基于ARMA模型的超薄滾筒箱體模態研究

王東生 凌志東 吳云貴

長虹美菱股份有限公司 安徽合肥 230601

0 引言

滾筒洗衣機由于具有較低的脫水含水率、較高的洗凈比、易于家居搭配及功能多樣化等優點，越來越受到年輕消費者的喜愛[1]。隨著滾筒市場份額逐年提升，消費者對滾筒洗衣機的性能提出了更高的要求，其中振動性能尤為突出[2]。滾筒洗衣機是由箱殼和吊簧、減震器、桶裝部件等組成，是一個較為典型的振動系統[3]。業內對于滾筒洗衣機的振動性能的研究方向主要包括箱體的模態分析、懸掛系統的多體動力學分析、箱體結構的改進與振動響應的分析等[4]。在對箱體的模態分析進行深入研究時，發現通過Simcenter3D仿真軟件建模仿真獲取箱體的模態和通過模態試驗獲取的箱體的模態存在一定的差距。仿真結果不夠精準，會誤導箱體的結構設計與優化。為快速驗證仿真模型的可靠性，需要通過一些方法對仿真的結果進行驗證，常用的方法是模態試驗法。本文提供一種全新的快速驗證方法，即采集箱體時域響應信號，繪制穩定圖獲取箱體的模態頻率，通過對比法快速確定仿真結果是否可靠。

1 ARMA模型

ARMA模型（Autoregressive moving average model），又稱時間序列模型，是根據系統觀測得到的時間序列數據，通過曲線擬合和參數估計來建立數學模型的理論和方法。一般采用曲線擬合和參數估計方法（如非線性最小二乘法）進行，常用于自然、經濟、社會以及科學等領域。本文引用的ARMA模型基本原理如下：首先利用白噪聲在理想狀態下對一線性結構進行激勵，其觀測樣本序列為（x1,x2…xN），通過該方法建立的ARMA模型表達式為：

式（1）中：p為自回歸部分的階次，q為滑動平均部分的階次，為自回歸系數， 為滑動平均系數，at-j（j=1,2,…q）為輸入的隨機序列，為輸入的白噪聲。引入時移算子后，所得到的ARMA傳遞函數為：

經過對分母多項式的根 進行求解，即可獲取關于系統的模態頻率。它們與阻尼比 以及和固有頻率 的關系為：

ARMA模型可以在MATLAB軟件進行建模使用MATLAB中本身含有的函數，由于ARMA求解過程中含有唯一且穩定的解：

在式（4）中，hj為脈沖響應函數，一般情況下我們會采用Prony函數方法[5]，使用的格式為：

ARMA參數建模是通過Prony方法進行時間序列響應擬合的，可以通過上述方法得到Prony函數，主要用于濾波器設計、系統的辨識和指數信號建模。式（4）中b為分子系數向量和a為分母系數向量，其中分別對應為滑動平均系數 和自回歸系數，h為時域脈沖響應。式（4）傳遞函數中nb為分母階次、na為分子階次，分別對應了滑動平均階次q以及自回歸模型階次p。這種Prony方法不僅對于系統輸入進行了考慮，同時也兼顧了系統輸出，更加全面的對模型參數進行了估計。

在ARMA模型中，因為存在兩個階次p和q，所以當下該如何確定二者的關系相對應顯得更為重要。在滑動平均階次q和自回歸模型階次p之間一般都存在關系，關系如下：p>q，一般取p=q+1，故本文中p與q的關系將按p=q+1取值[6]。

2 穩定圖法

在模態參數識別領域中，一般會采用模態穩定性圖法[7]對于模態的穩定及虛假進行判斷并剔除其中的虛假模態。考慮到ARMA模型中的時間序列分析法也可以采用穩定性圖方法來識別模態參數，故本文中使用方法如下：首先，通過在一定范圍內使ARMA模型的階次慢慢變大同時進行計算求解，可以獲取模態頻率的一系列值；其次，采用頻率為橫坐標，采用模型階次（采用滑動平均階次q）為縱坐標，通過上述方法可以繪制出關于模態頻率的穩定圖。最后，因模型無法避免階次過估計的現象，導致在繪制穩定圖時出現真實模態與虛假模態并存的現象，但是逐步增加階次后，發現虛假模態中的極點會發生不穩定、分散、彎曲的現象，而真實模態中的極點則會較為穩定且會排列產生成一條條的縱向直線，因此可以很明顯地從圖中分辨出系統的真實模態值和虛假模態[8]。結合ARMA我們可以從現有的實驗數據中獲取穩定圖，幫助我們判斷獲取的固有頻率中存在的不穩定模態并剔除其中不穩定模態。

