可轉(zhuǎn)債與控制權私利下公司投資決策

宋丹丹,楊運慧,唐小林

(湖南大學金融與統(tǒng)計學院,湖南長沙 410079)

1 引言

公司投融資一直是金融學研究的前沿和熱點問題,如Bouvard[1]基于實物期權方法建立信息不對稱下的動態(tài)投融資模型;Sundaresan 等[2]探討股東與債權人之間的代理沖突對企業(yè)投融資決策的影響;楊招軍等[3]研究企業(yè)基于混合擔保模式籌集投資成本下的最優(yōu)投融資問題;曹啟龍等[4]在不確定的假設條件下,研究債務對企業(yè)最優(yōu)投資時機和最優(yōu)投資規(guī)模的選擇問題.然而,這些文獻均假設公司股東是同質(zhì)的,也就是說,所有股東都具有投融資決策權.但眾多研究發(fā)現(xiàn),許多國家的企業(yè)中股權集中的現(xiàn)象十分普遍[5].在外部投資者利益得不到良好保護的制度背景下,一方面控股股東會利用其對公司的實際控制權攫取私利從而侵占中小投資者的利益;另一方面,控股股東利用其實際決策權最大化其自身利益而不是公司總價值,兩方面共同形成了控股股東與中小投資者之間的代理問題.自然地,如何有效緩解代理沖突、保護中小投資者的利益,減少非效率投資行為成為了公司金融領域中亟待解決的問題.

近年來,關于控股股東控制權問題引起了許多學者的關注.在實證研究方面,國內(nèi)外學者主要從股權結構(包括股權集中度和股權性質(zhì))、以及控制權和現(xiàn)金流權分離的角度展開研究.Goergen 等[6]針對英國上市公司的研究發(fā)現(xiàn),過度投資現(xiàn)象在股權集中度高的公司中更加嚴重.Pindado 等[7]通過分析歐元區(qū)的家族控股企業(yè),發(fā)現(xiàn)家族作為控股股東會引起投資現(xiàn)金流敏感性的下降.Poppo 等[8]和Collet 等[9]研究發(fā)現(xiàn)兩權分離程度越大,過度投資行為越嚴重.俞紅海等[10]發(fā)現(xiàn)股東控制權水平越高,越可能通過過度投資的方式進行利益侵占.楊慧輝等[11]表明股權激勵能抑制控股股東的投資不足,但同時會加劇過度投資.狄程[12]則通過引入社會資本這一因素來探討管理層股權激勵對于投資效率的影響.在理論研究方面,蔡珍紅等[13]和冉戎[14]等考察了公司成長期權對控股股東投資時機和公司價值的影響,但并沒有分析代理成本的問題.宋小保[15]研究發(fā)現(xiàn)控股股東價值最大化動機會導致過度投資的產(chǎn)生,并顯著提高負債融資的代理成本.Morellec等[16]和顧乃康等[17]采用實物期權方法建立內(nèi)生動態(tài)模型考察了控股股東侵占行為對企業(yè)投融資決策的影響機理.顧乃康等[17]還發(fā)現(xiàn)消極控股股東的侵占行為對企業(yè)決策的扭曲作用更大.夏鑫等[18]得到非完備市場下控股股東扭曲融資決策進行價值侵占的程度更高.

對于控股股東侵占行為引起的代理沖突問題,無論采用普通債還是股權融資都無法很好的解決,然而兼具股權和債權性質(zhì)的可轉(zhuǎn)債在解決股東和債權人的代理沖突方面具有其獨特的優(yōu)勢.譬如,Green[19]表明可轉(zhuǎn)債能夠消除風險轉(zhuǎn)移的動機,并使得股東和債權人的利益一致;Isagawa[20]發(fā)現(xiàn)可轉(zhuǎn)債可以通過其轉(zhuǎn)換來調(diào)節(jié)債務水平,從而抑制企業(yè)的非效率投資,且它在控制管理者機會主義行為方面確實優(yōu)于普通負債和權益.從本質(zhì)上講,可轉(zhuǎn)債是在普通債券的基礎上附加了一份期權,其持有人有權利根據(jù)公司盈利情況將其轉(zhuǎn)換成一定份額的公司股權,這種自由轉(zhuǎn)換的權利使得可轉(zhuǎn)債具有普通股所不具備的固定收益和普通債券不具備的升值潛力.另外,目前從我國上市公司融資的相關管理制度來看,進行直接的股權融資受到了多方面的限制,使得很多公司放棄了股權融資而選擇可轉(zhuǎn)債融資,可轉(zhuǎn)債成為上市公司再融資的首選方式.

