“二次函數回歸模型
——拋球入籃問題”的數學建模單元教學設計*

210003 南京師范大學附屬中學 管慧慧

一、 內容與內容解析

內容：

建立生活情境中的二次函數回歸模型——對“拋球入籃問題”的建模研究

.

內容解析：

二次函數回歸模型是回歸模型概念的一個下位概念，是與線性回歸模型同級的概念，因此教學過程中要充分應用類比和化歸的研究方法

.

從整體教學的理念出發進行單元式設計，落實新課標提出的跳出課時，更為整體地規劃學生核心素養的發展

.

教師對教材中具有內在關聯性的內容進行分析、重組、整合，形成相對完整的單元，以優化教學效果，為學生深度學習創造機會

.

本單元內容基礎來源于三個方面

.

蘇教版數學教材中，必修3介紹了兩個變量間的線性相關關系，包括畫散點圖、最小二乘思想、用最小二乘法求回歸直線方程等內容；選修2-3介紹了回歸分析的基本思想和方法；選修2-1介紹了利用導數求一元函數最值的方法

.

在此基礎上，學生在本單元進一步學習二次函數(非線性)回歸模型的建立方法

.

學生將以自主實驗“根據拋球軌跡上的數據點預測拋球能否入籃”為載體，運用最小二乘思想，探尋二次函數回歸模型的數學表達式，并領會統計思想的應用價值，學習如何正確解讀模型的預測結果

.

學生將經歷數據收集和數學建模的全過程，豐富發現、提出、分析和解決問題的體驗，為將來開展其他主題的數學建模活動積累經驗

.

在推導拋球軌跡回歸方程的過程中，突出數形結合、類比、函數與方程、化歸等思想，有利于學生進一步感悟數學思維的魅力和數學方法的靈活，提升數學應用意識和實踐能力

.

因此，本單元的教學重點是通過體驗實際拋球問題的研究過程，學生理解二次函數回歸模型的基本思想和數學建模思想，發展在生活中發現、提出、分析和解決問題的能力

.

二、 目標和目標解析

(1)結合真實體驗，實地測量數據，體會模型的現實含義，積累數學活動經驗，形成合作探究精神和觀察世界的數學眼光

.

(2)建立適當的平面直角坐標系，根據位置點坐標，探求拋球軌跡的二次函數回歸方程的建立方法，即根據最小二乘思想,建立位置點橫縱坐標間的二次函數最佳擬合關系式

.

體會數學抽象和數形結合思想的重要性，學習用數學語言表達真實問題

.

(3)通過固定變量法，將尋找“二次函數回歸方程系數的估計值”轉化成“含參二次函數求最小值問題”，類比一元函數求最值的方法求多元函數最值，得到二次函數回歸方程，體會化歸思想和類比思想

.

(4)通過殘差圖及與實際拋球結果對比，判斷模型的預測效果，理解統計思想的應用和數學結論回歸現實的必要性，體會數學源于生活又服務于生活，鍛煉用數學思維思考世界

.

三、 教學問題診斷分析

(1)學生已熟練掌握了待定系數法求二次函數的解析式，對生活中的拋球活動十分熟悉，但數據測量是難點，考驗數學應用能力和工具的巧妙運用

.

(2)實際問題的數學化過程挑戰較大

.

學生需要理解線性回歸模型中的最小二乘思想，才能構建評價函數辨識未知量與已知量，才能將“求拋球軌跡的二次函數回歸方程

y

=

ax

+

bx

+

c

系數的最佳估計值”轉化成“求使評價函數取得最小值時的

a

,

b

,

c

的值”

.

(3)模型求解環節中，學生需要類比一元函數求導思想，可能需要教師提示，且計算量較大，需要Excel操作的自學能力

.

本單元教學難點是數據的收集，以及用最小二乘法求一元二次函數回歸方程的基本思想

.

四、 教學支持條件分析

學生借助攝像機、卷尺、長尺、三角板、網球、建筑外墻等完成拋球實驗，記錄相關數據，通過剪輯軟件、GeoGebra等對視頻和圖片進行后期處理，運用Excel輔助求解.學生已有的線性回歸知識和一元函數求導知識為本節課的教學提供了保證.

