函數(shù)性質中的數(shù)學抽象在問題解決與設計中的應用
2022-07-08 00:53:38201299上海市新川中學姚志青
中學數(shù)學雜志 2022年4期
201299 上海市新川中學 姚志青
2017年版《普通高中數(shù)學課程標準》給出了普通高中數(shù)學學科的核心素養(yǎng)要求，包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析六個方面.
數(shù)學發(fā)展所依賴的思想在本質上有三個，即抽象、推理、模型，其中抽象是核心.
數(shù)學抽象作為一種數(shù)學思想滲透在數(shù)學學科的各個知識點之中，筆者對如何在函數(shù)性質中體現(xiàn)數(shù)學抽象以及如何應用數(shù)學抽象進行問題設計展開實踐與研究.
一、 數(shù)學抽象在函數(shù)性質中的體現(xiàn)
函數(shù)是貫穿高中數(shù)學的一條主線，數(shù)學抽象在函數(shù)問題中的應用非常廣泛，以2021年上海高考的數(shù)學壓軸題為例.
原題
如果對于任意的x
,x
∈R
，當x
-x
∈S
時，恒有f
(x
)-f
(x
)∈S
成立，則稱f
(x
)是S
關聯(lián).
(1)判斷并證明f
(x
)=2x
-1是否是[0,+∞)關聯(lián)？是否是[0,1]關聯(lián)？(2)已知f
(x
)是{3}關聯(lián)，且x
∈[0,3)時，f
(x
)=x
-2x
，解不等式2≤f
(x
)≤3.
(3)求證：“f
(x
)是{1}關聯(lián)，且是[0,+∞)關聯(lián)”的充要條件是“f
(x
)是[1,2]關聯(lián)”.
這個問題是一個函數(shù)的定義型問題，它定義了“f
(x
)是集合S
關聯(lián)的概念”，通過函數(shù)性質的應用考查學生的數(shù)學核心素養(yǎng).
函數(shù)性質的應用體現(xiàn)了其源于教材中的形式，需要將函數(shù)的性質在文字語言、符號語言、圖像表述三個方面進行內(nèi)化，以理解函數(shù)性質的本質特征.
這個內(nèi)化的過程可以體現(xiàn)在數(shù)學抽象方面，所謂數(shù)學抽象就是能夠根據(jù)一類數(shù)學對象抽取或歸納出其本質特征的思維過程.
筆者結合上述具體的步驟，分析問題中涉及數(shù)學抽象的三個方面.
小問(1)解：
由f
(x
)=2x
-1，得f
(x
)-f
(x
)=2(x
-x
).
當x
-x
∈[0，+∞)時，f
(x
)-f
(x
)∈[0,+∞)，所以f
(x
)是[0,+∞)關聯(lián)；當x
-x
∈[0,1]時，f
(x
)-f
(x
)∈[0,2]，所以f
(x
)不是[0,1]關聯(lián).
(一)數(shù)學抽象需要類比抽象
由題中f
(x
)-f
(x
)的形式容易類比聯(lián)想到教材中的形式，在函數(shù)單調性中，通過f
(x
)-f
(x
)來作差比較f
(x
)，f
(x
)大小，從而確定f
(x
)的單調性.
解題過程中“由f
(x
)=2x
-1得到f
(x
)-f
(x
)=2(x
-x
)，則當x
-x
∈[0，+∞)時，f
(x
)-f
(x
)∈[0,+∞)”的本質就是“當x
≥x
時，都有f
(x
)≥f
(x
)”，類比聯(lián)想到函數(shù)的單調遞增的性質(非嚴格單調)，所以可以通過類比的方法抽象得到f
(x
),f
(x
)的性質.
類比抽象就是通過類比的方法抽象出數(shù)學對象的形式或性質，它包括兩個方面，一個是類比，一個是抽象.
類比本身是非常重要的數(shù)學思想方法，數(shù)學中的類比是基于對兩類數(shù)學對象的共性比較得出它們可能具有的其他形式或者性質的方法.
