稀疏口徑光學系統設計及子鏡位置誤差分析

王臣臣，張 蕾，謝 遠，田 曉，張 帥，張睿釗，朱 梅，楊苗燕，蘇 帥，賀勇衡

(西安航空學院 理學院，西安 710077)

0 序言

隨著人類對光學系統分辨率的需求越來越高，其口徑由最初的厘米量級發展到現在的米量級，甚至幾十米量級。受到加工能力的限制，單一口徑反射鏡遠遠不能滿足人們對高分辨率的需要，稀疏口徑系統的出現則解決了以上困難。1978年美國在亞里桑那建造的多鏡望遠鏡(Multiple Mirror Telescope，MMT)是最早的稀疏孔徑成像系統, 每塊子鏡的直徑為1.8 m,組成的主鏡等效孔徑相當于直徑4.45 m的望遠鏡，美國在亞利桑那的MMT實物圖如圖1所示；美國波音公司在名為Low Cost space Imager的研究項目中設計了一個光學稀疏孔徑系統，該系統的主鏡由6個2.2 m的子鏡構成,整個光學系統等效口徑為8 m。

圖1 美國在亞利桑那的MMT實物圖

通過子鏡拼接得到的大尺寸主鏡，子鏡在位置上需要共焦共相才能成像。由于子鏡背部機械結構的精度問題，子鏡的拼接位置與理想位置有一定的差異，因此在光學系統投入應用之前需要對子鏡的位置進行檢測校正。而對子鏡誤差影響成像質量的分析，一般通過理論進行，未考慮到系統自身所帶有的球差、彗差、像散等多種像差對成像質量產生的影響。因此需要建立一個稀疏口徑系統來分析子鏡位置誤差的影響，建立的系統中需要包含系統優化過程中所不能校正的多種像差對成像質量的影響，更能真實的反映系統在多種像差的影響下，位置誤差對系統成像質量的影響，從而對確定子鏡的位置誤差容限提供一定的參考。

1 稀疏口徑光學系統

稀疏口徑光學系統是通過多個小尺寸子鏡拼接得到較大口徑的主鏡，由于子鏡拼接后得到的主鏡填充因子相比較全口徑光學系統較小，顯得較為稀疏，所以叫做稀疏口徑光學系統。目前,針對子鏡的排列方式，比較典型的子鏡結構有:環面、環形、戈萊、三臂等形式。比如，環面結構的整個光瞳可以表現為一個圓環,圓環面積的大小可以反映通光量的大小，因此改變圓環內外半徑的大小可以對系統通光面積的大小進行改變，當內徑的大小為零時，可以得到一個全口徑大小的反射鏡。

在上面的結構中，環面應用最多，已經在多個望遠鏡上實現應用，多用于地基上的望遠鏡，而地基望遠鏡可以在一定程度上進行人為干預，因此可將子鏡的位置誤差校正到成像允許的公差范圍內。而受到運載火箭尺寸等限制，稀疏口徑在太空中的應用尺寸會相對較小，同時受到條件限制，對于子鏡的位置誤差檢測和校正方面，均需要設備自動完成，進一步提高了檢測和校正難度。在太空中完成探索相對于地基望遠鏡有著許多優點，最為重要的是太空中的望遠鏡可以免受地球大氣的影響，成像效果更好。因此，設計一個天基稀疏口徑系統，并完成子鏡位置誤差對系統成像質量的分析，給出每個子鏡的位置誤差的公差范圍，是稀疏口徑系統進入太空應用的關鍵，是完成高分辨探索的重要環節。

2 光學系統設計

稀疏口徑系統在應用中一般分為天基和地基，依靠人為干預和調節，地基系統的口徑可以做到幾十米大小。而受到運載工具尺寸的限制，天基系統的口徑一般被限制在幾米量級。又由于太空環境的獨特性，所以發展天基系統是十分重要的。對于稀疏口徑光學系統的設計與常規的光學系統設計相同，通過對指標的計算得到系統的性能指標，選型后完成系統的優化設計，最后再完成檢測和裝調等工作。在進行光學系統設計時，系統的焦距不僅會對成像質量產生影響，還會影響系統的長度和重量，大小可以由像元尺寸和探測器的像元尺寸決定，=，是探測器像元尺寸大小，為系統的角分辨率。設定探測器像元尺寸為10 μm，角分辨率為1.5角秒，可以計算得出系統的焦距大小為78.83 m。為了能使系統的探測器對光學系統充分采樣，應該使艾里斑的直徑充滿兩個像元尺寸大小，即2.44=2，可以計算得到系統的通光口徑大小為6 m左右，因此光學系統的設計參數指標如表1所示。