3 箱體的有限元建模與模態分析

為滿足產品不斷地改善及市場競爭的需求，對于箱體的振幅研究是不可避免的。如何改善箱體的結構強度，改變其壓筋形狀，需要獲取該箱體中的固有頻率，并對比改善前后的固有頻率。為獲取箱體固有頻率，通常采用的是有限元仿真和對于箱體進行模態試驗[9]。

3.1 模型簡化

考慮到箱體為對稱結構，因此將箱體模型簡化為單側側板，并去除部分結構特征。模型示意圖如圖1所示。

圖1 箱體模型示意圖

從圖1可以看出，箱殼壓筋采用3條閉環壓筋，截面為弧形，并且外圈筋淺，中間筋深。

3.2 網格劃分

將模型導入Simcenter3D軟件中，進行網格劃分。洗衣機箱體主要材料特性：彈性模量2.06×105Mpa，泊松比0.3，密度7.85×10-6kg/mm3。對于選取的箱殼單元進行網格劃分，單個網格大小為3 mm，單元總數目為55681個。網格劃分如圖2所示。

圖2 箱體網格劃分示意圖

3.3 仿真結果

仿真得到的箱體前十階的固有頻率如表1所示。

表1 仿真前十階固有頻率

4 仿真結果快速驗證

快速驗證仿真結果可靠性方法如下：第一步采集箱體側板的時域響應信號，第二步使用MATLABM算法計算得到穩定圖，第三步通過穩定圖獲得箱體的模態頻率，第四步對比分析判斷仿真結果是否可靠。

4.1 箱體時域響應信號采集

使用東華測試設備：DH59220D動態信號測試分析系統對箱體的時域響應信號進行采集，本次的采樣頻率選取值定為2048 Hz，采樣間隔為 s，采樣時長為500 s。加速度傳感器布點以及箱體側板加速度響應信號如圖3、圖4所示。

圖3 測點布置圖

圖4 箱體側板加速度響應圖

4.2 ARMA模型建立

將4.1節中得到的箱體加速度時域響應信號作為輸入信號，通過自編程序對其進行求解，得到ARMA模型的穩定圖，從而獲取箱體的模態頻率值。取滑動平均階次q的階次區間為1～150，以此做出穩定圖，繪制ARMA模型的穩定圖如圖5所示。

從圖5分析得出，真實模態的極點會排列成一條直線，而虛假模態極點會分散不穩定。由此得出，箱體的前五階模態頻率值分別41 Hz、82 Hz、124 Hz、165 Hz、206 Hz。

圖5 ARMA模型穩定圖

4.3 模態頻率驗證

將4.1節得到的箱體加速度時域響應信號，經過二次積分處理，并以轉速為橫坐標，以振幅為縱坐標，繪制出0 r/min到1320 r/min過程中箱體的振幅圖如圖5。

從圖6中可以看出，箱體的共振轉速分別出現在370 r/min、600 r/min、1220 r/min。4.2節中得到箱體的前五階模態頻率值的1/8倍頻、1/4倍頻和1/2倍頻與圖5所示的共振峰基本一致，由此證明通過MATLAB算法獲得的箱體模態頻率是比較合理的。

圖6 箱體振幅圖

4.4 仿真結果快速驗證

根據4.2節中得到的箱體前五階模態頻率，對比表1中仿真前十階固有頻率，得出有五階固有頻率值如表2所示。

表2 仿真分析真實固有頻率

通過圖5分析得知，仿真獲得的固有頻率與基于ARMA模型的穩定圖法獲得的固有頻率在同一個量級，且數值差異較小。由此得出以下三點結論：

（1）仿真過程中對箱體模型的優化不會對模態分析造成較大的影響；

（2）仿真過程中網格劃分、材料屬性及邊界條件與實物狀態基本符合；

（3）仿真分析得出的箱體固有頻率及陣型具有可靠性，可以作為優化結構設計的理論支撐。

5 結束語

本文以滾筒洗衣機超薄箱體為研究對象，首先采集了箱體時域響應信號采集，其次以該時域響應信號作為輸入信號，通過MATLAB算法計算得到ARMA模型的穩定圖，然后對穩定圖進行分析獲得箱體的模態頻率，再次以實際工況下箱體共振轉速為依據，證明4.2節中算法的合理性，最后對比分析確認仿真結果真實可靠，為后續箱體結構改進、箱體模態研究提供有效參考。當然ARMA模型和穩定圖法在滾筒洗衣機產品開發中的應用還有許多工作要做，合理應用該項技術可以使滾筒洗衣機的產品結構設計變得更加便捷、高效[10]。