小問(2)解：
f
(x
)是{3}關聯(lián)，所以當x
-x
=3時，恒有f
(x
)-f
(x
)=3成立.
由f
(x
)-f
(x
)=x
-x
，得f
(x
)-x
=f
(x
)-x
，令F
(x
)=f
(x
)-x
，有F
(x
)=F
(x
)，得到F
(x
+3)=F
(x
)，即對任意x
∈R
，都有F
(x
+3)=F
(x
).
故F
(x
)是一個周期為3的函數(shù)，且x
∈[0,3)時，F
(x
)=x
-3x.
由2≤f
(x
)≤3，得2≤F
(x
)+x
≤3，2-x
≤F
(x
)≤3-x.
作出F
(x
)=x
-3x
，g
(x
)=2-x
，h
(x
)=3-x
的圖像，如圖1，滿足不等式g
(x
)≤F
(x
)≤h
(x
)的圖像表示為F
(x
)在g
(x
),h
(x
)之間的圖像，所以為點A
和點B
之間的曲線段，由得由圖像平移得x
∈[3,6)時，F
(x
)=(x
-3)(x
-6)，由得x
=5.
綜上，不等式2≤f
(x
)≤3的解集為
圖1
(二)數(shù)學抽象需要表征抽象
表征抽象就是以數(shù)學對象的呈現(xiàn)特征抽象構建出其形象化的特征結構.
譬如由f
(x
)-x
=f
(x
)-x
的呈現(xiàn)特征，令F
(x
)=f
(x
)-x
，為使f
(x
)-x
的性質表征更加明顯，需要抽象構建出函數(shù).
解不等式2-x
≤F
(x
)≤3-x
的過程中，代數(shù)方法解決不等式問題比較復雜，利用數(shù)形結合的思想，可以用幾何圖像解決不等式問題，作出F
(x
)=x
-3x
，g
(x
)=2-x
，h
(x
)=3-x
的圖像滿足F
(x
)在g
(x
)，h
(x
)之間的部分.
對于表征抽象而言，關鍵在于結構特征的研究和歸納表述.
對于同一個問題，表征抽象的觀察點不同，抽象得到的性質特征也會不同，譬如上述“當x
-x
=3時，恒有f
(x
)-f
(x
)=3成立”還可以抽象到“對任意的實數(shù)x
∈R
，恒有f
(x
+3)=f
(x
)+3成立”.
小問(3)解：
必要性：
已知f
(x
)是{1}關聯(lián)，且是[0,+∞)關聯(lián)，由f
(x
)是{1}關聯(lián)知f
(x
+1)-f
(x
)=1，即f
(x
+1)=f
(x
)+1，由f
(x
)是[0,+∞)關聯(lián),可知對任意x
-x
≥0，都有f
(x
)-f
(x
)≥0，即x
≥x
時，都有f
(x
)≥f
(x
)，所以，當x
-x
≥1時,x
≥x
+1,f
(x
)≥f
(x
+1),則有f
(x
)≥f
(x
)+1，f
(x
)-f
(x
)≥1.
當x
-x
≤2時，x
≤x
+2，有f
(x
)≤f
(x
+2)，則f
(x
)≤f
(x
+1)+1=f
(x
)+2，f
(x
)-f
(x
)≤2.
因此，當x
-x
∈[1,2]時，都有f
(x
)-f
(x
)∈[1,2]，即f
(x
)是[1,2]關聯(lián).
充分性：
已知f
(x
)是[1,2]關聯(lián),故對任意的x
-x
∈[1,2]都有f
(x
)-f
(x
)∈[1,2]，則有故由f
(x
+1)-f
(x
)=1，得f
(x
)是{1}關聯(lián)，即f
(x
+1)=f
(x
)+1，故對任意的n
∈N
，都有f
(x
+n
)=f
(x
+n
-1)+1=f
(x
+n
-2)+2=…=f
(x
)+n
，f
(x
+n
)-f
(x
)=n
，所以f
(x
)是{n
}關聯(lián)(n
∈N
)，對任意的x
-x
∈[0,+∞)，必存在k
∈N
使得x
-x
∈[k
,k
+1]，所以，任意x
-x
-k
+1∈[1,2]時，即x
+1-(x
+k
)∈[1,2]時，恒有f
(x
+1)-f
(x
+k
)∈[1,2]成立，f
(x
+1)-f
(x
+k
)=f
(x
)+1-f
(x
)-k
∈[1,2]，則f
(x
)-f
(x
)∈[k
,k
+1]，則f
(x
)-f
(x
)∈[0,+∞)，所以，f
(x
)是[0,+∞)關聯(lián).
