移動荷載作用下離散支承曲線軌道梁振動特性研究

孫宗丹，黃 強，劉干斌

（1.廣西職業技術學院 路橋工程學院，南寧 530023；2.寧波大學 土木與環境工程學院，浙江 寧波 315211；3.寧波大學 濱海城市軌道交通協同創新中心，浙江 寧波 315211）

城市軌道交通線路由于地質條件、地下管網建設、線路規劃等原因，往往需要設計大量的曲線線路，小曲線半徑的線路也日益增多[1-2]。據不完全統計，北京地鐵曲線線路的長度約占線路總長的30%～50 %[3]。與直線軌道相比，曲線軌道上列車運行帶來的環境振動問題更為嚴重，例如曲線軌道常見的波磨問題，不僅影響軌道的動力性能，也對列車的乘車舒適性帶來不利影響。現場實測也證實曲線段列車運行會導致地層水平振動大于豎向振動的現象[4-5]。因此，研究曲線軌道的振動特性具有重要的現實意義。

國內外學者對于曲線軌道的振動特性開展了相關研究，通過建立解析模型進行理論或數值求解。宋郁民[6]推導了圓弧曲線Timoshenko梁的振動微分方程，分析曲線梁的自振特性，證實曲線梁平面內振動與平面外振動不耦合；Dai等[7]采用三角級數法對移動點荷載作用下曲線梁穩態響應進行了理論解答，分析了曲線半徑、列車速度、振動頻率、扣件阻尼等因素對曲線梁撓度的影響，不過其解答只適用穩態響應和連續支承的情況；Yang 等[8]提出了計算曲線梁平面內振動響應的有限元方法，分析了不同幾何條件、邊界條件下曲線梁的自振頻率、振型模態及變形規律；Martínnez等[9]提出了一個輪對-曲線軌道耦合模型，該模型可以反映輪對在曲線軌道上移動時接觸力及輪對橫向變形的時程響應，該輪軌耦合模型還會考慮軌道的不平順特征；杜林林、劉衛豐等[10-11]研究了曲線軌道空間振動特性，利用曲線軌道的周期性特性，基于模態疊加法得到了曲線梁頻域內的響應解答。不過，以往在分析曲線軌道振動特性時常將橫向和豎向列車振動荷載視為固定值，較少考慮振動荷載隨曲線半徑、車速和超高角變化，在對比平面內和平面外的曲線梁振動響應差異時存在一定的不足。盡管對于曲線軌道振動特性的參數敏感性分析較多，但分析時較少考慮各因素間的相互影響。與此同時，曲線軌道半徑與列車速度的取值應滿足曲線軌道技術規范的要求，這一點在以往的參數分析中也反映不夠。

為全面分析曲線軌道的振動特性，本文基于振型疊加法和龍格-庫塔數值方法求解曲線軌道的時程響應特征。首先通過振型疊加法將振動方程化簡為常微分方程，再利用龍格-庫塔數值方法對常微分方程進行時域求解。本文提出的半解析半數值方法計算過程簡單，對連續支承和離散支承的情況都可適用，同時也可以適用各種振動荷載的情況。通過對比曲線軌道平面內和平面外的振動響應特征，提出減少曲線軌道振動的相應建議。

1 曲線梁振動方程

以整體式軌道為例，假設軌道以下為固定端，整體式曲線軌道可簡化為曲梁-彈簧模型。如圖1 所示，曲梁弧長為L，半徑為R。曲線鋼軌位移分別為u、v、w、β，對應徑向、豎向、軸向撓度和扭轉角變形，其中平面內u、w相互耦合，平面外v、β相互耦合。鋼軌橫截面內的受力如圖2所示，鋼軌存在一定超高，超高角為θ；列車作用在鋼軌頂端的水平和垂直荷載分別為mc V2R和mcg；沿鋼軌x軸和y軸正向所受荷載分量分別為fh、fv。

圖1 曲線梁位移示意圖

圖2 曲梁橫斷面受力示意圖

以連續支承軌道為例，根據曲線梁平衡方程和幾何方程，得到Euler曲梁的振動方程如下[7]：

其中：

式中：Ix、Iy分別為鋼軌繞x、y軸的慣性矩；Ip為繞z軸的極慣性矩，等于Ix+Iy；A為鋼軌橫截面積；h為鋼軌高度；E、G為鋼軌彈性模量和剪切模量；ρ為鋼軌密度；J為截面扭轉常數；kx、cx，ky、cy，kt、ct分別為扣件的徑向、豎向和扭轉彈簧剛度與阻尼；V為列車移動速度，m/s。

