基于有限元法的材料電特性計算機仿真研究

王 倫，范珍珍，郭 晨

(長安大學 信息工程學院，陜西 西安 710064)

0 引 言

隨著科學技術的不斷發展與進步，新型復合材料因其能滿足不同的物理、化學性能，在電子、機械、醫學等各領域得到了廣泛的應用[1]。設計一種具有特定電學性能的復合材料之前，以計算機仿真實驗等方法分析其電特性的變化規律對設計工作具有重要指導意義[2-4]。材料科學領域中對材料特性的研究工作往往從材料組分的化學、物理屬性出發，以納米或分子尺度去研究材料的力學及電學性能[5-6]，而較少有研究從改變混合材料各固體夾雜物的幾何形狀或分布結構等微觀角度出發(微米或毫米尺度)來研究其對材料等效介電常數、電導率等電學參數的影響。研究表明，微觀結構的變化以及不同固體夾雜物的排列對電特性具有明顯影響，但這一影響規律及機理相對復雜，掌握混合材料夾雜物幾何結構對其等效電特性的影響規律，可以為工程行業所需的特定性能新型材料設計提供有效的指導依據。

復合材料的等效介電性能與夾雜物的形狀、尺寸、空間取向和各組分的電學性能密切相關[7]。早些年，Sihvola等人提出了一種數值計算二維隨機混合物等效介電常數的方法[8-9]。馬念茹等人基于計算機仿真技術研究了混合介質的電特性[10]。吳裕功等人利用傅里葉展開技術研究了雙組分周期復合材料的靜態電導率和介電常數[11]。Gao和Gu等人研究了雙組分混合材料的等效介電常數，并推導出了考慮各組組分形狀分布的微分有效介質近似值[12]。Luo等人研究了夾雜物的體積比和形狀對復合材料等效介電常數和電導率的影響[13]。然而只有少數研究從物理角度對微觀幾何結構對復合材料電性能的影響機理給出定量或直觀的解釋。

為了系統地研究夾雜物的幾何結構對材料電特性的影響規律，該文基于有限元法對含有不同幾何形狀夾雜物的兩相復合材料模型進行了計算機數值模擬。通過產生的電場波動，合理解釋了幾何效應對等效介電常數計算的影響。

1 理論方法

1.1 混合規則

在分析復合材料的電學性能時，有許多預測其等效介電常數的理論公式。本節給出一些較為經典的混合公式[14-15]。式中εi為夾雜物的相對介電常數，εm為主體介質的相對介電常數，εeff為復合材料的等效介電常數，q為夾雜物的體積分數。

Maxwell-Garnett公式[14]：

(1)

Maxwell-Garnett理論公式是假設夾雜物為球形時推導出來的。球形夾雜物之間沒有接觸且夾雜物之間的距離遠大于其半徑，因此它適用于夾雜物占比較低的復合材料。

Bruggenman公式[14]：

(2)

Bruggenman混合規則利用平均場理論分析夾雜物之間的相互作用。

冪律公式[15]：

(3)

(4)

在建模分析中，冪律模型也可用于預測復合材料的等效介電常數。

Lichtenecker公式[15]：

lnεeff=qlnεi+(1-q)εm

(5)

當兩相介質分層交替排列或隨機平行排列時，則采用Lichtenecker混合理論。

1.2 電場波動定理

通常情況下，當對復合材料施加均勻電場時會導致復合材料的內外各相引起不同的電場波動。而這種波動往往取決于復合材料中夾雜物的形狀、介電性能、體積分數和排列方式。對于場波動與復合材料介電特性的關系，首先需要量化不同復合介質模型的電場波動，在這里Guo等人[16]提出將電場波動定理應用于分析混合物的等效電特性，定理1：將復合材料的等效介電常數與各相的平均電場濃度聯系起來；對于兩相復合材料，可以導出濃度因子的表達式：

式中，Ri為夾雜物的場濃度因子,fi為夾雜物的體積分數。定理2：將復合材料等效介電常數相對于各相介電常數的導數與各相電場的波動聯系起來。夾雜物相的方差的表達式：

(7)