(三)數(shù)學抽象需要強、弱抽象
上述解題過程中將“f
(x
)是{1}關聯(lián)推出對任意的x
-x
=1，都有f
(x
)-f
(x
)=1”理解為當自變量相差1的時候都有相應的函數(shù)值也相差1，這樣的表述雖然弱化了對于定義描述的嚴謹性，但便于記憶表述.
在應用過程中，又可以進一步加強為“對于任意的實數(shù)x
，都有f
(x
+1)-f
(x
)=1”，這樣的描述是嚴謹?shù)模冶阌诶斫獗硎?p>.在概念教學中，數(shù)學抽象需要體現(xiàn)出不拘于形式的內(nèi)化理解，這個內(nèi)化理解根據(jù)實際情況的需要可以對研究對象進行弱化或強化的表述，也就是強抽象和弱抽象.
滬教版新教材中關于增函數(shù)的定義為：“對于定義在D
上的函數(shù)y
=f
(x
)，設區(qū)間I
是D
的一個子集，對于區(qū)間I
上的任意給定的兩個自變量的值x
,x
，當x
<x
時，如果總有f
(x
)≤f
(x
)，就稱f
(x
)在區(qū)間I
上是增函數(shù)，特別地，如果總有f
(x
)<f
(x
)，就稱f
(x
)在區(qū)間I
上是嚴格增函數(shù).
”用弱抽象可以將上述定義表述為“函數(shù)值隨著自變量增大而增大的函數(shù)稱為嚴格增函數(shù)”，用弱抽象可以將上述圖形特征抽象為“圖像從左下方升至右上方的函數(shù)圖像稱為嚴格增函數(shù)圖像”.
弱抽象即從原型中選取某一特征加以抽象，使原型內(nèi)涵減少，結構變?nèi)酰瑥臄?shù)學對象的眾多屬性或特征中辨認出其特征屬性.
用強抽象可以將上述定義抽象為“對任意的x
∈I
，使任意的ε
>0都有f
(x
+ε
)>f
(x
)成立，則稱函數(shù)f
(x
)在區(qū)間I
上為嚴格增函數(shù)”.
用強抽象可以將上述圖形特征抽象為“函數(shù)f
(x
)圖像上的任意兩個不同的點，都有右邊的點高于左邊的點，則函數(shù)f
(x
)圖像為嚴格增函數(shù)圖像”.
強抽象即通過在原型中引入新特征，使原型內(nèi)涵增加，結構變強，從數(shù)學對象的關鍵屬性或特征中強化其特征屬性.
二、 應用數(shù)學抽象進行問題設計
從顯性來看，數(shù)學抽象是學生在觀察、思考、表達三個方面的能力，通過數(shù)學抽象進行問題設計是幫助學生實現(xiàn)問題解決和提升數(shù)學抽象能力的有效途徑.
在高三函數(shù)性質的復習課中，根據(jù)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求，筆者對如何通過數(shù)學抽象進行問題設計展開教學實踐的研究和分析(如圖2所示).
圖2
問題設計1
對于任意的x
,x
∈R
，當x
-x
∈S
時，恒有f
(x
)-f
(x
)∈S
成立，則稱f
(x
)是S
關聯(lián).
求證:如果f
(x
)是{1}關聯(lián)，那么f
(x
)是{2}關聯(lián).
解題反饋1
學生解題情況統(tǒng)計結果顯示，參加解題的十位學生都不能給出完整的證明過程，但是證明過程中的第一步基本都能表述出來，即寫到如下證明步驟后證明思路就戛然而止.