五、 教學過程設計

本單元分兩個課時進行(如圖1所示)

.

課時1：

預測模型類型并討論合理性

.

小組合作實地拋球，視頻記錄并實地測量

.

課后對圖片和視頻做后期處理，形成“根據拋球軌跡上的數據點預測拋球能否入籃”的材料包，包含該次拋球“不完整”視頻、“完整”視頻和軌跡的位置點數據

.

課時2：

抽取一組材料包中的拋球“不完整”視頻和軌跡的位置點數據，學生通過建立二次函數回歸方程，預測該次拋球是否入籃，解決問題后回歸現實檢驗預測結果，并結合統計思想反思模型的應用與改進

.

課時1 實際問題的數學模型抽象、數據收集

(一)形成模型假設，確定研究目標

問題1

做拋球實驗時，球運動的軌跡是什么，怎么刻畫？

預設答案：

根據物理知識，不計阻力的情況下，拋球運動的軌跡是一條拋物線，可用一元二次函數刻畫

.

問題2

實際拋球過程中，影響拋球軌跡的因素有哪些？

預設答案：

出手速度、角度；考慮到拋球距離不大，阻力、測量誤差等實際存在，且不可忽略

.

追問1

這些因素中哪些是確定拋球軌跡所必須測量的？其他因素該怎樣處理？

預設答案：

方法不同，測量的量也不同

.

坐標法需要測量球的一般位置坐標，或與

x

軸的交點坐標，或頂點坐標；參數法需要測量出手速度和角度

.

摩擦力、風速等外力影響存在但難以測量，實驗中應盡量控制，使這些因素影響盡量小

.

設計意圖：

通過對函數圖像或軌跡類型和影響因素的探討，感知模型要素和適用條件，經歷模型準備環節(模型假設和變量確定)

.

追問2

如果需要自己測量數據，確定拋球軌跡，你會怎樣設計測量方案，為什么？

預設答案：

可設計比較精準的坐標測量體系，建立平面直角坐標系確定球的位置坐標，或用軟件處理圖片，輔助確定球運動時的位置坐標

.

測量出手速度和角度需要特殊工具，課堂實地測量較難實現

.

追問3

如何判斷球是否入籃，你會給出怎樣的判斷標準，為什么？

預設答案：

對“入籃”進行定義

.

根據籃球投籃體驗，常見的入籃有“空心入籃”和“打板后入籃”，其中“打板后入籃”本質為在籃筐后立板的輔助作用下的入籃，拋球軌跡其實已發生改變

.

因此本實驗中將“入籃”定義為“空心入籃”，即拋球軌跡在入籃瞬間并未改變，球入籃筐內，且與邊緣無接觸

.

圖1 “二次函數回歸模型——拋球入籃問題”的單元教學設計圖

對于“籃筐”的選取，根據所拋“球”的差異，選用不同“籃筐”

.

“籃球”小組選用標準籃筐；“高爾夫球”“網球”等小組，根據課堂實際取材的便利性，用“橫截面為圓形，半徑比所拋球半徑略大的筒狀物(如紙筒、塑料環等)”替代“籃筐”

.

提出假設條件

.

因實際“拋球入籃”為空間問題，為方便測量，近似地認為(盡量控制)拋球軌跡與籃筐中心點在同一平面內，僅測量水平距離和豎直高度即可確定入籃位置

.

具體如下

.

對于“高爾夫球”“網球”等小組，拋球前，將籃筐緊貼墻面(籃筐橫截面與墻面垂直)放置并固定

.

拋球時，實驗者將球貼近豎直墻面拋出，因實際實驗中拋球軌跡平面與墻面距離

d

比球的半徑

r

略小，籃筐半徑

r

比球的半徑

r

大一點，考慮邊緣厚度

d

后，認為球的質心到墻面距離與籃筐(橫截面)中心到墻面距離近似相等，即

r

+

d

≈

r

+

d

，假設條件成立(如圖2所示)

.

對于“籃球”小組，拋球時盡量保持球的質心與籃筐(上橫截面)中心在同一垂直于地面的平面內

.

圖2 球與籃筐相對位置俯視示意圖

圖3 入籃俯視示意圖

提出入籃范圍的確定方法

.