自然的,本文想探究可轉(zhuǎn)債是否也有助于緩解控股股東與中小投資者之間的代理沖突,降低非效率投資,提高公司治理水平和減輕控股股東侵占行為？通過文獻檢索發(fā)現(xiàn),對存在控制權私利的公司采用可轉(zhuǎn)債融資的相關研究很少,理論研究更是不足.徐細雄等[21]實證研究表明可轉(zhuǎn)債的發(fā)行對抑制管理者過度投資中并未發(fā)揮積極作用.何佳等[22]考察了企業(yè)融資工具的選擇,表明控制權私利的存在使得市場中“好”企業(yè)有發(fā)行可轉(zhuǎn)債的動機,但他們的研究未涉及到投資時機的選擇.

鑒于此,本文在公司存在控制權私利的情形下,探討可轉(zhuǎn)債融資對投資期權價值、投資決策、代理成本的影響,分析發(fā)行可轉(zhuǎn)債的內(nèi)在動機和作用機理,對已有的研究進行有益的補充.研究結論表明可轉(zhuǎn)債融資能夠有效緩解投資過度行為,減少甚至消除控股股東的非效率投資,顯著降低代理成本.特別地,存在最優(yōu)的券息使得控股股東的投資決策與以公司價值最大化為目標的投資決策一致.這些結論為改善我國公司治理方式和保護中小投資者利益提供了一個符合國情的理論依據(jù).

2 公司證券定價模型

2.1 公司的收益流

假定公司在初始時刻擁有一個可在未來任意時刻投資的項目機會,不可逆投資成本為I.公司可發(fā)行股票、普通債和可轉(zhuǎn)債為投資項目融資.一旦投資,公司產(chǎn)生瞬時收益流xt,滿足如下幾何布朗運動

其中μ為風險調(diào)整后的收益流平均增長率,σ >0 為波動率,Wt為風險中性概率測度下的標準維納過程.

假設市場無風險利率為r,公司所得稅率為τ,破產(chǎn)損失率為α.為了保證公司證券價值收斂性,假設r >μ.借鑒珍紅等[13]和顧乃康等[17],假設投資后公司股東由控股股東和非控股股東組成.控股股東初始持股比例為?(0

同時,假設公司發(fā)行普通債和可轉(zhuǎn)債的券息分別為cs和cc.在此后任意時刻,控股股東有權申請公司破產(chǎn),可轉(zhuǎn)債的投資者也有權將可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換成股票.在企業(yè)投資時刻,無法判斷“公司破產(chǎn)”事件和“轉(zhuǎn)換”事件哪個發(fā)生在前面.因此,不妨假設可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換成股票的時機(以下簡稱“債轉(zhuǎn)股時機”)為τc;公司破產(chǎn)發(fā)生在轉(zhuǎn)換前(后)的時刻為τdb(τda).若公司破產(chǎn)發(fā)生在債轉(zhuǎn)股之前,在破產(chǎn)時刻,公司債權人由普通債和可轉(zhuǎn)債的投資者組成.為了突出本文研究問題,假設兩者具有同等級的優(yōu)先權,分別按比例分享公司剩余價值.若公司破產(chǎn)發(fā)生在債轉(zhuǎn)股之后,在破產(chǎn)時刻,公司債權人僅為普通債投資者,獨享公司剩余價值.借鑒Yagi 等[23],假設可轉(zhuǎn)債投資者執(zhí)行轉(zhuǎn)換時能夠?qū)⑷總D(zhuǎn)換為η倍的股權,即η=λcc,其中λ為一單位可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換為股票的份數(shù)1假設可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換前,公司股票的份數(shù)進行歸一處理..

首先求解項目投資之后的公司證券價值和最優(yōu)破產(chǎn)決策,然后分別求得以控股股東價值最大化和以公司價值最大化條件下的投資期權價值和對應的最優(yōu)投資決策.在本節(jié)中,只給出證券價值的解析式,具體推導過程見附錄A.

