優化GM（1，1）模型在橋梁靜載試驗中應用

梁德襄

（中國市政工程西南設計研究總院有限公司，四川 成都 610036）

0 引 言

一階灰度微分模型（Grey Model，GM（1，1）），應用模式為：對某一數據序列用累加的方式生成一組趨勢明顯的新數據序列，按照新的數據序列的增長趨勢建立模型進行預測，然后再用累減的方法進行逆向計算，恢復原始數據序列，進而得到預測結果[1]。其核心應用場景是在最小原始數據集的基礎上，利用完備因子條件下的不完備數據進行曲線估計，提升曲線估計精度[2]。

橋梁靜載試驗是保障橋梁安全性和可靠性的重要試驗。其技術實現路徑主要分為兩種，一是在有限元分析系統中構建橋梁模型，對其進行仿真環境下的靜載模擬；二是構建小比例實體模型，通過掛載靜載荷載的方式對其進行破壞性試驗，從而獲得相關數據[3]。前者能得到更大的數據量，但其存在因子不完備，后者的數據量較小，但其可以考察更接近實際情況的數據[4]。所以，當前相關橋梁設計規程文件要求，橋梁靜載試驗必須經過后者實體模型的試驗過程[5，6]。

該研究對GM（1，1）模型進行優化，設計一種可以深度挖掘實體模型靜載試驗數據的數據處理方法，提升實體橋梁靜載試驗數據的工程價值[7]。

1 橋梁靜載試驗設計

1.1 試驗平臺的搭建

采用1∶20、1∶30、1∶50 等比例尺構建橋梁箱梁的縮微模型，在實驗室中構建基于橋梁中部受壓撓度變化和破壞性變化的試驗場景，測量壓力千斤頂的壓力和橋梁在不同壓力狀態下的撓度變化，形成試驗數據。該試驗系統包括一個框架型承力支架、一個做功千斤頂、一對簡支梁底座，以及相關的壓力計、撓度計測量裝置，如圖1 所示。

在圖1 中，箱型梁的截面結構，包括混凝土筑塊、鋼筋網等，均應按照等比例關系進行縮微處理。此時，可以根據對混凝土筑塊結構和鋼筋結構的應力表現實際測量結果，推測其因為體積和截面縮小帶來的變化量傳導關系。而為了使試驗結果數據可以滿足GM（1，1）模型的原始數據要求，滿足對1∶1 橋梁靜壓荷載的應力表達值的估計結果，采用多種比例尺進行試驗，進而對橋梁實際靜壓能力進行測算。其所謂結構模型構建模式，如表1 所列。

在表1 中，設計橋寬5 m 跨度40 m 的箱型橋梁縮微模型，其在橋長、橋寬、箱頂、箱底、側壁等結構的縮微處理中，可以基本保證等比例縮微處理的原則。但受制于模型制作材料的限制，其鋼筋網的縮微處理過程無法實現等比例縮微處理，只能采用直徑1.2 mm 的鋼絲取代1∶1 狀態下直徑18 mm 的螺紋鋼鋼材。如前文分析，該數據算法設計中使用的GM（1，1）模型可以在因子完備而數據不完備條件下完成高精度曲線估計。考慮到混凝土本身的骨料、輔料粒徑不能實現等比例縮微，該處理方式在GM（1，1）模型的算力支持下，仍可基本保障數據的有效性，且沒有違反相關橋梁靜載試驗規程文件的規定[8]。

表1 模型尺寸設計參數表

1.2 試驗數據的采集

該試驗系統采集的數據，包括不同比例尺條件下的多次測量數據。如果每個比例尺采集n 次試驗數據，每次試驗均設定為從0 壓力至破壞性壓力值之間的離散測量點數據，其數據構成如圖2 所示。

圖2 試驗數據采集整理模式示意圖

在圖2 中，針對三種比例的縮微模型進行的n次試驗中，進行一次均值計算，其中測定試驗結果的壓力值為在實驗中控制在一定誤差范圍內的目標值，即使用安裝在液壓系統上的壓力計，可以實現控制其實際偏差率小于1%。所以，其壓力均值變化幅度較小，一般模式下使用設計壓力取代其壓力均值。而撓度均值方面則需要使用算數平均法進行均值計算，即其實際壓力均值計算過程如公式（1）：