測量籃筐邊緣厚度

d

，球的半徑

r

，籃筐半徑

r

(如圖3所示)，水平距離、豎直高度等，根據本組拋球測量方案確定具體入籃坐標范圍

.

設計意圖：

探討方法的差異，統一課堂實驗中的數據獲取方法，便于學生參與，也利于課后自主調整方案

.

(二)小組合作實驗，收集樣本數據

考慮到方案各異，且工序較復雜，拋球過程短，抓拍困難，成功實驗的挑戰很大，實驗以五人一組進行

.

學生做五組拋球體驗，小組討論后細化方案

.

教師出示以下單元挑戰任務

.

選擇本組認為最可行的方法，確定細致的測量和實施方案，完成一次拋球并以視頻記錄，課后剪輯該次拋球的“不完整”視頻，標注“確定拋球軌跡函數”的必要數據，給其他組同學出題：根據“不完整”視頻和數據，預測“球是否入籃”

.

解答完成后，出示該次拋球的“完整”視頻，共同分析預測結果及其原因

.

設計意圖：

學生需結合求二次函數的解析式所需的條件，綜合思考實驗方案，確保出題有效性

.

看似“出題”，實則“被考”

.

問題3

闡釋本組實驗和數據收集方案及確定該方案的原因

.

預設答案：

關于球的選取，考慮到獲取的難易、質心的確定、追蹤的難易、摩擦力等外力控制，各組經過多次實驗對比，認為質量較大、外形較小的球體對于確定球的運動軌跡更合適

.

多數組選擇高爾夫球或網球，也有組愿意用籃球嘗試，通過放大拋球距離，相對縮小測量誤差

.

關于拋球方案，各組選擇的二次函數模型集中在一般式

y

=

ax

+

bx

+

c

(

a

,

b

,

c

為參數)，以及頂點式

y

=

a

(

x

-

h

)+

k

(

a

,

h

,

k

為參數)，

x

為水平距離(或相對水平距離)，

y

為豎直高度(或相對縱向距離)

.

具體方案因數據點的位置和個數各異，大致分為以下三類

.

方案1

(頂點式模型

y

=

a

(

x

-

h

)+

k

)：出手點和籃筐在同一高度，拋球并記錄過程，視頻抓取球的最高點位置坐標

.

方案2

(一般式模型

y

=

ax

+

bx

+

c

)：自制坐標網格，直接追蹤拋球軌跡的位置點坐標(如圖4所示)

.

圖4 方案2示例

方案3

(一般式模型

y

=

ax

+

bx

+

c

)：通過后期圖片處理或追蹤軟件確定拋球軌跡的位置點坐標(如圖5所示)

.

圖5 方案3示例

追問

對比這三種方案，最具代表性(可涵蓋其他方案知識點)的方案是哪個？

預設答案：

方案1僅適于特殊情境的投籃問題，最高點位置難捕捉

.

方案2可收集到一般位置點的坐標，涵蓋方案1知識點，難點在于如何制作合適的坐標體系并精確測量坐標

.

方案3思想與方案2相似，難點在于后期編輯軟件和數學軟件的使用

.

方案2、方案3更具代表性

.

學生建立坐標系收集數據.一組學生嘗試記錄拋球方案并根據建筑外墻輔助測量坐標和誤差(如圖6所示)，一組學生用Photoshop合成完整拋球路徑、用GeoGebra軟件對坐標進行精確定位(如圖7所示)

.

圖6

圖7

設計意圖：

積累現實體驗，感受數據測量的難度和“模型是對現實問題的近似描述”的含義，為理解數學建模思想以及樣本與總體、隨機誤差、回歸方程等統計概念打下基礎

.

課時2 數學模型的建立、求解、應用與反思

(三)實際問題“數學化”——建立回歸方程

多數小組選擇了方案2或方案3，本節課選擇一組學生的測量數據為例繼續研究

.

問題4

根據位置點坐標，如何確定“最能代表拋球軌跡”的二次函數？

預設答案：

選取測量較精準的三個點坐標，代入二次函數一般式

y

=

ax

+

bx

+

c.

學生充分嘗試后產生困惑

.

測量誤差已控制到最小，為什么代入不同的三點坐標，得到的系數值差別很大?