2.2 可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換后的公司證券定價

可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換成股權后,公司的收益流由普通債投資者,公司股東(控股股東、原始中小股東以及新中小股東(原可轉(zhuǎn)債投資者))和政府分享.因此,普通債投資者的瞬時收益為cc,控股股東的瞬時收益為控股股東的瞬時收益為(s ?πs2/2+(1?s)?/(1+η))(1?τ)(x ?cs),原始中小股東的瞬時收益為((1?s)(1??)/(1+η))(1?τ)(x ?cs),可轉(zhuǎn)債投資者的瞬時收益為((1?s)η/(1+η))(1?τ)(x ?cs),政府的瞬時收益為(1?s)τ(x ?cs).一旦發(fā)生破產(chǎn),公司股東將一無所有,普通債投資者得到公司剩余價值.因此,普通債的價值Das(x,cs),公司總股權價值Ea(x,cs)和控股股東的股權價值Wa(x,cs)可分別表述為

其中E[·|xt=x]表示t時刻條件期望算子,停時τda≡inf{t:xt≤xda}表示公司收益流xt由上往下首次達到控股股東申請破產(chǎn)時對應收益流xda的時刻,V u(x)=(1?τ)x/(r ?μ)為純股權公司價值.

根據(jù)資產(chǎn)定價理論,得到如下結論(證明參見附錄B).

命題1可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換成股權后,普通債、公司總股權以及控股股東的價值分別為

以控股股東的股權價值最大化確定的最優(yōu)破產(chǎn)策略為

命題1 的經(jīng)濟解釋:式(2)右端第一項表示不存在破產(chǎn)情形下,普通債投資者的債息收入,第二項表示因存在破產(chǎn)風險公司的損失價值.同樣的,式(3)右端第一項表示不存在破產(chǎn)情形下公司所有股東的收益,第二項表示是因存在破產(chǎn)風險,公司股東的股權損失價值.式(4)右端的第一項表示控股股東持有的股權份額,是債轉(zhuǎn)股之后其持有股權份額與因控制私利權攫取的股權份額之和;其后兩項的乘積表示在控股股東不攫取公司收益流的情形下公司總股權價值.

2.3 可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換前公司證券定價

在項目投資后且可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換前,公司的收益由股東(控股股東和原始中小股東)、可轉(zhuǎn)債投資者、普通債投資者和政府分享.因此,控股股東的瞬時收益為(s ?πs2/2+(1?s)?)(1?τ)(x ?cs?cc),原始中小股東的瞬時收益為((1?s)(1??))(1?τ)(x ?cs?cc),可轉(zhuǎn)債和普通債投資者的瞬時收益分別為cc和cs.一旦公司收益流由下往上首次升至xc,可轉(zhuǎn)債投資者將債權轉(zhuǎn)換成股權,而一旦公司收益流由上往下首次降至xdb,控股股東選擇破產(chǎn),此時公司股權價值為0.因此,普通債價值Dbs(x,cs,cc),可轉(zhuǎn)債價值Dc(x,cs,cc),公司總股權價值Eb(x,cs,cc)和控股股東的價值Wb(x,cs,cc)可分別表述為

其中停時τdb≡inf{t|xt≤xdb}和τc≡inf{t|xt≥xc}分別表示破產(chǎn)時機和債轉(zhuǎn)股時機;1{τc<τdb}為示性函數(shù),表示當τc<τdb時取值為1,否則為0.

因此,有下列結論(證明參見附錄C).

命題2在項目投資后且可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換前,普通債、可轉(zhuǎn)債、公司總股權,以及控股股東的價值分別為

命題2 的經(jīng)濟解釋:式(6)和式(7)右端第一項分別表示不存在破產(chǎn)和轉(zhuǎn)換風險時普通債券和可轉(zhuǎn)債的價值.第二項和第三項分別表示當轉(zhuǎn)換發(fā)生在破產(chǎn)之前,以及破產(chǎn)發(fā)生在轉(zhuǎn)換之前時對價值的修正.類似的,式(8)和式(9)右端第一項括號中分別表示不存在轉(zhuǎn)換和破產(chǎn)風險情形下總股權和控股股東的收益,以及因轉(zhuǎn)換和破產(chǎn)發(fā)生的可能對其價值的修正.第二項表示當轉(zhuǎn)換發(fā)生在破產(chǎn)之前時,轉(zhuǎn)換時刻的股東價值.

最后,投資后公司總價值是總股權價值與債券價值(普通債價值和可轉(zhuǎn)債價值)之和,即

2.4 可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換前的最優(yōu)轉(zhuǎn)換和破產(chǎn)決策

控股股東以其自身價值最大化為目標確定公司破產(chǎn)時機(即停時τdb),因此對控股股東價值Wb(x,cs,cc)關于x求導并令其等于零,得到公司最優(yōu)破產(chǎn)水平xdb滿足如下方程

3 投資期權價值、最優(yōu)投資決策與代理成本

3.1 以控股股東價值最大化為目標

為謀取控制權私利,控股股東將以最大化其自身價值,而不是公司價值為目標選擇投資決策,故而引發(fā)無效投資,記為“次優(yōu)投資決策”.為了進行對比分析,記最大化公司價值的投資決策為“最優(yōu)投資決策”.同時,記F1(x,cs,cc)和F2(x,cs,cc)為相對應的投資期權價值.

