導彈伺服振動亞臨界試驗及穩定邊界預示方法

高 陽，史曉鳴，張宏程，江玉剛，涂 靜，趙 征

（1.上海機電工程研究所，上海 201109； 2.上海航天技術研究院，上海 201109）

現代導彈日益增大的機動過載及輕量化設計要求使得彈上穩定控制回路權限逐漸放寬、彈體結構模態頻率不斷降低[1]，伺服控制與結構振動耦合導致的大幅伺服（彈性）振動問題日益突出。吳云潔等[2]將導彈的彈性振動信號視作剛體運動信號的噪聲進行自適應濾波處理。楚龍飛等[3]針對導彈1 階模態頻率的時變性提出自適應結構濾波器設計方法，用Nyquist 穩定性判據分析了系統的幅值裕度和相位裕度。張陳安等[4]在狀態空間內耦合時域氣動力、結構狀態方程與控制狀態方程，通過根軌跡法判別耦合系統穩定性。楊炳淵等[5]基于狀態空間法建立導彈的模態狀態方程和控制狀態方程，在時域內用龍格-庫塔法實現系統動力學響應的數值仿真，并借以判斷系統的動力學穩定性，辨識穩定性的臨界參數。許龍等[6]和李越群等[7]分別對導彈的俯仰/偏航通道和滾轉通道的振動抑制和穩定回路設計進行了頻域仿真分析，并提出抑制導彈伺服振動的改進措施。

上述研究均是針對簡化后的結構/控制模型開展的數值仿真工作，實際工程型號的伺服振動模型更為復雜，且還存在間隙、摩擦等結構非線性以及舵偏指令限幅等控制非線性因素，導致數值仿真的結果并不能充分反映真實的情況，因此工程研制流程中必須開展伺服振動地面試驗以評估其穩定性。史曉鳴等[8]用激振器掃頻激勵閉環試驗揭示了導彈伺服振動系統的振動響應現象。國內工程單位亦總結制定了中華人民共和國航天行業標準《防空導彈穩定控制系統彈性抑制全彈模態試驗方法》[9]和中國航天科技集團公司標準《戰術導彈伺服彈性試驗設計規范》[10]為導彈伺服振動地面試驗提供了參考與指導依據。但上述標準中的試驗方法均采用施加外部擾動后檢查導彈振動是否衰減的方法來定性地判斷系統是否穩定。若要進一步定量獲得發生伺服振動的臨界增益值，就只有通過逐步提高控制系統的增益，直至進入施加外部擾動后彈體結構等幅振動的臨界狀態，此時的系統增益即為系統發生伺服振動的臨界增益。然而在伺服振動臨界、超臨界狀態下，結構振動幅度很大，彈上電流快速增大，極易導致彈體結構以及彈上電子元器件的損傷。如何在較為安全的亞臨界試驗數據中獲得有效的系統響應數據，并從中外推預示出系統伺服振動穩定邊界，是當前導彈伺服振動試驗研究中亟須解決的問題。

伺服振動亞臨界地面試驗及穩定邊界預示的方法目前尚未見到公開報道。伺服振動的本質是圖1所示閉環反饋的自激振動，因此可以借鑒同樣屬于自激振動的顫振問題的亞臨界試驗及邊界預示方法。穩定性外推工作[11-12]是基于試驗手段解決顫振問題的重要途徑，張偉偉等在綜述文獻[13]中全面詳細地評述了顫振亞臨界試驗及穩定邊界預示方法的研究進展，其中阻尼外推法、包線函數法，物理概念清晰，只需要從亞臨界試驗數據中識別出阻尼或衰減包線隨增益變化的規律即可預示邊界參數，是工程中常用的方法。

圖1 伺服振動反饋回路

本文為解決當前工程中導彈伺服振動地面試驗中存在的問題，提出導彈伺服振動亞臨界地面試驗及穩定邊界預示方法。通過階梯變增益的亞臨界試驗獲取一系列不同駕駛儀增益條件下彈體結構振動響應信號；應用解析模態分解(Analytical Mode Decomposition，AMD)從彈體結構振動響應中提取出彈體結構的1 階彈性響應，并用希爾伯特變換(Hilbert Transform，HT)實現伺服振動系統的非參數辨識；根據伺服振動系統阻尼比和振動信號包線函數形狀參數隨增益變化的規律外推預示伺服振動穩定邊界。試驗及預示結果表明，本文方法只需要開展若干次亞臨界試驗，即可通過對亞臨界狀態下的系統振動響應數據處理，有效準確地預測出導彈伺服振動系統的穩定邊界，具有良好的工程適用性。

