注重幾何實驗教學 提升直觀想象素養

劉文生

在普通高中數學新課程中，學生將在高一階段學習立體幾何初步.新課程中的立體幾何初步的學習，必須重視幾何實驗——構建幾何體模型或幾何體框架或幾何體圖形，努力提升學生的直觀想象素養.在實際教學中，我們常見教師不重視幾何體構建和幾何圖形的直觀把握，學生的直觀想象素養得不到必要的提高，其實，人們己關注到學生學習立體幾何的困難所在，依據現代教育發展的需要，新課程己適當降低了幾何推理與證明的要求，更多地強調幾何直觀和空間想象的教學要求.

1 教學現狀與教學缺失分析

現象1掠過直觀感知的內容

在學生的成長過程中，很多學生感知空間幾何體的結構特征、感知空間位置的經驗缺失嚴重.我們一線教師往往忽視這種經驗積累，常常用2課時學習空間幾何體的結構，用2-3課時學習空間幾何體的三視圖和直觀圖，也就是用1周時間完成空間幾何體的初步認識.學習過程中，學生往往沒有機會體驗空間幾何體的存在方式或形成過程，對棱柱、棱錐、棱臺的結構特征缺少直觀感知和整體把握，對圓臺、球的認知只能是粗略了解概念，由于缺少投影的直觀感知，學生難以理解空間幾何體中與投影面不平行也不垂直的棱或面的投影，致使學生難以通過三視圖與直觀圖來整體把握幾何體的結構特征.教師普遍認為簡單又基本的內容，就會趕時間趕進度，從而忽略幾何直觀感的提高，學生的空間觀念得不到應有的發展.

現象2忽略幾何表象的形成

在我們身邊，空間幾何體以及幾何元素之間的位置關系大量存在，教師往往以為學生看得多摸得多感知得多，以為僅靠語言描述就能喚起學生的空間感知.高中教學中，幾乎沒人再關注從長方體盒子抽出長方體框架，也很難見到紙板圍出的各種幾何體或木棒做成的幾何體框架，幾何體的實物模型也常常被多媒體投影所替代，其實，制作或觀察幾何體框架對認識空間幾何體的結構特征、把握空間中點線面之間的位置關系以及提高空間想象能力十分有益，幾何體模型和幾何體框架的缺失，致使學生頭腦內很難形成良好的幾何表象，這樣的教學一定會疏遠學生與立體幾何的情感距離，也必然會影響學生空間想象能力的發展.

現象3簡化操作確認的過程

教學中，旋轉體的形成、臺體的形成、幾何體的切割面、幾何體的投影、幾何體的側面展開圖等都需要實際操作，直線與平面平行、平面與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理也都是通過操作確認獲得的.在實際教學中，為了節省時間加快進度，這些操作確認的過程體驗常常被我們減之又減，這些操作缺失將直接導致直觀感知與直觀想象的困難.由于缺失了直觀感知與直觀想象，學生也就無法構建合理的幾何直觀形象，

現象4輕視繪圖視圖的訓練

立體幾何的學習一直伴隨著視圖、繪圖.新課程要求小學生能初步形成空間觀念，初中學生能初步建立幾何直觀，高中教學要求培養和發展直觀想象能力，高中課程學習中，視圖、繪圖都要講規則，但是我們的教學往往對視圖與繪圖的規則重視不夠.其實，空間幾何體的直觀圖是依照斜二測畫法的規則繪制的，它們能較好的保留平行關系，對垂直關系（除水平線與豎直線外）、空間距離以及空間角等變形較明顯，如果缺失按規則繪圖視圖的訓練，學生將很難對空間位置形成正確的感知，學生必然缺少課程必須的幾何直觀與空間想象能力.