為避免股權被稀釋,控股股東將以其持股比例?追加投資,則其新增股權出資額為I ?bs?bc,其中bs,bc分別為普通債和可轉(zhuǎn)債的融資數(shù)量,I ?bs?bc為滿足投資成本而進行的外部股權融資數(shù)量.由此,控股股東的最優(yōu)化問題為

其中T1≡inf{t|xt≤,表示公司收益流xt由下往上首次觸發(fā)的時機,Γ ≡{T1:T1≡inf{t|xt≤+},表示停時T1的集合.

利用實物期權定價方法,有下列結論(證明參見附錄D).

命題3以控股股東的股權價值最大化為目標的投資期權價值(簡稱控股股東投資期權價值)和對應的最優(yōu)投資水平所滿足的方程分別為

3.2 以公司價值最大化為目標

以公司價值最大化為目標的投資期權價值(簡稱公司投資期權價值)和對應的最優(yōu)投資水平所滿足的方程分別為

其中T2≡inf{t|xt≤表示公司收益流xt由下往上首次觸發(fā)的時機,Γ ≡{T2:T2≡inf{t|xt≤+},表示停時T2的集合.

有下列結論(證明參見附錄D).

命題4以公司價值最大化為目標的投資期權價值和最優(yōu)投資水平所滿足的方程分別為

參考文獻[24],利用公司投資期權的損失來度量由非效率投資而引起的控股股東代理成本,故定義為

4 數(shù)值分析

參考文獻[25],選取控股股東初始持股比例?=0.2,投資者保護系數(shù)π=10.考慮到企業(yè)所得稅和個人所得稅以及其他方面的影響,選取公司稅率τ=0.25.Alderson 等[26]的研究結果表明一般公司的破產(chǎn)成本達到了36.5,因此本文破產(chǎn)損失率取α=0.3.參考文獻[27],選取無風險利率r=0.05,公司收益流的增長率μ=0.01,波動率σ=0.3.參考文獻[23],選取可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換比例λ=1.5;最后,為方便計算,選取收益流的初始水平x0=1,投資成本I=20.

4.1 券息對投資期權價值和最優(yōu)投資水平的影響

圖1 描繪了在不同的融資策略下,投資期權價值和最優(yōu)投資水平隨券息變化情況.其中F1(x,cs=0,cc)和F2(x,cs=0,cc)分別表示采用股權和可轉(zhuǎn)債融資時的控股股東投資期權價值和公司投資期權價值,(cc)和(cc)分別為對應的最優(yōu)投資水平.F1(x,cs,cc=0)和F2(x,cs,cc=0)分別表示采用股權和普通債融資時的控股股東投資期權價值和公司投資期權價值,(cs)和(cs)分別為對應的最優(yōu)投資水平.

由圖1(a)可知,相對于普通債,采用可轉(zhuǎn)債融資下的控股股東投資期權價值較大,但公司投資期權價值較小.這是可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)換特性與控股股東的控制權私利的共同效應.具體而言,可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換成股權后,一方面控股股東獲得的侵占價值由s(x ?cc)增加為sx,控股股東價值變大;另一方面,控股股東的持股比例由?減小為?/(1+η),其持股獲得的股權價值變小.由于前者效應占主導地位,因此控股股東最終價值變大.而當控股股東侵占公司收益越多,公司價值就越小.這表明,控股股東傾向于采用可轉(zhuǎn)債融資,但以公司價值最大化為目標時,則公司更傾向于采用普通債融資.

由圖1(b)可知,采用普通債融資時,以控股股東價值最大化下的最優(yōu)投資水平要低于以公司價值最大化的投資水平,且隨著券息的增大兩者的差異越來越大.這表明控股股東有過度投資動機,這與Morellec等[16]和顧乃康等[17]的結論相一致.但是,采用可轉(zhuǎn)債融資時,兩種目標下的投資決策差異隨著券息的增大先增大后減小.特別地,當券息大于0.5 時,兩種投資決策越來越接近,甚至存在最優(yōu)的券息使得兩種投資決策相等.這表明,相對于普通債,可轉(zhuǎn)債融資能夠緩解控股股東的投資過度行為,從而降低甚至消除其無效率投資.