解：
由f
(x
)是{1}關聯(lián)，則對任意的x
,x
∈R
，當x
-x
=1時，都有f
(x
)-f
(x
)=1.
解題難點分析：
由“對任意的x
,x
∈R
，當x
-x
=1時，都有f
(x
)-f
(x
)=1”推理得到“對任意的x
,x
∈R
，當x
-x
=2時，都有f
(x
)-f
(x
)=2”的邏輯關系缺乏直觀想象，而且推出關系的表述存在較大困難.
在教材中，經(jīng)常用一個變量x
的特征形式來表示函數(shù)f
(x
)的性質，學生對于理解x
-x
=1中兩個變量x
,x
之間的關系存在一定的困難.
難點突破策略：
通過數(shù)學抽象，在保持函數(shù)性質不變的前提下，可以將問題抽象轉化為熟悉的形式.
譬如，將“對任意的x
-x
=1，都有f
(x
)-f
(x
)=1”進行適當?shù)膹姟⑷醭橄?p>.通過弱抽象表述為“當自變量增大1個單位時，函數(shù)值增大1個單位”，通過強抽象表述為“對任意的x
∈R
,都有f
(x
+1)-f
(x
)=1”.
通過數(shù)學抽象之后，將問題進行再設計.
問題設計2
對于任意的x
,x
∈R
，當x
-x
∈S
時，恒有f
(x
)-f
(x
)∈S
成立，則稱f
(x
)是S
關聯(lián).
(1)求證：如果f
(x
)是{1}關聯(lián)，那么對任意的x
∈R
，都有f
(x
+1)-f
(x
)=1.
(2)求證：如果f
(x
)是{1}關聯(lián)，那么f
(x
)是{2}關聯(lián).
解題反饋2
學生解題情況統(tǒng)計結果顯示，參加解題的十位學生都能完成小問(1)的證明，完成小問(2)證明的學生只有五位.
對比問題設計1中的解題情況反饋，通過數(shù)學抽象得到“任意的x
∈R
，都有f
(x
+1)-f
(x
)=1”的形式后，學生可以明顯體會到數(shù)學抽象的思想和方法，由表征抽象將“f
(x
),f
(x
)的關系”抽象到“f
(x
+1),f
(x
)的關系”.
對于小問(2)，有五位學生能夠獨立應用表征抽象將“f
(x
),f
(x
)的關系”抽象到“f
(x
+2),f
(x
)的關系”后得到f
(x
)是{2}的關聯(lián)，這五位學生在這個問題中表現(xiàn)出已經(jīng)逐步達到了應用數(shù)學抽象解決問題的素養(yǎng)要求.
完成全部證明過程學生的解題過程歸納如下.
小問(1)解：
由f
(x
)是{1}關聯(lián)，則對任意的x
,x
∈R
，當x
-x
=1時，都有f
(x
)-f
(x
)=1.
由x
-x
=1，得x
=x
+1，代入f
(x
)-f
(x
)=1得f
(x
+1)-f
(x
)=1，故f
(x
+1)=f
(x
)+1，即f
(x
+1)-f
(x
)=1.
小問(2)解：
由小問(1)得對任意的x
∈R
,都有f
(x
+1)-f
(x
)=1，同理f
(x
+2)-f
(x
+1)=1，上述兩式相加得f
(x
+2)-f
(x
)=2，即f
(x
)是{2}關聯(lián).
解題難點分析：
小問(2)中，“f
(x
)是{2}關聯(lián)”的充要條件為“對任意的x
,x
∈R
，當x
-x
=2時，都有f
(x
)-f
(x
)=2”，需要繼續(xù)通過數(shù)學抽象表述為“對任意的x
∈R
，都有f
(x
+2)-f
(x
)=2”，數(shù)學抽象是邏輯推理和表述過程的前提.
難點突破策略：
通過數(shù)學抽象的表征抽象將“f
(x
)是{2}關聯(lián)”抽象為“f
(x
+2)-f
(x
)=2”.
問題設計3
對于任意的x
,x
∈R
，當x
-x
∈S
時，恒有f
(x
)-f
(x
)∈S
成立，則稱f
(x
)是S
關聯(lián).