1 基本理論

1.1 解析模態分解

解析模態分解[14]的本質是一個自適應帶通濾波器。解析模態分解能分解緊密間隔頻率成分的信號，應用的前提條件在于確定帶通頻率范圍，適用于已知諧振頻率的伺服振動系統本征模態信號提取。

對于一個實信號q(t)，設它包含n個頻率成分ω1，ω2，…，ωn的單頻率信號，一個頻率ωi對應一個單頻率信號qi(t)，所以：

那么存在n-1 個二分頻率ωbi∈(ωi,ωi+1), i=(1,2,…,n-1 )，將q(t)分為高低頻的兩個部分

其中：

式中：si(t)為頻率小于ωbi的低通信號t)為頻率高于ωbi的高通信號。符號H[·]表示希爾伯特變換。

因此，單頻率成分信號可以表示為：

1.2 希爾伯特變換[15]求包絡線

定義解析信號Q(t)由原始信號q(t)及其希爾伯特變換構成：

寫成幅值/相位形式：

式中：A(t)為瞬態振幅，同時表征原始信號q(t)的包絡線；ψ(t)為瞬態相位：

1.3 邊界預示方法

1.3.1 阻尼外推法

阻尼外推法以模態阻尼作為自激振動是否發生的穩定性判據。理想單自由度系統的自由振動衰減信號具有如下形式：

式中：ξ表示阻尼比，ωd表示振動圓頻率，φ表示初始相位。由式(7)可知，該信號的包絡線（瞬態振幅）為：

由于結構非線性、控制非線性尤其是舵系統非線性的存在，試驗實測信號并不是理想單頻信號，解析模態分解后的信號仍然在模態頻率附近出現圖2所示的超諧波現象，時間歷程呈現“拍”的形式。針對這種現象，采用局部極值插值法[16](Local Maxima Interpolation，LMI)提取該信號包絡線的駐點dA/dt=0做指數函數擬合得到圖3中包絡線的包絡線(Envelope of Envelope，EOE)，根據EOE 的指數項系數-ξωd辨識伺服振動系統阻尼比。

圖2 實測信號的解析模態分解

圖3 原始信號、駐點、包絡線及包絡線的包絡線

1.3.2 包線函數法

包線函數法不需要識別系統模態參數，直接用振動響應包絡線（包線函數）的形狀參數S表征系統阻尼大小。形狀參數的定義是包絡線在時間軸上形心位置的倒數S=對于單頻信號，現在普遍采用希爾伯特變換構造包絡線A(t)=± ||Q(t)=±對應的形狀參數表達式為：

式中：tmax為選取的所圍面積對應的最大時間，由信號品質和振動衰減快慢決定。

理論上，形狀參數的取值范圍為[ 1/tmax,∞]。形狀參數S的減小意味著阻尼的降低。S＞2/tmax時，響應衰減，系統穩定；S=2/tmax時，響應等幅振蕩，系統臨界穩定；S＜2/tmax時，響應發散，系統不穩定。

2 伺服振動亞臨界試驗方法

本文提出的伺服振動亞臨界試驗方法用地面綜測設備給駕駛儀裝定固定彈道點控制參數并給慣導、駕駛儀、舵機等彈上設備供電，用錘擊脈沖激勵彈體結構振動，用加速度傳感器采集彈體振動響應，試驗系統布置見圖4。脈沖激勵下，模態坐標上伺服振動系統自由振動方程具有如下形式：

圖4 試驗系統

式中：q表示模態坐標，M、Cs、K分別為彈體結構模態質量、模態阻尼和模態剛度，f(q)表示控制系統對彈體的非線性作用力，G為駕駛儀控制增益。由于實際彈體結構模態阻尼Cs較小可忽略不計，式(11)可改寫為：

在亞臨界狀態下，脈沖激勵后伺服振動系統處于自由衰減振動過程。系統振動衰減快慢主要取決于等效阻尼力G·f中控制增益G，不同的控制增益對應不同的伺服振動系統阻尼。通過階梯變增益的亞臨界試驗獲取一系列不同駕駛儀增益條件下彈體結構振動響應信號，辨識亞臨界狀態下的系統阻尼并外推預示使系統阻尼為零的臨界控制增益。