4.2 控股股東侵占收益流的比例對投資期權價值和最優(yōu)投資水平的影響

在不同的融資策略下,投資期權價值和最優(yōu)投資水平隨控股股東侵占收益流比例的變化情況見圖2.

由圖2(a)可知,公司投資期權價值與控股股東侵占比例呈負向關系.這是由于侵占比例越大,控股股東侵占公司的價值越大,因此公司價值越小.但是,控股股東投資期權價值與侵占比例呈倒U 型關系.這是因為當侵占比例較小時,控股股東侵占收益流的價值要大于需要付出的成本;但是當侵占比例較大時,控股股東侵占收益流的價值要小于付出的成本.這表明,存在一個最優(yōu)的侵占比例,使得控股股東侵占價值與付出成本相等.此外,相對于普通債,隨著侵占比例逐漸增加,采用可轉(zhuǎn)債融資下控股股東的投資期權價值要高,而且兩者之間差異逐漸增大,這進一步表明控股股東傾向于采用可轉(zhuǎn)債融資.圖2(b)可以看出,隨著侵占比例的增大,以控股股東價值最大化的最優(yōu)投資水平先是低于之后高于以公司價值最大化的最優(yōu)投資水平.這同樣是由于控股股東對侵占收益流的價值與為此付出的成本之間的權衡.這個結論表明控股股東的侵占能力能影響其非效率投資的動機.

4.3 控股股東初始持股比例對投資期權價值和最優(yōu)投資水平的影響

圖3 描繪了控股股東初始持股比例與投資期權價值和最優(yōu)投資水平的變化關系.

由圖3(a)可以看出,隨著控股股東初始持股比例的增大,公司投資期權價值微微增加,但是控股股東投資期權價值顯著提高;而當控股股東初始持股比例為1 時,兩者的投資期權價值相等.這是因為在控股股東侵占固定比例的收益流情形下,隨著初始持股比例逐漸增大,控股股東占有更大的公司股權價值,從而其價值增加;同時其與公司所有人的利益一致性逐漸增強.另外,為了降低控制權私利導致的成本,控股股東會選擇最優(yōu)的投資決策降低侵占公司收益流的成本,從而增加公司價值.

圖3(b)顯示,不論是以控股股東價值最大化或以公司價值最大化的最優(yōu)投資水平均與控股股東初始持股比例呈負相關.這是因為,在侵占比例一定的情形下,隨著控股股東初始持股比例逐漸增大,其為侵占公司收益所付出的成本升高.因此,為降低這部分成本,控股股東最優(yōu)選擇是提前投資.

4.4 可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)換比例對投資期權價值和最優(yōu)投資水平的影響

圖4 描繪了控股股東投資期權價值和公司投資期權價值以及分別對應的最優(yōu)投資水平隨可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換比例的變化情況.圖4(a)顯示,隨著可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換比例的增大,兩種目標下投資期權價值均下降.這是因為轉(zhuǎn)換比例越大,控股股東持股比例在轉(zhuǎn)換后被稀釋越強,從而控股股東價值越低,投資期權價值減少;另一方面,轉(zhuǎn)換比例越大,公司收益流在轉(zhuǎn)換后被控股股東侵占比例越大,從而公司價值越小,因此公司投資期權價值降低.與此同時,為了緩解投資期權價值的減少,控股股東和公司會隨著轉(zhuǎn)換比例的增大而延遲投資,正如圖4(b)所示.

4.5 不同融資策略下的代理成本和債務積壓問題

圖5 描繪了不同融資策略下的代理成本和債務積壓問題.其中,圖5(a)給出了公司僅采用普通債融資和僅采用可轉(zhuǎn)債融資的兩種情形所對應的代理成本隨券息的變化情況.從中可看出,相對于普通債融資,隨著券息的增加,公司采用可轉(zhuǎn)債融資的代理成本顯著較小,且變化微小.這表明可轉(zhuǎn)債融資能顯著地降低代理成本,緩解控股股東與中小投資者之間的代理沖突.