(1)求證：如果f
(x
)是{1}關聯(lián)，那么對任意的x
∈R
，都有f
(x
+1)-f
(x
)=1.
(2)如果任意的x
∈R
，都有f
(x
+1)-f
(x
)=1，求證：f
(x
+2)-f
(x
)=2.
(3)求證：如果f
(x
)是{1}關聯(lián)，那么f
(x
)是N
關聯(lián).
解題反饋3
問題設計3中的小問(2)是主要針對在問題設計2中沒能完成解答的五位學生進行的教學對比實驗，其主要變化是將原先的條件“f
(x
)是{2}關聯(lián)”替換為“f
(x
+2)-f
(x
)=2”.
統(tǒng)計結果顯示這五位學生對小問(2)都給出了正確的證明，還有學生對小問(3)進行了嘗試證明.
對小問(3)的解題過程歸納如下.
小問(3)解：
由f
(x
)是{1}關聯(lián)，可知對任意的x
∈R
，都有f
(x
+1)-f
(x
)=1，f
(x
+1)=f
(x
)+1，所以對n
∈N
，有f
(x
+n
)=f
(x
+n
-1)+1=f
(x
+n
-2)+2=…=f
(x
)+n
，即f
(x
+n
)-f
(x
)=n
，所以f
(x
)是N
關聯(lián).
解題難點分析：
小問(3)的問題設計是由“f
(x
)是{1}關聯(lián)”的特征類比抽象到“f
(x
)是{2}關聯(lián)”，進而由特殊到一般的思想，繼續(xù)通過類比抽象得到問題“f
(x
)是N
關聯(lián)”.
由問題中的數(shù)字運算拓展到字母運算，其難點在于邏輯關系的導出與描述.
難點突破策略：
通過由“f
(x
)是{1}關聯(lián)”推理出“f
(x
)是{2}關聯(lián)”的邏輯關系，不難得出“f
(x
)是{3}關聯(lián)，{4}關聯(lián)……”類比這樣的遞推關系，可以聯(lián)系到數(shù)列中的遞推關系，因此可以通過類比抽象的思想，應用數(shù)列中遞推關系的表述方法來證明f
(x
)是N
關聯(lián).
在函數(shù)的性質中，函數(shù)的奇偶性、單調性、周期性等性質都可以嘗試通過數(shù)學抽象達到理解內(nèi)化的過程.
以函數(shù)的奇偶性為例，關于偶函數(shù)定義中“對于任意的x
∈D
，都有f
(-x
)=f
(x
)”的理解，通過弱抽象可以表述為“定義域內(nèi)的任意兩個互為相反數(shù)的自變量，它們對應的函數(shù)值相等”，通過強抽象可以表述為“對于任意的x
,x
∈D
，當x
+x
=0時，都有f
(x
)=f
(x
)”，這種抽象到x
,x
來定義的形式，可以與函數(shù)單調性的定義形式統(tǒng)一起來.
用相同的x
,x
來定義不同的函數(shù)性質可以幫助學生體會這些性質的共性以及本質特征，啟發(fā)學生的抽象思維.
函數(shù)的性質本質上是由自變量和因變量的變化特征所體現(xiàn)出來，所以在表征抽象之后可以通過弱抽象幫助學生理解函數(shù)的本質，通過強抽象幫助學生用不同方式嚴謹而準確地表述函數(shù)性質.
學生對于學習內(nèi)容掌握的關鍵在于能夠將所要研究的數(shù)學對象抽象到能夠理解內(nèi)化的文字語言、符號語言和圖像語言.
關于數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模，史寧中教授給出這樣的理解：通過抽象，在現(xiàn)實生活中得到數(shù)學的概念和運算法則，通過推理得到數(shù)學的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學與外部世界的聯(lián)系.
可以看出，無論是由現(xiàn)實生活到數(shù)學概念的抽象，還是在數(shù)學問題解決過程中的數(shù)學抽象思維，都體現(xiàn)了數(shù)學抽象作為數(shù)學素養(yǎng)的核心價值.
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