基于元認知的IMPROVE 教學法分析
——以二次函數復習課為例

魯夕芷，蔣卓霖，陳藝雯（重慶師范大學，重慶 401331）

一、體會元認知，思考教與學

元認知，自美國心理學家弗萊維爾首次提出后，國內外眾多學者對其內涵與外延進行了豐富的發展。元認知，簡而言之就是個體對認知的認知，是對理解、記憶、反省、知覺等認知思維與活動內在抽象的監控管理[1]。

從教學目的來看，個體學習數學是在實踐活動中取得數學認知發展的過程，此認知發展不僅包含學生個體對知識材料的認知，更重要的是對自身學習過程的認知。知識材料的認知主要為教學中力求的數學知識技能發展，而對自身學習過程的認知則需個體內部抽象的元認知策略予以監控發展。個體根據真實情景調節行動策略，控制自身活動內容以及方向，及時給個體提供認知反饋，不斷積累經驗進行成長。在學習二次函數單元前或其初始階段，學生在具備明白為何要學、學時會有哪些困難、怎樣學習更易發展等元認知的條件下，能更有效地防止學生對二次函數的認識水平仍停留于表面，雖能熟練地說出表達式為y=ax2＋bx＋c（a≠0），但對其中參數的幾何意義模糊不清；應用時只是根據已有習題經驗，機械性地設函數方程，帶值計算，并不知為何要用這些數學符號進行運算等失敗的學習認知活動出現。

從教學過程來看，學習數學是個體對數學符號、用數學解決問題等有關數學的外部信息與自身內部認知結構中相關聯信息進行加工整合的過程。在二次函數學習中，學生受到外部函數信息刺激，結合自身過往相關認知體驗，將這部分認知知識納入自己的認知結構中，在面對某一任務（目標）時，對信息進行篩選輸出，得到一定量的認知反饋，從而不斷修正自身的認知活動，以達到預設目標。《義務教育數學課程標準（2022版）》也強調想要繼續挖掘數學教育立德樹人的價值目標，就必須以四基四能，三會貫徹學生核心素養的發展[2]。

“IMPROVE”，正是遵循上述理念，基于元認知產生的一種教學方法[3]。其中所說的IMPROVE是七個關鍵步驟的首字母，意為：①Introducing the new concepts，原意為介紹新概念，但結合元認知與大單元的思想，“引入新認知”更能適合當前復習課要求。②Meta-cognitive questioning，進行元認知提問。如對某些知識的理解型問題，連接新知與舊知的連接型問題，引導學生如何學習的策略型問題，讓學生主動進行反省的反思型問題。③Practicing，練習。避開單調乏味的重復練習，進行具有認知意義的練習。④Reviewing，回顧。不是對本節課的單一回顧，而是對這個單元，自身整體的學習過程進行相關聯的回顧。⑤Obtaining mastery，獲得掌握。掌握某些知識只是基礎，蘊藏其中的數學思維方法，運用知識的技能才應是學生發展的核心所在。⑥Verification，驗證。確認自己是否掌握了相關知識與能力。⑦Enrichment，拓展。在多方要求下強化已有認知，發現未掌握的、引入新的認知，回到第一步循環加深。

二、把握課堂，走進完整認知

復習課當以學生為主，學生做數學，查漏補缺，從而走向完整。課本中每一章節的知識都應是學生認知的拼圖，復習課并不是標志著這一單元的結束，下一單元的開始，其應該是每塊拼圖間的銜接劑，是鍛造學生的熔爐，讓學生完整地走進下一課。