該文量化了有效介質模型的電場空間波動，對于分析不同夾雜物等效電特性的變化具有重要意義。

2 數值模擬方法

FEM是一種常用的、高性能的數值計算方法。它計算的核心思想是將連續的求解域進行離散化的處理得到一組單元的組合體，根據設定的初始條件求解每個剖分單元區域電參數的近似解，然后由已知的算法模塊對離散化區域的方程組進行處理得到真解。有限元法的實現大致需要三個階段：前期處理階段、計算求解階段以及后期處理階段。前期處理階段主要有物理場的選取、添加研究(激勵)、建立模型以及定義相應的模型參數等(例如設置材料屬性)；計算求解階段主要是用戶求解微分方程或微分方程組，或者根據求解的物理量自定義微分方程；后處理階段是對求解的數據進行輸出，方便對結果進行分析。

該文研究不同幾何結構對電特性的影響規律，考慮到文中所分析的夾雜物結構邊緣較不規則，在網格剖分處理上需要兼顧收斂速度與精度，因此選用基于FEM方法的COMSOL Multiphysics?多物理場仿真軟件進行建模與仿真分析。該方法的特點是當建立的模型比較復雜時，FEM對邊界條件、網格剖分參數的處理較為靈活，在電磁場等領域研究得到了廣泛的應用。而COMSOL Multiphysics?多物理場仿真軟件是一種基于高級數值方法的軟件，用于建模和模擬多物理場問題，具有強大的數據后處理功能，為本研究可提供高效的技術支持。

3 數值仿真實驗

在場波動理論的基礎上，為進一步分析解釋復合夾雜物幾何結構對材料等效電特性的影響，并為材料結構的建模設計提供參考，該文采用有限元方法對不同幾何結構的夾雜物進行了計算機數值模擬實驗。相關的實驗硬件選取及實驗設置為：CPU處理器是Intel(R) Core(TM) i5-8500 CPU @ 3.00 GHz，64位操作系統；COMSOL Multiphysics?多物理場軟件為COMSOL 5.4版本。在COMSOL Multiphysics?選取創建二維幾何結構，設置每一相材料屬性(相對介電常數)，添加物理場接口(AC/DC模塊中的靜電場)穩態研究，在模型X方向施加激勵，Y方向接地，周期性邊界條件。仿真中選取物理場控制網格剖分，仿真驗證得到不用的網格對求解等效介電常數值沒有大的影響，但是由于網格剖分越精細，所需要的內存和時間越多。因此，文中對等效介電常數求解的網格設置為常規網格，既節省了時間成本，又達到求解介電常數的效果。根據域內各點的電場E和電位移D的平均值以及各相的體積分數等可以得到各相的電場濃度和整個復合材料的等效介電常數。復合材料的等效介電常數取決于夾雜物的形狀和大小，文中所模擬的理想模型中夾雜物的形狀為:圓形、方形、菱形、十字形，如圖1所示。

圖1 COMSOL Multiphysics?軟件 構建不同形狀的夾雜物

對于夾雜物與宿主介質的介電常數相差較小的情況，夾雜物的介電常數ε1=4[F/m]，基體的介電常數ε2=2[F/m]。對于介電常數對比相差較大的情況，內外兩相的介電常數分別是ε1=80[F/m]和ε2=2[F/m]。圖2和圖3分別為COMSOL Multiphysics?模擬不同形狀夾雜物的電場波動以及電場波動隨夾雜物介電特性的變化。

圖2 COMSOL Multiphysics?模擬 不同形狀夾雜物的電場波動

圖3 電場波動隨夾雜物介電特性的變化

3.1 兩相介電常數呈低對比度情況

圖4～圖6表示的是夾雜物與基體的相對介電常數在低對比度的情況，夾雜物的介電常數ε1=4[F/m]，基體的介電常數ε2=2[F/m]。

圖4 低對比度下不同夾雜物的等效介電常數

圖4給出了夾雜物與基體的相對介電常數在低對比度情況下，其數值解與理論解的等效介電常數值，可見對于不同幾何形狀的夾雜物等效介電常數差異很小。當體積分數小于等于20%時，所有模型的等效介電常數基本相同，當體積分數大于20%時，菱形和十字形的等效介電常數會大于方形和圓形。相比于理論公式，圓形和方夾雜物的數值解與Maxwell-Garnett公式計算的解析結果吻合較好，菱形和十字形夾雜物的數值解與Bruggeman公式計算的解析結果較吻合。

圖5 低對比度下夾雜物相的平均場濃度

圖5計算了不同夾雜物相平均場濃度的數值解，結果表明了在低對比度情況下，隨著夾雜物體積分數的增加，夾雜物的平均場濃度也會隨之增加，且不同形狀的夾雜物之間的場濃度相差較小。