2 方程求解與驗證

采用模態疊加法對式（1）進行求解，對于曲線Euler梁，曲梁的撓度和扭轉角表達式如下：

其中：Yi(z)是正則振型函數，qui(t)～qβi(t)為對應的時間坐標函數；nm為振型模態數，一般要求不小于曲梁長度除以扣件間距的一半；對于長曲梁，其振型函數表達式為：

將式（3）代入式（1），經過化簡，得到2階常微分形式的鋼軌振動方程，如下：

其中：

將曲梁的2階常微分振動方程組寫成統一的矩陣方程形式，方程由4nm個方程組成，形式如下：

其中：待求解變量X={qu1，qu2，…，qunm，qv1，qv2，…，qvnm，qw1，qw2，…，qwnm，qβ1，qβ2，…，qβnm}T，質量矩陣M，阻尼矩陣C和剛度矩陣K為4nm×4nm矩陣，荷載向量P為4nm×1矩陣。假設軌道初始加速度、速度和位移都為零，采用4 階龍格-庫塔數值方法對矩陣方程（7）進行求解，得到曲線軌道各向振動位移的時程響應。

3 計算結果

3.1 數值計算結果驗證

為驗證本文所采用的龍格-庫塔法計算結果的準確性，參照文獻[7]模型參數和解析計算結果進行對比，對比計算結果如圖3 至圖5 所示。可以看出，本文計算結果與理論解析結果幾乎一致，可見，龍格-庫塔法計算的曲梁振動響應結果是準確的。從圖中也可以看出，列車移動會產生比較明顯的徑向撓度和扭轉位移，應引起足夠的重視。

圖3 豎向位移對比圖

圖4 徑向位移對比圖

圖5 扭轉位移對比圖

3.2 主要影響因素分析

根據《地鐵設計規范GB50157-2003》[12]，曲線軌道的最小半徑計算公式如下：

式中：V為列車運行速度，km/h，hmax為最大超高，120 mm；hqy為允許的最大欠超高，為61.2 mm，對應的軌道最大超高角為7.2°。在最大超高情況下，計算出當前列車速度下的軌道最小曲線半徑，如表1所示。

表1 不同車速下曲線軌道最小半徑

為進一步分析曲線軌道的振動特性，以T60 鋼軌和DTVI2扣件為例，分析不同參數影響下曲線軌道的空間振動特征，曲線軌道的參數如表2 所示。考慮到曲線軌道的振動響應影響因素較多，常見的軌道剛度參數影響特性和直線軌道類似，故本文只選擇影響列車振動荷載的列車速度、曲線半徑和超高角進行分析。

表2 T60鋼軌及DTVI2扣件參數[10]

（1）列車速度的影響

不同列車速度下曲梁豎向撓度、扭轉位移和徑向撓度如圖6至圖8所示。

圖6 不同列車速度下豎向撓度對比（θ=7.2°）

從圖中看出，三個方向的位移隨列車速度的變化規律各異。在目前的車速范圍下，當軌道半徑滿足最小半徑要求時，曲線軌道的豎向撓度隨速度增加變化量很小，當半徑不滿足最小半徑要求時，豎向撓度隨列車速度的增加而快速增加，半徑越小，豎向撓度增加得越明顯，曲梁豎向撓度始終大于直梁的撓度。

對于扭轉位移，曲梁的扭轉位移都是隨著車速的增加逐漸減少直至下降為零，此后車速繼續增加而曲梁的扭轉位移基本不變。通過計算發現，扭轉位移為零的車速V=gRtanθ，可算出各半徑所對應扭轉位移為零的車速剛好是最小半徑對應的車速，這一車速也稱為“理想車速”。可見，理想車速與曲線半徑和超高角密切相關，三者互相關聯影響曲線軌道位移響應。如圖7 所示，直梁的扭轉位移大于曲梁，這是因為本文假設直梁也存在超高角，當列車在傾斜直軌上行駛時會在橫向上產生撓度變形。

圖7 不同列車速度下扭轉位移對比（θ=7.2°）

曲梁徑向撓度變化規律則是隨速度的增加先減小后增大，和扭轉位移一樣，在理想車速處徑向撓度為零。圖8 的徑向撓度為絕對值，理論上當列車速度超過理想車速后，徑向撓度指向圓心之外，撓度應為負值。從圖中可知，曲線軌道上列車運行應盡量接近理想車速，而不是單純的增加曲線半徑，否則大曲線半徑下的徑向撓度反而有可能大于小半徑下的徑向撓度值。

