gè)基本思路：一是構(gòu)造“一線三等角型”相似三角形；二是構(gòu)造“雙垂直共角型”相似三角形，最后借助“X型”相似三角形求解.

解法1如圖5，過點(diǎn)F作MN⊥AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則MN=AB=6，AM=BN.

解法2如圖6，延長AF,BC交于點(diǎn)H.

圖6

設(shè)FH=k，則BH=2k，EH=2k-3，AH=6+k，所以6+k=2(2k-3)，解得k=4，所以AH=10，BH=8.

解法3如圖7，延長AF交DC于點(diǎn)H，連結(jié)CF.

圖7

因?yàn)镋F=BE=EC，所以∠EFC=∠ECF，可得∠HFC=∠HCF，所以CH=FH.

解法4[2]如圖8，延長AE,DC交于點(diǎn)H，延長AF交DC于點(diǎn)M.

圖8

易證△ABE≌△HCE，可得CH=AB=6，DH=12，∠BAE=∠EHC=∠HAM，所以AM=HM.

評(píng)注 筆者分別給出了問題1、問題2的4種解法，或許還有更多的解法可以探索，這不遠(yuǎn)比套“公式”求解更能啟迪思維？

圖9

評(píng)注 這個(gè)解法無需添加輔助線，更無需套什么“公式”或“模型”，獨(dú)具匠心.

不知從何時(shí)起，應(yīng)對(duì)考試的“模型”充斥數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，如“豬蹄”模型、“手拉手”模型、“12345”模型……讓人眼花繚亂，教學(xué)年歲較長的教師甚至聞所未聞、莫名其妙.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》明確指出：“課程內(nèi)容的組織要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系.”基于此理念，曾經(jīng)耳熟能詳?shù)纳溆岸ɡ?、相交弦定理、垂徑定理等重要定理在教材上都已刪去，那我們還有什么理由去編制所謂的模型(充其量也只能算基本圖形)讓學(xué)生去記憶、套用？解題是數(shù)學(xué)教師的最常見活動(dòng)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更離不開解題，建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)模型進(jìn)行分析、求解，最終達(dá)到解決問題的目的無可厚非，甚至極為重要，但模型不能泛化，數(shù)學(xué)解題不能依賴并不常用的所謂“模型”或“結(jié)論”，更不宜在初中解題教學(xué)中大肆渲染一些遠(yuǎn)離教材的“模型”甚至是超標(biāo)的內(nèi)容，美其名曰“拓展延伸”，實(shí)際上是加重了學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān).泛化的模型等同于“拿來主義”：拿現(xiàn)成的“模型”去解難度大、思維含量高的數(shù)學(xué)題，表面上看解題過程簡化了，但失去的是更有價(jià)值的數(shù)學(xué)思維，實(shí)在得不償失.解題方法的教學(xué)理應(yīng)遵循教材知識(shí)，執(zhí)行課程標(biāo)準(zhǔn)，探尋貼近學(xué)生的發(fā)展區(qū)的自然解法，機(jī)械的“模型”或“結(jié)論”慎教、慎用，著力點(diǎn)應(yīng)是強(qiáng)化過程性教學(xué)，讓學(xué)生更多地思考、探究，體驗(yàn)獲取知識(shí)的樂趣，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維能力的提升，增效減負(fù)才能真正落到實(shí)處.

完稿之余，恰好看到廣東省2021年中考數(shù)學(xué)試卷第23題：

如圖11，邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．連結(jié)BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點(diǎn)G，求CG的長．

圖11

此題與問題2極為相似，考生該用什么樣的思路來求解呢？讀者自有分辨．