把握數學概念本質 促進學生深度體驗

閆巍　王玉

教學內容：人教版四年級下冊第五單元第60、61頁。

教學目標：

1.通過操作、觀察、比較等活動，使學生認識三角形，知道三角形的特征。

2.知道三角形底和高的含義，掌握三角形的高的畫法。

3.知道三角形的穩定性及其在生活中的應用，感受數學與生活的聯系。

教學重、難點：經歷三角形概念的形成過程，理解三角形高的概念;能夠理解三角形的高與底的對應關系;學會畫高。

教學過程：

一、聯系生活，情境導入

師：同學們，你認識這些世界知名建筑嗎？（出示圖片。）在這里找到我們熟悉的平面圖形了嗎？（生答三角形。）

師：是啊，三角形在我們生活中十分常見，這些建筑中為什么都出現了三角形呢？這僅僅是一個巧合嗎？相信學完這節課之后，同學們一定能明白其中的道理。

二、結合經驗，探究新知

1.操作感知，理解概念。

師：你認為什么樣的圖形是三角形？（生答。）就像同學們說的，每個三角形都有三條邊、三個角和三個頂點。看來同學們對三角形有了初步的了解，能不能根據你對三角形的了解在紙上把它畫出來呢，并介紹一下你是怎么畫出三角形的？

生：我畫了三條線連在一起。

師：是這樣嗎？（給出錯例，端點沒緊連在一起。）

師：誰能講得更清楚一點？是三條怎樣的線，怎樣連的？

生：三條線段首尾相接，就是每條線段的端點依次相連，圍起來。

師：謝謝你，在你的幫助下，老師畫出了一個正確的三角形。現在再來說說什么樣的圖形叫三角形？

生：由三條線段圍成的圖形叫做三角形。

師：誰還有補充嗎？

生：我想補充，必須是每相鄰兩條線段端點相連，才能叫做三角形。

師：你認為三角形的概念中哪個詞語最重要（線段、圍成、相鄰線段端點相連。）

師：跟你的同桌說一說什么叫三角形。指一指下面圖形中哪些是三角形呢？（生判斷。）同學們在畫三角形的時候都是這樣畫的嗎？

生：也可以先點出三個點（不在同一直線上），然后連接。

師：為了更方便，我們可以用大寫字母表示三角形的三個頂點。如果在三角形的三個頂點上分別寫上字母A、B、C，那么這個三角形就是“三角形ABC”，可以寫作△ABC。請在自己畫的三角形中標出三角形的頂點、邊、角。