式中：Di為第i 次試驗中測得的指定壓力Pi和指定比例尺Si的結果；將其累加后除以數據總量，即試驗次數n，可得其算數平均值。

因為該試驗中僅測試1∶20、1∶30、1∶50 三種縮微比例尺，所以實際使用GM（1，1）模型進行驗算時，輸入數據為3 對，輸出數據為1 對，存在顯著的完備因子和不完備數據特性，且該數據不完備性已經超出了常規曲線估值中10%的數據估計量限制，所以需要引入基于深度迭代回歸的神經網絡算法對其算法進行加強。

2 基于GM（1，1）模型的神經網絡設計

受制于試驗環境和試驗成本，實際工程應用中很難實現1∶1 的橋梁靜載荷現場試驗，也很難實現更多比例尺條件下的橋梁靜載荷試驗。而且，根據更少的不同比例尺試驗數據進行曲線估計，得到1∶1橋梁的靜載荷試驗估計結果，是當前算法計算中的重點[9-10]。

傳統的GM（1，1）模型，首先要對被分析序列進行逐層累加，得到新序列，并對其基于一階微分方程進行處理后，獲得曲線估計方程，利用差值法還原原始序列，再從方程式上截取估計數據。如前文所述，在該項試驗中，輸入數據序列僅3 對原始數據值，如果采用傳統的GM（1，1）模型進行分析，很難滿足該不完備數據條件下的數據分析，所以需要引入進一步加強不完備數據分析能力的神經網絡算法，與GM（1，1）模型算法相結合，實現對數據的深度挖掘。

其GM（1，1）累加序列的構建模式，如公式（2）：

式中：GM（1∶n）的n 值為50、30、20 等試驗數據，其結果值為該試驗條件下特定壓力條件下的撓度均值，即前文公式（1）的輸出結果；經過累加后的GM（i）的i 值取值為1、2、3，分別為三個模型實測結果的依次累加結果。

對該序列進行基于傳統GM（1，1）模型的微分處理，不應使用傳統的一階微分法，而應該對其進行神經網絡處理計算，如圖3 所示。

圖3 優化GM（1，1）模型神經網絡示意圖

在圖3 中，該神經網絡利用前文公式（2）的累加過程獲得GM（1）、GM（2）、GM（3）等三個灰色累加變量，構成神經網絡的第4、5、6 個輸入變量，同時利用3 個原始數據形成三個原始數據輸入值，構成神經網絡的第1、2、3 個輸入變量，將上述1～6 變量形成參照變量，與原始數據變量、灰色變量一起，形成該神經網絡的輸入系統。因為各變量的值域范圍不同，為減少不同值域對神經網絡的影響，需要對所有6 個數據分別進行min max 線性重投影計算。其計算方式為當前輸入值減去最小值的差值與最大值最小值的差值的比值，受篇幅限制，該處不展開其計算公式。

以下分析4 個神經網絡模塊的設計參數，具體參數如表2 所列。

表2 神經網絡模塊設計參數表

表2 中，神經網絡的數據分析目的不同，但其中3 個內部架構相同，包括原始模塊、灰色模塊、整合模塊，均采用了3 個節點的輸入層、1 個節點的輸出層、3 層隱藏層分別為7 節點、19 節點、5 節點，所有輸入層、輸出層、隱藏層節點均采用了多項式節點函數進行節點設計，其函數見公式（3）：

式中：Xi為上層數據架構中的第i 個輸入值；Y 為該節點的輸出值；Aj為第j 階多項式的待回歸系數。

參照模塊與上述3 個模塊的架構有所不同，因為其輸入層節點較該3 個模塊更多，節點數為6 個，輸出層節點為1 個，隱藏層架構設計為4 層，分別為11 節點、23 節點、13 節點、5 節點，其節點函數按照對數函數進行節點設計，其基函數如公式（4）：