結合亞臨界試驗方法與數據處理方法總結伺服振動亞臨界試驗及邊界預示方法的步驟為：

(1)用地面綜測設備給駕駛儀裝定固定彈道點控制參數，并給慣導、駕駛儀、舵機等彈上設備供電；

(2)對彈體施加脈沖激勵，利用加速度傳感器采集導彈彈體結構的脈沖響應信號；

(3)斷電，在亞臨界狀態下階梯增大裝定駕駛儀的控制增益，然后重復上述步驟(1)至步驟(3)開展若干組亞臨界狀態下的試驗；

(4)濾除所采集振動信號中的低頻剛體運動信號和高頻噪聲；

(5)對濾波后的信號在所關心的系統1 階諧振頻率附近設置合適的頻帶區間做解析模態分解；

(6)對解析模態分解后的信號進行希爾伯特變換，得到瞬態幅值（包絡線）；

(7)基于阻尼外推法或包線函數法辨識每個控制增益條件下的系統阻尼；

(8)根據多組控制增益-系統阻尼的對應關系，外推預示使系統阻尼為零的臨界控制增益。

圖5 給出了上述亞臨界試驗及邊界預示流程圖。

圖5 亞臨界試驗及邊界預示流程

3 試驗算例

為驗證本文提出的伺服振動亞臨界試驗及邊界預示方法的有效性，對控制系統裝定固定彈道點參數狀態下的導彈全彈開展了伺服振動試驗。選取控制增益放大倍數K=1、5、10、15 共四個亞臨界試驗狀態。

試驗中脈沖激勵輸入由人工力錘敲擊給出，振動響應由加速度傳感器采集。加速度傳感器位于導彈慣導處，力錘激勵點位于靠近慣導的彈身中部。力錘采用B&K8206型力傳感器，加速度傳感器采用PCB333B30 型加速度傳感器用于采集加速度與力信號，采樣頻率2.56 kHz，采樣時間3.2 s。采用觸發方式，以力錘敲擊時間作為采集起點，并在觸發前預采集10%時間（即0.32 s）確保響應信號經數據處理后的完整性。由于試驗狀態較多，本文選取K=1 原始控制增益對應的振動響應為例介紹數據處理過程。

首先對原始振動響應做15 Hz～100 Hz 帶通濾波，再將濾波后的信號做50 Hz～60 Hz 解析模態分解，圖6 給出解析模態分解后信號的時間歷程以及頻譜圖，可以看出頻帶內存在一明顯諧振峰值；繼續對該信號做希爾伯特變換，得到圖7所示的包絡線；歸一化包絡線的時間長度，并擬合出圖8 所示EOE曲線。根據阻尼外推法，利用EOE曲線的指數項系數-ξωd求出阻尼比ξ=1.97%；根據包線函數法，利用包絡線計算出形狀參數S=6.075。

圖6 解析模態分解結果

圖7 振動響應包絡線

圖8 振動響應包絡線的包絡線

對控制增益放大倍數K=5、10、15條件下的振動響應重復上述步驟，最終得到表1 所示階梯改變的控制增益與兩個穩定性判據之間的對應關系。

表1 控制增益放大倍數與穩定性判據的對應關系

基于最小二乘原理對控制增益放大倍數與穩定性判據的對應關系做擬合，外推出臨界穩定性判據對應的控制增益放大倍數。臨界阻尼比ξ=0，臨界形狀參數S=2/tmax=2，圖9和10分別給出阻尼外推法和包線函數法擬合的外推曲線與臨界控制增益放大倍數。

圖9 阻尼外推法結果

圖10 包線函數法結果

阻尼外推法得到的臨界控制增益放大倍數K=21.6，包線函數法得到的臨界控制增益放大倍數K=19.0。兩種預示方法得到的臨界控制增益放大倍數K≈20，繼續階梯增加控制增益令放大倍數K=20以驗證預示結果，得到的原始振動響應信號如圖11所示。此時振動響應已經呈現明顯的不收斂等幅振蕩趨勢，已達到臨界失穩狀態，證明K=20 十分接近臨界穩定放大倍數，也驗證了兩種預示方法的正確性。

圖11 20倍控制增益下振動響應

4 結語

(1)設計了階梯變增益的導彈伺服振動亞臨界試驗方法：階梯改變駕駛儀控制增益放大倍數，獲取不同控制增益下彈體結構脈沖響應衰減的變化規律。基于不同的控制增益條件，該亞臨界試驗方法采集的振動響應可表征伺服振動系統的動力學特性，為辨識伺服振動動力學系統提供輸入。

(2)提出了導彈伺服振動動力學系統辨識及亞臨界試驗穩定邊界預示新方法：以階梯變增益的亞臨界試驗中不同控制增益下彈體結構振動響應作為輸入，基于解析模態分解及希爾伯特變換方法辨識伺服振動系統動力學參數，根據伺服振動系統阻尼比和振動信號包線函數形狀參數隨增益變化的規律外推預示伺服振動穩定邊界，實現伺服振動系統的穩定邊界預示。

(3)亞臨界預示試驗結果與臨界試驗結果的一致性表明，本文提出的伺服振動亞臨界試驗及穩定邊界預示方法能有效評估導彈伺服振動系統的穩定邊界，為導彈伺服振動控制設計與評估創新性地提供了一種可信、有效的驗證手段。