追問1

為什么同組學生運用相同坐標系，選擇同一次拋球軌跡上的不同三點，求得的二次函數表達式卻不相同？

預設答案：

測量的是樣本位置點，因為存在誤差，這些點并不會完全落在所假設的拋物線上，而是落在那條曲線附近，所以用待定系數法求出的二次函數表達式不同

.

追問2

產生誤差的原因有哪些？

預設答案：

誤差是隨機的，產生的原因較為復雜，可能有以下原因

.

(1)測量誤差

.

(2)圖像的保真誤差

.

(3)真實環境中的多種影響因素，如風阻、摩擦力、實驗時用質點近似球體等，選用二次函數模型近似還原拋球軌跡，本身也存在誤差

.

追問3

有了這些認識，怎樣確定“最能代表拋球軌跡”的二次函數？

預設答案：

根據回歸分析知識，只能用二次函數回歸方程來近似表達拋球軌跡方程

.

所以不能僅取三點，而是要多取一些數據點，尋找“離這些點都近的那條拋物線”的二次函數方程

.

設計意圖：

學生體會到回歸模型的相關關系與函數模型的確定性關系有區別，隨機誤差客觀存在

.

問題5

怎樣用數學語言刻畫“離這些點都近的拋物線”？

預設答案：

類比線性回歸模型刻畫“離所有點都近”的方法，就是求“使縱向距離(殘差)平方和最小”的二次函數的系數值，也即是求使取得最小值時的

a

,

b

,

c

的值

.

追問1

不妨將建立的這個新函數稱為評價函數，評價函數的自變量是什么？

預設答案：

點的位置坐標(

x

,

y

)為已知量，

a

,

b

,

c

為未知量，評價函數是以

a

,

b

,

c

為自變量的三元二次函數，因而可以記為

追問2

如何用評價函數刻畫拋球軌跡？

預設答案：

求拋球軌跡的二次函數回歸方程=

ax

+

bx

+

c

系數的最佳估計值，即求“使評價函數取得最小值時的

a

,

b

,

c

的值”

.

設計意圖：

“模型抽象”以實現描述性語言的數學化，從實際情境進入數學世界，深入理解最小二乘思想

.

(四)模型求解——求回歸方程

問題6

探究評價函數何時取得最小值

.

預設答案：

f

(

a

,

b

,

c

)是以

a

,

b

,

c

為自變量的三元二次函數，整理形式后，則有如果評價函數是一元函數，可利用導數求得函數的最小值

.

但評價函數是三元(變量)函數，且從結構上預判，直接展開求解計算量太大

.

追問1

(教師可提示性提問) 如果將其中一元(如

a

)看作自變量，固定其余兩個量(如

b

，

c

)，即將

b

，

c

看作參數，類比一元函數求導方法，我們可以得到怎樣的表達式？(視需要，教師也可引入偏導數的概念)

預設答案：

(1)將

a

視作唯一變量，有當時，

f

(

a

)取得最小值

.

(2)將

b

視作唯一變量，有當時，

g

(

b

)取得最小值

.

(3)將

c

視作唯一變量，則有當時，

h

(

c

)取得最小值

.

整理后得到一個關于

a

,

b

,

c

的方程組：

追問2

現有一組同學的六個觀察數據點(20，8)，(90，60)，(120，68)，(150，65)，(170，60)，(180，55)，怎樣求“使評價函數取得最小值的

a

,

b

,

c

的值”？

預設答案：

根據該組數據，

n

=6，得方程組

代入數據，因數值較大，用Excel輔助計算，整理得

用Excel的函數功能求解此方程組，得二次函數的回歸方程=-0

.

00501

x

+1

.

295932

x

-15

.

9086

.

設計意圖：

體會化歸思想，通過固定變量法解決多元二次函數求最值的難點，實現“模型求解”

.

(五) 模型的應用與檢測——預測“拋球是否入籃”

問題7

怎樣用所得函數預測“拋球是否入籃”？

預設答案：

讀取該組同學提供的數據包

.

選用了高爾夫球，球半徑

r

=2

.

2cm，籃筐設定在縱坐標為0處，籃筐內半徑

r

=3

.