圖6 低對比度下夾雜物相的場強方差

圖6為不同夾雜物場強方差的數值解，從圖6的結果可以看出在低對比度情況下，隨著夾雜物體積分數的增加，夾雜物的場強方差也會隨之增加。不同的是，圓形和方形的場強方差變化較小，而菱形和十字形的場強方差變化較大。

3.2 兩相介電常數呈高對比度情況

圖7～圖9表示的是夾雜物與基體相對介電常數在高對比度的情況，夾雜物的介電常數ε1=80[F/m]，基體的介電常數ε2=2[F/m]。

圖7給出了夾雜物與基體的相對介電常數在高對比度情況下，其數值解與理論解的等效介電常數值。從圖7的結果可以看出，對于夾雜物與基體的相對介電常數在高對比度情況下，只有當夾雜物的體積分數較低時，所有夾雜物形狀的復合材料的數值解才與Maxwell-Garnett公式和Bruggeman公式吻合良好。隨著夾雜物體積分數的增加，圓形和方形較吻合于Maxwell-Garnett公式，而菱形和十字形夾雜物的數值解有很大偏差。

圖7 高對比度下不同夾雜物的等效介電常數

圖8 高對比度下夾雜物相的平均場濃度

圖8的結果表明了在高對比度情況下，隨著夾雜物體積分數的增加，夾雜物的平均場濃度也隨之增加。夾雜物的形狀不同，其平均場濃度的變化幅度也會不一樣。由圖8可知，圓形和方形的場濃度變化較小，而菱形和十字形的場濃度變化非常大。

圖9 高對比度下夾雜物相的場強方差

從圖9的結果可以看出在高對比度情況下，隨著夾雜物體積分數的增加，夾雜物的場強方差也會隨之變化。圓形和方形的場強方差基本不隨體積分數的改變而變化，而菱形和十字形的場強方差變化非常大。

以上模擬實驗結果表明：對于兩相介電常數呈低對比度情況，當體積分數小于等于20%時，圓形、方形、菱形和十字形的介電常數的數值解基本相同，隨著體積分數的增加，十字形和菱形的介電常數略大于圓形和方形；夾雜物的幾何結構不同其計算出的平均場濃度和場強方差也是不同的，其平均場濃度也是十字形最大，其次是菱形、方形和圓形，而十字形和菱形的場強方差變化較大，圓形和方形的場強方差變化較小。

對于兩相介電常數呈高對比度情況，十字形夾雜物的相對介電常數最大，其次是菱形、方形和圓形，且隨著體積分數的增大，介電常數的相差就越大；其十字形和菱形的平均場濃度和場強方差也是變化比較大，而圓形和方形的平均場濃度變化較小，場強方差基本不變。所以，當夾雜物體積分數變化時，復合材料等效介電常數的變化規律與夾雜物相的場濃度和場強方差的變化規律相吻合。

4 結束語

對兩相復合材料模型進行了數值模擬，分析了夾雜物幾何形狀對復合材料等效介電常數的影響。采用有限元方法計算的等效介電常數數值解與幾種經典的理論公式進行了比較，并分析了低對比度與高對比度下復合材料的平均場濃度和場波動的變化規律。由分析結果可以得出以下結論:

(1)不同幾何結構的夾雜物對復合材料的電特性影響不同；當夾雜物的體積分數相同時，無論復合材料的兩相介電常數呈低對比度還是高對比度，十字形夾雜物的相對介電常數總是最大，其次是菱形、方形和圓形。

(2)當夾雜物體積分數變化時，復合材料的等效介電常數的變化規律與夾雜物相的場濃度和場強方差的變化規律相吻合；隨著夾雜物體積分數增大時，十字形和菱形夾雜物場濃度以及場強方差的變化趨勢相對比較大，而圓形和方形的則比較小。

(3)在夾雜物體積分數相同的情況下，不同夾雜物與基體介質的介電常數對比度差異也會影響復合材料內部場濃度以及場強方差的計算；無論是低對比度還是高對比度，在相同的體積分數下，十字形夾雜物計算出的平均場濃度和場強方差均是最大的，其次是菱形、方形和圓形，因此夾雜物的幾何結構特征與場波動之間有直接的相關性。

該文僅討論了簡單二維復合材料模型，后期工作中將會建立更為復雜的三維幾何結構模型研究其微觀結構對等效電特性的影響規律。以上的計算機仿真研究工作對設計具有特定電特性的復合材料提供了理論參考依據。