基于拓撲優化方法的艙體筋板設計

韓忠磊，魯 鵬

（1. 中國船舶集團有限公司第七一〇研究所，湖北 宜昌 443003；2. 清江創新中心，湖北 武漢 430076)

0 引言

水下設備的研制與發展對我國開發利用海洋資源、布局軍事戰略具有重要意義。耐壓艙體是水下設備不可或缺的一部分，其足夠的強度是設備在水下安全有序工作的前提，其輕量化是設備總體滿足衡重參數的保證。一般的耐壓艙體由筒壁和內部環肋構成，其幾何參數可由行業標準或者企業標準里的經驗公式確定或者驗算，當加強筋板并非環肋時，設計參數的確定就只能憑設計師的經驗完成，再進行仿真驗證，這大幅增加了研發成本。

拓撲優化方法可以為結構設計提供很重要的指導。Michell[1]早在 1904年就提出了拓撲優化的解析方法，得到了最優Michell準則的桁架。后經過100多年的發展，拓撲優化的數值方法得到了廣泛的應用。如隋允康[2-3]等將ICM拓撲優化方法應用于剛架結構，以結構重量為目標函數，研究了多工況下剛架結構在應力約束下的優化結果；范文杰[4]等采用基于實體各向同性材料罰函數的多目標拓撲優化方法，使得車架結構同時滿足了靜態剛度和低階固有頻率的要求；龍凱等[5]利用基于RAMP插值函數的ICM拓撲優化方法對主軸承蓋結構進行了優化設計，實現了結構體積最小化；芮強等[6]基于拓撲優化技術的變密度方法對某動力艙支架結構進行了優化，改善了支架的靜、動態力學特性；Tamijani[7]等采用Kriging插值模型和遺傳算法對帶肋板結構進行優化設計，大幅縮短了計算時間；張聰等[8]應用變密度拓撲優化方法，減輕了三體船橫艙壁優化區域內50%的質量，實現了非水密艙壁結構的輕量化設計；朱鑫垚等[9]利用ABAQUS 軟件對汽車活塞連桿進行了拓撲優化，減重的同時保證了加工工藝性。

本文采用變密度拓撲優化方法，以單元的相對密度作為設計變量，艙體柔度最小為目標，計算了耐壓艙體外壓狀態下的載荷傳遞路徑，并以此為依據設計了筋板，最后對優化模型進行了分析。

1 優化問題分析

耐壓艙體模型如圖1所示，系統主要由艙壁、隔艙板和2個蓋板組成，為抵抗大深度水下壓力，蓋板被設計為球面形狀。蓋板與隔艙板之間形成的艙室可用于放置水下儀器設備等，該艙體與其他系統的機械及電器接口等特征在此處已被隱藏處理。

圖1 耐壓艙體模型Fig.1 Cabin model

考慮水下使用環境，該艙體選用了鈦合金TC4材料，其力學性能如表1所示。如圖2所示，通過有限元仿真計算，在指標要求的外壓下，即使使用了較高強度的鈦合金材料，該設計模型仍然被破壞掉了。最大應力為1 297 MPa，最大位移為10 mm。若只是簡單地增加艙體壁厚，必然會大幅提高系統重量和成本。最大應力出現在艙體圓柱面與端面過渡的地方，配合位移云圖分析可知，可在過渡處進行筋板加強，來提升整體強度和剛度。筋板的數量和布置形式可通過拓撲優化方法分析得出。

表1 TC4材料屬性Table 1 TC4 material properties

圖2 無筋板艙體外壓下應力（MPa）及位移（mm）云圖Fig. 2 Cloud diagram of stress（MPa）and displacement（mm）under external pressure of cabin without stiffeners

2 艙體優化設計

2.1 拓撲優化數學模型

拓撲優化的基本思想是在給定載荷及邊界條件的情況下，使得目標函數達到最優解，即將設計空間內的材料進行最優化的分布。與傳統優化設計不同的是，拓撲優化只需給出結構參數（材料特性、載荷和邊界條件）和材料去除體積比[10]。