2 教學建議

新課程中，立體幾何初步的學習，學生將經歷從整體到局部、從具體到抽象的認知過程，立體幾何初步的教學要體現課程改革的基本理念，在教學設計中要充分考慮立體幾何的特點、高一學生的心理特點以及不同水平不同興趣的學生的學習要求，教學中要運用多種教學方法和手段，引導學生積極主動地學習，通過4-5周的學習使學生能夠掌握立體幾何的基礎知識、基本技能以及它們所體現的數學思想方法，發展應用意識和創新意識，提高數學素養，形成積極的情感態度.

新課程標準明確指出，立體幾何初步的教學重點是幫助學生逐步形成空間觀念.怎樣的教學才能促使學生形成強大的空間觀念呢？我們認為必須做好三件事.第一件，提供豐富的實物模型和框架模型（包括用計算機軟件呈現的圖形），夯實學生對空間圖形的基本認識，引領學生形成良好的幾何直觀;第二件，充分利用長方體，幫助學生認識空間的點、線、面的位置關系并構建立體幾何的公理、定理體系，逐步提高學生的空間觀念和幾何推理素養;第三件，重視作圖與視圖，立足幾何直觀，逐步提升學生的空間想象能力.

2.1 為學習提供豐富的實物模型

高中新課程的立體幾何教學強調以直觀感知和整體把握為基礎，這種學習要求降低了學習立體幾何的臺階，有利于開展立體幾何入門教學.教學中合理安排學生把玩或制作幾何體的實物模型，有利于喚醒意識中或潛意識中的空間觀念，有利于構建學生的幾何直觀.

在立體幾何初步的教學中，學生應該見識到的實物模型有：長方體、正四棱柱、正六棱柱、直三棱柱、正五棱柱、正三棱錐、正四棱錐、正三棱臺、正四棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球等.其中長方體模型要能拆開或透視，直三棱柱的底面要有多樣性，圓柱、圓錐、圓臺的側面要能展開，木質球要便于觀察截面，等等.

2.2 讓學生動手制作空間幾何體的框架

空間幾何體的框架能有效地將空間幾何體與幾何體的直觀圖連接起來.框架突出了空間幾何體的結構特征和構成要素，認識框架有利于學生直接感知空間幾何體的結構特征，也能有效地引導學生認知空間幾何體中點、線、面的位置關系.

在立體幾何初步的教學中，我們要準備足夠的木棒、鐵絲、橡膠泥等材料，我們可以根據教學直觀的需要適時制作和展示各式各樣的幾何體框架.

2.3依托長方體開展幾何實驗

在學習概念時，以長方體為載體幫助學生認識空間點，線、面的概念，學習線線平行、線線相交、異面直線、面面平行、面面相交、線線垂直、面面垂直等概念，

在學習公理時，通過長方體幫助學生直觀感知、操作確認.

在學習判定定理和性質定理時，先通過長方體幫助學生建立一個直觀、自然的思路.

在解決立體幾何問題時，注重讓學生先找出長方體模型，或優先考慮將問題中的圖形嵌套在長方體中.

2.4加強作圖與視圖訓練

視圖與作圖是立體幾何教學中最基本最基礎的任務.首先要依托幾何實驗讓學生理解三視圖形成規則以及空間幾何體直觀圖的繪制規則，然后，繼續依托幾何實驗幫助學生形成良好的直觀感知，使學生能較快地把握空間幾何體的“長”“寬”“高”以及圖形中關鍵的平行與垂直關系.只有真正理解了視圖規則與作圖規則，學生才能真正理解幾何圖形是如何反映幾何體的結構特征和幾何體中幾何要素之間的位置關系的.

在立體幾何初步的教學中，為了將柱體、錐體、臺體、球體以及簡單組合體畫在紙上從而用平面圖形表示出來，在該章第2節，我們將學習空間幾何體的三視圖和直觀圖.通過認知空間幾何體的三視圖，學生就會進一步認識空間幾何體的長、寬、高以及幾何體中線、面之間的垂直、平行關系.通過學習用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖，學生就能更好的將空間幾何體的結構特征與平面上的幾何圖形聯系起來，從而形成一定的幾何直觀能力.