5 結束語

本文基于均衡定價原理和實物期權理論,研究了存在控制權私利且不同債務融資模式下的公司投融資問題.通過對比普通債融資,得到公司采用可轉(zhuǎn)債融資的內(nèi)在動機和作用機理.研究結論表明,控股股東的侵占比例、初始持股比例以及可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)換比例等重要參數(shù)對投資期權價值、投資策略選擇與代理成本等都會產(chǎn)生一定程度的影響.因此,面對投資者保護程度不高以及普遍存在的控股股東控制公司目標決策的局面,加強對中小投資者的保護、提高控股股東的侵占成本,或者增大控股股東初始持股比例是提高公司投資決策效率以及減少控股股東對中小投資者利益侵占的關鍵所在.另外,鑒于可轉(zhuǎn)債融資能夠緩解投資過度行為、有效提高控股股東的投資決策效率以及顯著降低代理成本,利用可轉(zhuǎn)債融資不失為公司的一個有效選擇.

附錄

附錄A公司證券的一般定價方法

在公司金融中,經(jīng)常需要為以下“標準”資產(chǎn)進行定價:假設該資產(chǎn)收益流為公司收益xt的一個線性函數(shù),即cxt+d(其中c和d是已知常數(shù)).定義停時τD ≡inf{t≥0 :xt/∈D}為xt首次離開區(qū)域D的時刻.在停時τD,資產(chǎn)所有者得到的權益價值為一個給定的函數(shù)g(xτD),其中xτD ∈?D,?D為區(qū)域D的邊界.根據(jù)標準資產(chǎn)定價理論(見文獻[29]第12 章),資產(chǎn)在當前時刻(t=0)的價值可表示為

運用動態(tài)規(guī)劃及伊藤引理,得到V(x)滿足如下常微分方程

其中Vx和Vxx分別表示值函數(shù)V(x)關于變量x的一階導數(shù)和二階導數(shù).同時,其邊界條件為

于是,V(x)的通解為

附錄B命題1 的證明

根據(jù)可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換后各權益證券的收益流,由附錄A,得到各權益證券價值的通解為

同時滿足如下邊界條件

當收益流趨向于無窮大時,公司將持續(xù)運營而不會破產(chǎn),式(A8)表示此時債權人獲得的永續(xù)券息收入,(A11)和(A12)分別表示此時公司總股權與控股股東的價值.而式(A9)、式(A10)、式(A13)表示當公司一旦破產(chǎn),所有股東價值變?yōu)榱?普通債持有者接管公司并獲得剩余清算價值.式(A14)表明控股股東以其自身價值最大化選擇最優(yōu)破產(chǎn)水平.從而結合相應邊界條件,計算可得命題1 中可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)化后普通債、公司總股權以及控股股東的價值. 證畢.

附錄C命題2 的證明

參考文獻[30],由伊藤引理得

根據(jù)附錄A,在項目投資后且可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換前,各權益價值分別滿足如下常微分方程

以及如下邊界條件

其中式(A21)和式(A23)表示當公司破產(chǎn)時機優(yōu)先與債轉(zhuǎn)股發(fā)生時,普通債權人與可轉(zhuǎn)債持有者分別按照券息比例得到的公司清算價值;式(A22)和式(A24)表示當債轉(zhuǎn)股優(yōu)先于破產(chǎn)發(fā)生時,普通債與可轉(zhuǎn)債持有者在轉(zhuǎn)換時刻各自的價值匹配條件;式(A25)表示可轉(zhuǎn)債持有者依據(jù)其自身利益最大化選擇的最優(yōu)轉(zhuǎn)化水平.同理,式(A26)和式(A28)表示在債轉(zhuǎn)股發(fā)生前破產(chǎn)時,各股權的價值變?yōu)榱?式(A27)和式(A30)表示破產(chǎn)前發(fā)生轉(zhuǎn)換時,各股權的價值匹配條件;式(A29)表示控股股東選擇的最優(yōu)破產(chǎn)水平所滿足的光滑黏貼條件.最后,結合上述邊界條件,計算可得命題2 中各權益證券的價值. 證畢.

附錄D命題3 和命題4 的證明

同樣的,由附錄A,控股股東投資期權價值F1(x,cs,cc)和公司投資期權價值F2(x,cs,cc)的通解可分別表示為

以及邊界條件

其中式(A33)表示當收益流趨向于零時,公司不會進行投資,從而投資期權的價值為零;式(A34)和式(A36)分別表示在選擇的最優(yōu)投資水平上,控股股東與公司總價值的價值匹配條件;式(A35)和式(A37)分別表示以控股股東價值最大化與公司價值最大化為目標下的最優(yōu)投資水平所滿足的光滑黏貼條件.由此,計算得到命題3 與命題4 中的投資期權價值與投資策略所滿足的方程. 證畢.