表1 光學系統的設計參數指標

根據系統的焦距等參數指標可以判定，系統的選型為反射式，同時為了增加系統在優化過程中的自由度，提高系統的成像質量，整個系統選擇為三反結構，即使用三個反射鏡來完成系統的設計，所有反射鏡為同軸，為了避免視場被遮擋，選擇偏視場設計。優化完成后的光學系統示意圖如圖2所示。

圖2 優化完成后的光學系統示意圖

優化系統后需要對成像質量進行評價，評價的方式有多種，最為常用的評價方式有：系統的MTF曲線圖、波前圖及點列圖等。光學系統的MTF曲線圖如圖3所示，通過MTF曲線圖可以看出，系統的傳遞函數曲線接近衍射極限，在50線對處的大小高于0.25，滿足系統成像質量的需要。

圖3 光學系統的MTF曲線圖

光學系統的波前圖如圖4所示。從圖4中的波前圖大小可以看出，整個系統的RMS值大小為0.062 4，基本符合系統成像質量的要求。由于視場為偏視場，所以最終的波前圖大小則會出現傾斜，區別于常規視場產生的中間小、邊緣大的波像差，最終的波前產生一邊大、另外一邊逐漸減小的現象。

圖4 光學系統的波前圖

對于子鏡的設計，采用環形子鏡排列，子鏡的數量設計為4個，圍繞光軸進行有序排列，子鏡設計完成后的稀疏口徑光學系統示意圖如圖5表示。從優化完成的稀疏口徑光學系統圖中可以看到，主鏡由4塊小尺寸子鏡組成，光線經過子鏡反射后分別入射到次鏡和三鏡，最終通過折軸鏡反射后到達像面。折軸鏡的使用則是為了對光線的光路進行折疊，使光線能直接入射到系統的像面上，同時也能使得系統的結構更加緊促。

圖5 稀疏口徑光學系統示意圖

對于分塊后的光學系統，同樣對成像質量進行評價，分別采用MTF曲線圖、波前圖、點列圖及PSF圖來對系統的成像質量進行說明。稀疏口徑光學系統的MTF曲線圖和波前圖如圖6所示，稀疏口徑光學系統的點列圖和PSF圖如圖7所示。從圖6和圖7可知，主鏡通過子鏡拼接后，系統的MTF傳遞函數的衍射極限有所下降，特別是在中頻25線對部分，下降了0.2左右，這是由于通過子鏡拼接得到的主鏡，組成的主鏡面積大小小于單一主鏡面積大小，通光量減小，最終導致系統的衍射極限下降。系統整個曲線仍接近衍射極限，說明系統的成像質量良好，特別是在50線對處，數值大小僅僅下降了0.1左右。通過圖6可以看出，稀疏口徑的波前圖相對于單一主鏡的波前圖質量要好，系統的波前由原來的0.062 4變為0042 5，產生變化同樣是由于子鏡組成的主鏡的填充因子小于1，通光面積減小所造成。同時系統的波前小于二十分之一個波長，也符合瑞利關于系統良好成像需要滿足系統的波前小于二十分之一個波長的結論。從點列圖和PSF圖中也可以看出，系統的成像質量良好，可以進行成像。但此時的成像僅僅是針對子鏡處在理想位置的情況，由于展開機構的精度問題等，系統進入軌道后將子鏡展開，展開的子鏡位置與理想位置會存在一定的差異，即存在一定的位置誤差，對于系統的成像質量產生一定的影響，所以需要對子鏡的位置誤差影響系統成像質量進行分析，分析系統子鏡在六個自由度上不同位置誤差對成像質量影響的大小，最終給出一定的位置誤差容限。

圖6 稀疏口徑光學系統的MTF曲線圖和波前圖

圖7 稀疏口徑光學系統的點列圖和PSF圖

3 子鏡位置誤差的影響分析

對于子鏡誤差的影響分析中，傳統的方法是直接通過理論分析，得到位置誤差與斯特列爾比之間的關系曲線，可以得到位置誤差的影響大小。然而傳統的影響分析則沒有考慮到光學系統實際像差大小的影響，分析結果不夠全面。文中建立系統模型，光學系統優化完成后有不能完全校正的各種像差，因此再進行位置誤差的分析，可以得到光學系統在所有像差因素的影響下的成像質量，結果更加真實可信。對于稀疏孔徑光學系統子鏡位置誤差的影響分析中，Wang曾經做過一定的研究，但是其模型是針對Y型結構，這種結構在實際應用中較少，而針對應用較多的環形結構則沒有進行分析，所以文中的研究就顯得十分重要。