式中：Xi為上層數據架構中的第i 個輸入值；Y 為該節點的輸出值；e 為自然常數；A、B 為待回歸系數。

因為輸入側的6 個數據均經過了min max 線性重投影處理，即對數據實現了初步模糊化，且在數據處理過程中采用的多項式函數、對數函數等節點結構，也較難實現將輸出數據進行量綱重填處理，所以其輸出數據也控制在與經過min max 處理的數據集合相同的[0，1]區間上，在整合模塊輸出1 個最終判斷結果后，應在估計結果模塊中對該數據進行量綱重填過程，即使神經網絡輸出的值重新投影到目標值域空間內。該過程等同于傳統GM（1，1）模型中在數據累加、一階求導等過程后的數據還原過程。該模塊的實際計算方式，為前文min max 計算過程的反算過程，即將輸入值與輸入最小值相乘，得到其乘積結果，受制于篇幅限制，該計算公式不再展開。

3 優化GM（1，1）模型算法效能驗證

傳統GM（1，1）模型中，驗證計算效果采用了標差法進行驗證，標差法為數據發生值與均值的差值平方求取算數平均數后進行開方處理，如公式（5）所示：

使用傳統GM（1，1）模型和該研究設計的基于神經網絡的優化GM（1，1）模型分別對數據進行處理，比較其處理結果的標差法驗證結果，包括前文表1中設計的跨度40 m 的箱梁橋梁驗算結果，及常規設計中經常使用的30 m 箱梁、25 m 箱梁、20 m 箱梁的驗算結果，得到表3 所列。

表3 仿真數據的標準差比較表

表3 中，t 值與P 值來自對兩組比較數據在SPSS數據分析軟件中的雙變量t 校驗結果。該結果中的Value 值作為t 值，當t＜10.000 時認為兩組數據存在統計學差異，且t 值越小，認為數據差異性越大；該結果中的Log 值作為P 值，當P＜0.05 時認為結果數據處于置信空間內，當P＜0.01 時認為結果數據具有顯著的統計學意義，且P 值越小，認為結果數據的顯著性越強。該數據分析中，優化GM（1，1）模型相比較傳統GM（1，1）模型，其標準差計算結果顯著更低，且隨著箱梁規模增大，其優勢更為明顯。所有結果t＜10.000，P＜0.01，具有顯著的統計學意義。

分析該優化結果產生的原因，主要因素為該試驗設計中，通過1∶20、1∶30、1∶50 共三個比例尺模型來估計1:1 模式下的結果數據，其數據不完備性超出了傳統GM（1，1）模型的計算能力可靠性區間。雖然傳統GM（1，1）模型對該試驗結果中的完備因子條件下的不完備數據的曲線估計能力較強，且其分析能力超過大部分基于灰色算法的模型算法效能，但如果依照該研究思路，使用同樣具備不完備數據分析能力的神經網絡算法對其進行充分加強，可以使其實際算力效能得到更大程度提升。

以往相關研究對傳統GM（1，1）模型的優化過程，包括從一階微分向高階微分拓展，或考慮額外數據形成輔助計算序列，該計算過程均會增加系統算力需求，相比較該研究中使用的方法，其增加算力的經濟性有限。該算法的實際價值為在橋梁靜荷載試驗中，可以在更有限測量數據的基礎上完成數據分析，得到更高精度的結果。

4 結 論

橋梁靜載試驗中難以實現1∶1 模型的實際測量試驗，且增加縮微比例模型的數量，一方面延長試驗時間，另一方面增加試驗成本，且沒有合理的曲線估計算法支持的條件下，即便采用更多比例尺的相關試驗，也難以實現有效的數據估計。該研究采用3個比例尺的實地試驗測量結果，每個比例尺下進行多次試驗求取平均值以提升試驗精度，使用神經網絡結合GM（1，1）的整合優化模型進行數據分析，發現其最終實測結果中的標準差得到有效控制，計算結果顯著優于傳統GM（1，1）模型。