圖8 不同列車速度下徑向撓度對比（θ=7.2°）

（2）曲線半徑的影響

不同曲線半徑下的曲梁豎向撓度、扭轉位移和徑向撓度的結果如圖9 至圖11 所示。如圖9 所示，當曲線半徑小于最小半徑要求時，增加曲線半徑可以有效減小豎向撓度的大小，當曲線半徑增加到滿足最小曲線半徑要求時，繼續增加曲線半徑對減小豎向撓度的意義不大。

圖9 不同曲線半徑下豎向撓度對比（θ=7.2°）

曲線半徑對扭轉位移的影響如圖10所示，可以看出，在一定的列車速度下，最小曲線半徑對應的扭轉位移為零。當曲線半徑大于最小半徑后，扭轉位移反而隨著曲線半徑的增加不斷增加直至趨于穩定，扭轉位移最終值與列車速度有關，車速越大，最終扭轉位移越小。

圖10 不同曲線半徑下扭轉位移對比（θ=7.2°）

徑向撓度隨曲線半徑的變化規律如圖11所示，同樣，徑向撓度受曲線半徑的影響也與列車速度有關。當列車速度較小，曲線半徑大于等于最小半徑時，徑向撓度隨著曲線半徑的增加而逐漸增加最后趨于穩定。當曲線半徑不滿足列車速度所對應的最小半徑時，徑向撓度先隨曲線軌道半徑的增加降為零，然后隨列車速度逐漸增加至撓度趨于穩定。可見，當曲線半徑無窮大時，列車速度引起的離心力可以忽略不計，最終曲梁撓度也接近直梁下的徑向撓度結果。

圖11 不同曲線半徑下徑向撓度對比（θ=7.2°）

（3）超高角的影響

曲線軌道需要設置一定的超高角以抵抗列車離心力的作用。根據超高角允許值，超高角變化范圍為0～7.2°。以列車速度20 m/s為例，不同曲線半徑下豎向撓度隨超高角的變化規律如圖12 所示。當曲線半徑小于等于最小曲線半徑時，豎向撓度隨著超高角增加而增加，最大超高角對應的豎向撓度最大。當曲線半徑大于最小曲線半徑時，豎向撓度隨著超高角的增加先增大后減小，存在一個超高角使得豎向撓度最大。不過，從豎向撓度的變化程度來看，超高角對豎向撓度的影響較小，變化率不超過1%，故改變超高角對豎向撓度影響不大。

圖12 不同超高角下豎向撓度對比

不同超高角對徑向撓度的影響如圖13所示，當曲線半徑小于等于最小半徑時，增加超高角可以使得徑向撓度逐漸減小，最大超高角對應的徑向撓度最小，而當曲線半徑大于最小曲線半徑時，徑向撓度隨著超高角的增加先減小為零后快速增加，存在一個理想超高角，使得徑向撓度為零。當超高角大于理想超高角后，曲線半徑越大，列車運行產生的徑向撓度也越大。可見，徑向撓度的變化規律和豎向撓度基本相反，列車振動荷載產生的振動效果由橫向和豎向兩方面的位移承擔，豎向振動增強，相應地橫向振動就會減弱。不過對于曲線軌道來說，應盡量減小橫向的振動位移以減小列車運行對軌道的磨損。因此，在列車運行速度一定的情況下，適當增加曲線半徑同時減少超高角大小，可以使豎向撓度和徑向撓度結果都有所減小。

圖13 不同超高角下徑向撓度對比

4 結語

本文基于振型疊加法和龍格-庫塔法計算研究了移動荷載下曲線軌道梁的振動特性，并與直線軌道梁進行比較，分析了列車速度、曲線半徑和超高角對曲梁豎向、徑向撓度和扭轉位移的影響。綜上研究，主要得到以下結論：

（1）當曲線半徑滿足最小半徑要求時，列車速度增加對曲梁的豎向撓度影響很小，扭轉位移和徑向撓度受列車速度的影響較大，扭轉位移隨車速增加降為零后基本不變，徑向撓度隨車速的增加先減小為零隨后快速增大，徑向撓度變形存在一個理想車速；

（2）當曲線半徑小于最小半徑時，增加曲線半徑可以有效減小曲梁的豎向撓度，達到最小半徑要求后，繼續增加曲線半徑對曲梁豎向撓度影響很小，當曲線半徑大于最小半徑時，扭轉位移隨曲線半徑增加逐漸增大最終趨于穩定，徑向撓度則先減小為零再隨曲線半徑的增加最終趨于穩定；

（3）改變超高角對曲梁豎向撓度的影響不大，當曲線半徑小于等于最小半徑時，增加超高角可以減小徑向撓度，增加曲線半徑有利于減小超高角的大小以達到降低徑向撓度的目的。