（一）培養完整認知結構，促進整體提升的教學目標

對教材的完整把握是有效教學的必然前提，制定好的教學目標，深入教材與學情必不可少。二次函數是初中函數知識板塊的中心點，往前是關于代數思想、一次函數、一元二次方程等知識的進一步發展，往后與直角坐標系、高中的函數映射更是密不可分。雖然這個階段學生對代數的識別，數據的計算已經較為熟練，但他們的抽象思維處于萌芽階段，如不刻意引導，無法靈活地進行知識的同化與順應。二次函數將這些板塊緊密地聯系在一起，其背后隱藏的是函數、方程、數形結合思想，是數學抽象、建模等核心素養，不是為了得到這些分數而日復一日地在題海戰術中單調乏味地運用待定系數法解題計算。

學習數學，認知世界，結合課標三會要求以及布魯納的認知目標結構，經二次函數復習課學生應能：

①掌握適應未來生活和進一步發展所需的二次函數基礎知識技能認知。例如，清楚把握自變量與因變量間的對應關系，熟練運用以此關系為核心的待定系數法解決二次函數有關問題；根據二次函數表達式中各個參數，無須外部指導就可迅速識別二次函數圖像開口、零點分布、增減情況等關鍵信息。

②在其他學科、生活領域中，用二次函數這一數學模型感受現實生活中事物之間存在的這種數量關系，分析解決實際問題。要能創造性地將其中數形結合、化歸、函數等數學思想方法靈活遷移用于一次函數、方程、不等式解集等單元學習之中，這些認知在幫助我們解題之外，還能提供認識理解事物新的視角與方法[4]。

③課堂中主動地參與互動，全力復習基礎知識，思考探索進階問題，在今后學習二次函數或其他數學知識時也要有好奇心和求知欲；對自身當前階段學習情況能作出綜合有效的自我評價，形成自己關于學習二次函數的獨特價值觀念，總結出適合自己的學習方法，增強自身學好數學的信心。

（二）以元認知為靈魂，為課堂注入生命的教學進程

現代認知主義認為，教學者并不是在教學中直接傳遞知識，他們只是在傳遞某種信息，學生通過自身建構才可將信息轉化為自己的知識。而教學過程就是學生建構自己認知結構的核心過程，每個人認知結構不同，獲得的知識就不同，這與弗萊登塔爾每個人都有自己不同的現實數學觀不謀而合。但教學過程不能全程只給學生知識的認知，還需有技能技巧、數學思維方法、學習數學的態度方法等方面的認知，否則學生的認知結構是不完整的[5]。從IMPROVE視角，對教法分析如下。

1.情境帶入新認知與提問

在復習課中有教師僅用一句“同學們這節課我們來簡要復習一下二次函數”或類似常見平淡的問候語就開啟了滔滔不絕的授課，這對調動情緒，激活思維存在很嚴重的阻塞，復習課的引入如新課一般重要。

借鑒鄭瑄老師的一堂復習課予以引入設計，可先用華羅庚著名詩句“數與形，本是兩倚依，焉能分作兩邊飛”給學生營造一個關于數學的詩情畫意的意境[6]，同時在黑板上畫出一段拋物線，提問學生這是什么圖案？

學生回答拋物線，二次函數等答案后，暫不評價學生答案，為圖像加上直角坐標系，標上表達式y=ax2＋bx＋c（a≠0），再問學生現在的圖形是什么？

學生此時或許已有些許感悟，教師再給學生強調各方要素齊聚，拋物線才能成為二次函數圖像，擦去表達式、坐標，“形”離開“數”后，我們熟知的二次函數圖像已經不見，只剩下一段拋物線。

學生在這樣的連續提問下，可生動地感受到數形結合在解題之外，還可幫助自身理解數學概念，這是教師在課堂中極少提到的。緊接著以后兩句詩“數形結合百般好，隔離分家萬事休”開啟二次函數的復習課。數學與語文之間的思維碰撞，小動作帶來大認知，所謂新的認知即是如此。