2.5提供豐富的操作實驗或演示實驗

在立體幾何初步的教學中，我們可以安排豐富的操作實驗：圓柱、圓錐、圓臺、球等旋轉體的形成操作實驗;簡單幾何體以及它們的骨架的中心投影與平行投影的演示實驗;長方體及其展開圖、圓柱圓錐圓臺的側面展開圖的操作實驗;正方體分割出正四面體、三棱柱分割成3個相等體積的三棱錐的操作實驗;認知線面平行、面面平行、線面垂直的判定定理的相關實驗操作，等等.這些操作實驗，可以利用實物進行實驗，也可以適時的運用多媒體技術開展實驗.認真地開展這些操作實驗，有利于學生更好地認識空間幾何體的結構特征，有利于學生更好地理性視圖或更好地理性作圖，有利于學生更好地認識空間幾何體中點、線、面之間的位置關系，從而幫助學生形成較強的直觀想象能力.

3 教學再思考

3.1空間幾何體框架為構建直觀想象提供有力支撐

依照幾何體實物構建的幾何體框架，是我們認識幾何體結構特征的必備模型，也是我們構建幾何體圖形的重要支撐.當我們看幾何體的圖形時，我們必須要能想象幾何體的構成要素、它的結構特征、它的位置、它的大小以及它的變化等.借助圖形認識事物，已是人類認識世界的重要方式，在高中立體幾何初步的學習中，學生要能構建基本的空間圖形（包括柱、錐、臺、球以及簡單的組合體的直觀圖），要能正確認識空間圖形，并能借助空間圖形認識現實世界解決數學問題.在立體幾何初步的學習中學生應重點提升直觀想象素養.

3.2 幾何直觀與空間想象辯證統一

幾何直觀就是通過幾何圖形對事物進行直觀感知和整體把握，實際上就是通過幾何圖形的形象或者表象對事物進行直接觀察得到的感性認識，以及通過幾何學的理性認識并在感性認識的基礎上得到的對事物的整體把握.這里，幾何圖形其實就是我們頭腦內對事物產生的幾何表象的外顯表現形式.在分析解決問題的過程中，往往要通過圖形找感覺，形成幾何直覺，并由直覺引導思考，使思維與圖形、抽象與形象相輔相成.

空間想象就是以現實世界為背景，基于對幾何圖形的運動、變換和位置關系的把握，對事物的幾何表象進行加工、改造，甚至去創造新的空間形象的心理活動.

幾何直觀以幾何圖形為載體，對事物的認識相對形象直觀;空間想象是對幾何表象的再思考，對事物的認識相對抽象，兩者的有機結合使直觀想象這一核心素養集具體和抽象于一體，這不僅升華了其育人價值，也使其具有方法論上的意義.

3.3直觀想象與幾何推理相輔相成

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養.直觀想象主要表現為建立形與數的聯系、利用幾何圖形描述問題、借助幾何直觀理解問題、運用空間想象認識事物.立體幾何中，直觀想象依賴于學生對空間圖形以及對圖形的結構、位置、大小、變化等情形的認識，學習時必須努力夯實對空間圖形的基礎認識和視圖畫圖的基本訓練，并學會利用空間圖形、空間觀念描述問題，進而借助圖形分析解決問題.對空間圖形的把握和利用水平將直接反映直觀想象素養水平.

另一方面，學習立體幾何可以大大發展學生的數學推理素養.立體幾何中，無論是利用概念還是利用公理、定理及重要命題來分析求解問題，我們都得進行幾何推理，這種幾何形式的推理就是由一般到特殊的演繹推理.這種幾何推理不能憑直覺，當然也不是用歸納或類比的方法.

學習立體幾何初步，在空間中探究點線面的位置關系，必須依托幾何圖形（特別是長方體），對幾何圖形的直觀想象是理解問題、領悟思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎，是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，而我們的所思所悟是否正確可靠，就得依賴幾何推理.在立體幾何初步的學習中，直觀想象素養與幾何推理素養是相輔相成的，需共同提升.