針對子鏡的位置誤差進行賦值，可以得到光學系統的子鏡沿著六個自由度方向有不同位置誤差時所產生的波前數值，通過計算波前數值與斯特列爾比之間的關系可以得到兩者之間的關系曲線。

、、軸位移誤差與斯特列爾比關系圖如圖8所示。從圖中可以看出，由于光學系統像差的存在，光學系統的斯特列爾比大小為0.985左右，當子鏡沿著X軸發生一定大小的piston誤差時，產生的波像差增大導致系統的斯特列爾比降低。隨著移動距離的增大，光學系統成像質量逐漸降低。

圖8 X、Y、Z軸位移誤差與斯特列爾比關系圖

軸：沿著軸方向移動引起的波像差較小，說明子鏡沿著軸方向在一定位移范圍內進行移動造成誤差較小，相對不敏感。當沿著軸移動的距離達1 600 nm時，波前大小為0.021 2，斯特列爾比為0.982 4。所以對于沿著軸方向的piston誤差在進行分配時較松。

軸:沿著軸進行移動時，產生的波像差大小隨著子鏡移動距離的增大而增大，當子鏡沿著軸方向移動2 000 nm時，子鏡產生的波像差大小為0.021 74，對應的斯特列爾比為0.981。因此在對子鏡沿著軸方向離心的公差分配上公差相對較松。

軸：子鏡沿著軸進行移動時，產生的波像差隨著移動距離的增大而增大。沿著坐標軸的負向進行移動，移動相同的位移之后，隨著子鏡中心距離光軸的距離越遠，產生的波相差越大。當移動距離為-50 nm時，產生的波像差大小為0.046 4，對應的斯特列爾比為0.918 5。當子鏡沿著坐標軸正向進行移動時，產生的波像差大小隨著子鏡移動距離的增大而增大。沿著坐標軸移動距離為50 nm時，子鏡產生的波像差大小為0.044 7，對應的斯特列爾比為0.924 1。而針對系統成像需要將系統的波像差大小控制在二十分之一個波長范圍內，對應的斯特列爾比大小為0.9左右，所以在軸方向上的位置誤差應該控制在50 nm的范圍內才能保證系統的正常成像。

在對子鏡位置誤差模擬分析中可以看出，在沿著坐標軸、軸移動時，外層子鏡在移動一定距離的范圍內產生的波像差小于理想位置波像差；沿著軸方向移動時，中層子鏡和外層子鏡同樣在一定距離的范圍內產生的波像差大小小于理想位置波像差。出現這種情況的原因主要是光學系統的成像質量是由多種像差共同作用的結果，包括piston誤差、傾斜誤差、球差、彗差、像散、場曲和畸變等，由于這些像差之間可以相互進行補償，因此最終的成像質量會優于之前的結果。可以看出在對子鏡進行坐標軸正方向移動時，部分移動的位移可以在一定程度上對于其他像差等進行補償，降低光學系統總體的波像差，成像質量得到一定提高。

、、軸傾斜誤差與斯特列爾比關系圖如圖9所示。在對傾斜誤差影響的模擬中，子鏡在沿著坐標軸進行傾斜后，光學系統的斯特列爾比隨著傾斜角度的增大而下降，其中子鏡沿著、軸進行傾斜時，得到的關系圖中每個子鏡傾斜相同的角度，系統的斯特列爾比變化規律基本一致。子鏡在沿著軸傾斜+0.000 05°和-0.000 05°，光學系統的波像差大小約為0.060 8和0058 5，對應的斯特列爾比大小為0.864 2和0.873 6。當子鏡沿著軸進行相同角度的傾斜時，系統產生的波像差大小分別為0058 7和0058 7，對應的斯特列爾比大小分別為0.872 8和0.872 8。由于光學系統的成像質量沿著、坐標軸的傾斜誤差比較敏感，因此需要對子鏡的傾斜誤差進行嚴格控制，確保光學系統成像質量滿足要求。而沿著軸方向產生傾斜角度的影響相對于、軸較小。

圖9 X、Y、Z軸傾斜誤差與斯特列爾比關系圖

4 結論

通過對稀疏口徑光學系統進行設計，對比全口徑光學系統發現成像質量由于主鏡的填充因子減小而有所降低，特別是MTF傳遞函數的中頻部分，而系統的波前則有所提高。針對子鏡的位置誤差影響分析得到位移誤差影響最大的為沿著光軸方向產生的piston誤差，在系統進行良好成像的要求下，需要保證子鏡展開后相對于理想位置的誤差沿著光軸方向不超過50 nm；而傾斜誤差則在、兩個自由度上產生的影響較大，需要控制在0.000 05°的范圍內才能保證系統進行成像。