2.優設題目逐步練習回顧

學數學是為了用數學解決問題，數學教學能否在問題中有效開展的關鍵則在于教師的提問以及課堂題目的設置。好的問題在幫助學生梳理知識的基礎上，進一步還可給學生帶來新的認知體驗，但教師在復習課中隨意選取作業考試中的易錯題、難題來拼湊。精選問題，合理排序，可采取一個大題多個小問的形式以保證問題的前后完整，邏輯嚴密，進行練習、回顧。

師：已知二次函數y=ax2+bx+c，經過點（2，25）、（-1，-2）、（0，1）請回答

問題1：畫出二次函數圖像并求出解析式

題干僅有三個點，也并不知圖像的頂點，學生難以用常規五點畫圖法準確畫出圖像，但解題時并不一定要根據問題順序求解，這也是一種有關解題技能技巧的認知。先由特殊點（0，1）即可確定參數c為1，代入其余兩點得到關于a，b的二元一次方程組，便可得y=3x2+6x+1，即可準確地畫出圖像。

問題2：判斷-4≤x≤5時y的最值情況，已知函數上四點判斷y1，y2，y3，y4大小

在數形結合解題的認知監控下，學生利用與二次函數頂點、單調性、對稱性相關的認知知識，將坐標的數學信息加工為圖像信息，再通過橫坐標的排序可得y3＞y4＞y1＞y2。開頭“最值”二字就隱含著分類討論的重要思想，但如不仔細讀題或對分類思想不敏感，很容易求出一個最大值或者最小值后就停止思考。與帶入根式的復雜計算相比，在圖像中觀察橫坐標位置求解更為簡便，這能讓那些習慣代值硬算的學生改變認知，在以后的學習中去優先考慮數形結合的思想，同時對橫坐標的根式大小進行估值判斷也是對計算能力，數據分析能力的一個檢驗。

若用常見的判別根式Δ判斷方程解的個數，學生就會發現無論是換元還是利用等式性質化簡都無法將這非常規的方程變為熟知的一元二次方程。教師引導學生將不熟悉的問題信息拆分加工，讓學生發現3x2是已有認知中所熟悉的二次函數知識，是學習過的反比例函數。在數形結合思想引導下，學生就將無從下手的解的個數問題轉換為函數y=3x2與y=交點的個數，隨后畫出兩個函數圖象即可得到交點個數為1，原方程解個數為1。這個小問在練習二次函數知識時兼顧了對方程思想、反比例函數圖象性質的回顧，更是對用數形結合進行解題的這一認知模式的練習加深。

3.數學建模完成驗證拓展

在當前二次函數相關練習題中，常見用求最大利潤類應用題對學生進行考查，這類題目數據確實便于學生分析，感受應用二次函數，但這一學段的學生并沒有銷售獲利的生活經驗，對其難以提起興趣，導致他們只是為了解題而解題。為有效驗證，拓展學生二次函數認知，可從他們校園生活中熟悉的籃球比賽經驗入手[7]。借反思“神投手”小明極少數未能成功的投籃，進而引出一個完美三分球為例進行建模拓展。小明在距籃下5.5米處的三分線起跳，“拋”出籃球精準落入球框。若當球運行的水平距離為2.5米時，達最大高度4米，隨后空心入籃。小明身高1.85米，球框高度為標準球場3.05米，跳投中球在頭頂上方0.35米處出手，求小明投球時的起跳高度。

身臨其境之下，學生可想起圖1所示的場景圖，稍加引導利用二次函數抽象出如圖2所示的坐標圖，準確分析數據即可回到熟悉的問題認知中。這樣進行數學抽象解題的過程對學生來說或是一種新奇的體驗，并且后面的計算中仍保留了常規的解題練習，比起機械刷題，這樣可以給學生帶來更全面的發展。

圖1 投籃實景圖

圖2 籃球函數圖

三、結束語

當前義務教育之變局，教學者可于元認知中思考、探索、創新教法理念，于元認知中謀求學生完整的認知發展，這樣復習課在實現復習知識的本質功能時，還可兼顧學生多方面的發展，以更完整地進入下一階段學習。