2.認識三角形的底和高。

師：動物園正在修建大門，你能幫助長頸鹿和小烏龜設計一個三角形的門嗎？長頸鹿的門高在哪？能設計一下小烏龜的門嗎？這扇門的高在哪？

師：你認為這個門的高在哪呢？AB是門的高嗎？

生：不是。AC才是門的高，必須是從A點引出的一條垂線。

師：同學們，像我們剛才這樣，從三角形的一個頂點到它的對邊做一條垂線，頂點和垂足之間的線段就叫做三角形的高，這條對邊叫做三角形的底。

師：現在老師轉動三角形，AC還是它的高嗎？

生：是。不管三角形的位置怎么變，只要是從頂點到對邊的垂直線段，就是三角形的高。

師：同學們，剛才兩位同學所說的三角形的兩條直角邊AD、AE是不是它的高呢？

生：是。我們可以看成從點D向對邊AE引一條垂線，那么垂直線段就是DA，所以AD是三角形的高。

小結：如果三角形的兩邊所夾的是直角時，這兩條邊就是三角形的高。

師：剛才我們已經認識了三角形的高，你會畫嗎？怎樣畫以BC為底的高？（課件出示△ABC。）

生：從A點出發，向BC做一條垂直線段。

師：（去掉AB、AC兩條邊）同學們，這是我們學過的什么知識？

生：這是我們以前學習的從直線外一點向已知直線做垂線。

師：對，那么畫高的時候我們要注意什么呢？

生：要用虛線畫高。

生：要標注直角符號。

生：標好對應的底與高。

師：如果不給對應底，就是畫三角形的高，你還能畫出來嗎？能畫出幾條？同學們試一試，然后和你小組的同學交流一下。（三名學生分別展示以AB、AC、BC為底的高。）

師：現在我把這三名同學的三角形重疊起來，看，你發現了什么？

生：老師，我發現三角形有三條高。

師：為什么呢？

生：因為三角形有三條邊，每條邊都可以作為底。

小結：通過觀察探究，學生發現三角形有三條高，當三角形沒有給出固定底時，三邊都可以作為三角形的底。一個底對應一條高，所以有三條高。

生：我發現三角形的三條高相交于一點。

師：太棒了，這是我們今后要學習到的知識。

師：如果是鈍角三角形呢？也是三條高嗎？

生：也是，只不過有一條高在外部。

（師出示鈍角三角形。）

師：你覺得最后一條高在哪里？

生：我們可以把這條邊延長，然后做一條垂線，高就在這里。

師：因此我們得到結論，任意的三角形都有三條高。

師：你能畫出底為6厘米、高為3厘米的三角形嗎？

（幾名學生展示不同形狀的三角形。）

師：仔細觀察這些同學所畫的三角形，你發現了什么？

生：我發現底和高的長度固定了，但是三角形的形狀未必相同。

三、三角形的特性

師：我們要加固動物園房屋，用哪一種圖形方式更好？

生：三角形。

師：為什么？

生：因為三角形有穩定性。

師：老師帶來了一個三角形，誰到前面拉一拉。三角形為什么這樣穩定呢？到底是什么確定了它的形狀和大小呢？請同學們拿出小棒擺三角形和四邊形。

師：同學們，仔細觀察你發現了什么？

生：擺出來的三角形的形狀大小都一樣。

師：這是為什么呢？請同學們觀察，你們用的小棒有什么特點？

生：用的小棒長度都一樣。

師：你能用這些小棒擺出形狀或者大小不同的三角形嗎？

生：能。

生：不能，都是一樣的形狀，只不過是三角形的方向發生了變化。

師：都是同樣長的小棒，為什么四邊形能擺出這么多種？這是怎么回事呢？

小結：四邊形雖然長度確定了，但是角度發生了變化，使得形狀隨之改變。但是三角形的三條邊長度確定了，這個三角形的大小和形狀也就完全確定了。因此三角形具有穩定性。

師：我手里的四邊形總是搖晃，你能想一個方法讓這個四邊形不搖晃嗎？

生：加上一根木條就行。

師：在哪里加上才好呢？

生：我想把木條加在這里。（生指出平行四邊形的對角線。）

師：你來試一試。

（生到前面演示。）

師：真的不晃了。誰能說說現在為什么不搖晃了？

生：因為變成了兩個三角形了。三角形具有穩定性。

師：生活中哪些地方還用到了三角形的穩定性？

生：籃球架運用的是三角形的穩定性。

生：攝像機的三腳架也應用了三角形的穩定性。

師：同學們真善于觀察和思考，其實三角形的穩定性在生活中的應用非常廣泛。

結語：同學們，現在你們了解設計師的意圖了嗎？相信通過今天的學習，加上你們以后的努力，老師相信在不久的將來你們也一定能夠像這些建筑師一樣，創造出令人嘆為觀止、流傳千古的建筑奇跡。

評析：

三角形的認識是學習平面圖形知識的起點，是研究其他幾何圖形的基礎，在實踐中有著廣泛的應用。本節課是在學生已經直觀認識了三角形和學習了線段、垂線段、角的基礎上進行教學的，是認識三角形的第二階段。本節課的教學主要包括三角形的定義、各部分名稱、畫高等內容。整個教學過程始終圍繞教學目標展開，層次清楚，環節緊湊，并注意引導學生通過觀察、分析、動手實踐、自主探索、合作交流等活動，自主探究知識。

1.畫三角形，深化概念內涵

學生對“圍成”“每相鄰的兩條線段端點相連”等數學化的描述難以體會其內涵。為了引導學生體會三角形是“封閉圖形”，教師設計了畫三角形的活動，使學生產生認知沖突，再通過比較以及對錯例的評析，使學生認識到了三角形必須具備兩個條件：（1）是否具有三條線段;（2）是否圍成封閉的圖形。這樣的教學設計體現的是學生的學習過程，學生在匯報過程中通過畫、標、講、議等活動把原本模糊不清的概念，逐漸清晰化。

2.研究高，突破教學難點

教師把教材中“介紹高”的定義創新設計成研究高的活動。首先通過給小動物設計門的活動引出高的概念。當三角形轉動起來時，學生跳出了認知的誤區，不再受高的位置的影響，用動態的眼光看靜止的知識。這樣不僅深化了學生對三角形高與底的概念建構，突出高的概念的本質特點，還促進了學生對高的知識的內化。在教學畫高時，通過去掉AB、AC兩邊，還原了三角形做高的原點，充分利用了學生原有的認知結構，有機地借助新舊概念之間的密切聯系，予以遷移。最后進一步探討銳角三角形的三條底及其對應的高，并拓展到直角三角形、鈍角三角形的高，讓學生進一步感知平面圖形中高的概念，有效突破了教學難點，讓學生對三角形的高有了比較全面、透徹的認識。

3.圍三角形和四邊形，凸顯特性本質

三角形的穩定性是指當三角形的三條邊的長度確定時，三角形的面積、形狀完全被確定。教師首先讓學生拉動三角形，親身體驗三角形穩定性的表面特性。接下來通過圍一圍的活動探究三角形穩定的內因。在圍的過程中，學生發現，所有的三角形形狀、大小一模一樣，而四邊形形狀各異、大小不一，水到渠成地體會了三角形的穩定性是其結構的穩定。最后應用三角形的穩定性固定四邊形，使學生深刻地體會到數學知識來源于生活、應用于生活的道理。

教師著眼于概念的建構、特性的認識、空間觀念的培養等目標開展教學，有效地幫助學生建構了關于三角形的概念及空間表象。當然本節課也存在不足之處。在課堂上我們可以增加一些生生互動學習。比如，在研究三角形的概念時，可以讓學生通過全班交流提取關鍵詞，進一步感知“圍成”的實際意義。然后通過小組同學之間的交流，由學生逐步概括出三角形的定義，在交流中進一步體會數學概念的簡潔、準確、嚴密，為今后平面圖形的研究打下基礎。

編輯/魏繼軍