本文的原始模型為無筋板的艙體，為在合適的位置添加筋板，需找到耐壓艙體受外壓作用下載荷的傳遞路徑，即將問題轉化為艙體材料分布狀態的0～1優化。設計空間內有限單元的相對體積密度即為本文的設計變量，設計空間中材料密度接近于1或等于1（有材料）的部分即為筋板需要布局的地方。對于0～1組合優化問題，由于網格單元太多，難以計算。采用基于SIMP 材料插值模型的拓撲優化方法[11]，可以得到具有可變剛度的各向同性材料，即材料的相對體積密度x可在0～1之間連續變化。如式（1）所示，通過引入懲罰因子，使得設計變量x趨近于0或1，從而消除沒有物理意義的中間密度，同時利用SIMP插值模型可方便構造靈敏度函數，為優化求解提供搜索方向，提高計算效率和得到最優解。

SIMP材料插值模型如下式：

式中：Ke為第e個單元優化后的剛度矩陣；0K為第e個單元初始剛度矩陣；xe為第e個單元的相對密度；p為中間密度懲罰因子，取p為3。xe的取值區間為[0，1]，當xe取1時，表示該單元充滿材料。為了避免剛度矩陣的奇異性，通常將單元密度取一個下限值，即xmin，一般取值較小。

本文以耐壓艙體的剛度最大即柔度最小為優化目標，以單元相對密度xe作為設計變量，以體積分數作為約束條件，建立了拓撲優化數學模型。

式中： x為單元的相對密度向量；C為結構總體柔度，用應變能來表示；F為結構載荷向量；U為結構位移向量；K為結構總體剛度矩陣；V為結構優化后的體積；f為保留體積比；V0為結構設計域體積；ve為第e個單元的體積；xmin為單元密度下限取為0.001；xmax為單元的密度上限。根據式（1）-（2）的理論，便可在 Abaqus中對耐壓艙體進行拓撲優化。

2.2 優化結果及筋板布置

有限元分析軟件Abaqus里面的拓撲優化模塊支持2種算法：通用算法即變密度法和基于條件的算法，前者更靈活，適用于大多數問題，后者效率更高，但能力有限。默認情況下，優化模塊使用通用算法。利用該模塊進行拓撲優化的流程為：導入簡化的幾何模型，定義材料屬性，對模型進行網格劃分，施加載荷和約束，定義拓撲優化參數，提交優化任務，計算求解。

本文優化模型為中心對稱結構，為提高計算效率，僅選取1/4模型進行計算。在Abaqus中劃分的網格如圖3所示，淺綠色區域為設計空間，紅色區域是固定約束（考慮艙體安裝至平臺的機械接口），艙體外表面承受均布載荷即外壓。優化設計空間為艙壁部分，以其結構剛度最大即柔度最小化為優化目標，以單元相對密度作為設計變量，以體積分數0.4作為約束條件。優化結果如圖4所示。

圖3 1/4艙體模型網格劃分Fig.3 1 / 4 cabin grid model

圖4顯示了經過優化之后，余下單元的單元相對密度分布情況。紅色部分表示相對密度為1或者接近1，圖中鏤空區域為需要刪除材料的地方，相對密度接近于0，圖4很清楚地展示了艙體受外壓時力的傳遞路徑。根據圖4的結果，可設計筋板的布置。圓周等距離布置14個筋板，在隔艙板上下層對稱布置，如圖5所示。

圖4 拓撲優化結果Fig.4 Topology optimization results

圖5 帶筋板艙體模型Fig.5 Cabin model with stiffeners

2.3 設計結果分析

對優化筋板布置的艙體模型重新進行靜力學分析，結果如圖6-7所示。帶筋板耐壓艙體在外壓下的Mises應力云圖如圖6所示，最大壓力在筋板邊緣彎折處，最大應力為779 MPa，小于其材料的屈服應力（825 MPa）。帶筋板耐壓艙體的位移云圖如圖7所示，最大位移位于蓋板中心，最大變形量為3.228 mm，變形量僅為之前的1/3，滿足使用要求。

圖6 帶筋板艙體的Mises應力云圖（MPa）Fig.6 Mises stress nephogram of cabin with stiffeners（MPa）

圖7 帶筋板艙體的位移云圖（mm）Fig.7 Displacement cloud diagram of cabin with stiffeners（mm）

3 結束語

水下艙體作為耐壓部件，承載內部設備，承受外部壓力，強度至關重要。本文通過有限元軟件對艙體筋板進行了優化設計，結論如下。

1）采用基于 SIMP插值的變密度拓撲優化方法，求解了耐壓艙體在外壓作用下的傳力路徑，并以此為依據優化了艙壁上加強筋的布置。

2）優化后的艙體模型最大應力減小到了材料的許用范圍內，并且變形量大幅減小。說明該拓撲優化方法對筋板設計具有一定的指導意義。