8cm, 籃筐邊緣厚度

d

=1

.

2cm，得到“入籃”位置點的橫坐標范圍區間(243.4cm,246.6cm),數值落在區間內可判定“投中”

.

根據回歸方程=-0

.

00501

x

+1

.

295932

x

-15

.

9086=0，解得“入籃”位置點的橫坐標為245

.

748cm，在預定區間,可判定本次拋球“入籃”

.

設計意圖：

思考如何運用模型進行實際預測，并體驗數學結論如何“回譯”到生活中

.

問題8

模型合理嗎？怎樣檢測？

預設答案：

(1)計算殘差，繪制殘差圖，觀察殘差圖發現本次預測合理(如圖8所示)

.

圖8

(2)觀察投球的實際結果，對比該次拋球的“完整”視頻，同樣發現預測正確

.

設計意圖：

通過統計結果分析和現實結果對照，經歷“模型檢測”，關注思維的嚴謹性

.

(六)模型的反思與統計分析

問題9

如果同一次拋球還觀察到第7組位置數據，這組數據一定滿足所得二次函數回歸方程=-0

.

00501

x

+1

.

295932

x

-15

.

9086嗎？

預設答案：

不一定

.

設計意圖：

再次反思回歸模型與函數模型的區別

.

問題10

怎樣選取數據點有利于得到合理的二次函數回歸方程？

預設答案：

(1)考慮到統計取樣的有效預測范圍，數據點越接近籃筐位置越利于減少模型“外推”預測時的誤差

.

(2)盡量分散選取到不同位置的數據點

.

(3)數據點越多，求解時的計算量越大，適量選取代表性數據點即可

.

追問

用Excel對這六組數據直接進行二次函數擬合，能得到怎樣的回歸方程？

預設答案：

操作后發現，與以上所得回歸方程一致(選擇合適的近似數位，如圖9所示)

.

圖9 Excel對六組數據的擬合結果

設計意圖：

引發學生思考數據的選擇方式與模型預測效果優劣的可能關聯，同時關注到運用軟件進行二次函數擬合時，所得計算結果背后的數學原理

.

問題11

有同學發現，如果用三次函數擬合給定數據點，

r

值更高，怎樣看待這個現象？

預設答案：

判斷擬合效果時，除了考察統計指標值，更應該結合模型機理進行分析，不能憑借單一的統計量下結論

.

根據物理知識和公式推演，拋球軌跡近似符合一元二次函數，不能僅通過

r

值高低簡單推翻模型假設

.

設計意圖：

解決疑惑點，認識模型機理分析與統計分析結合的重要性，不能機械地理解統計指標

.

六、 總結提升

問題12

請從知識內容、思想方法等方面說說本單元的學習收獲

.

預設答案：

對于這一開放式問題，可著重總結以下幾點

.

1

.

數據測量和數學建模的過程

.

2．最小二乘思想求二次函數回歸方程的方法

.

3

.

模型效果的檢測

.

4

.

模型結果在實際情境中的解讀、統計思想的應用等

.

設計意圖：

回顧數學建模的一般過程，在實踐中落實數學核心素養

.

問題13

如果時間充裕，研究“拋球入籃”問題時，你還會嘗試怎樣的不同方案？

預設答案：

可嘗試不同的模型類型和收集數據的方式，如測量出手角度和初始速度，建立二次函數的參數式模型

.

設計意圖：

讓學生體會方法的可遷移性，探索同一問題的不同研究角度，同時意識到建模不是一次性的學習過程

.

問題14

本單元所學建模方法還可幫助你研究生活中哪些問題？

預設答案：

運動會投擲的標槍、噴泉設計、炮彈的發射、飛車飛越海峽、火山噴出的巖漿、節日的煙花等

.

設計意圖：

探討模型在其他情境中運用的可能，為未來的學習和研究做準備

.

七、 目標檢測設計

課時1作業

對圖片和視頻做后期處理，形成“根據拋球軌跡上的數據點預測拋球能否入籃”的材料包，包含該次拋球“不完整”視頻、“完整”視頻和軌跡的位置點數據

.

采用小組互評和教師課堂觀察相結合方式，從方案可行性、視頻及數據準確性、題目合理性、個人貢獻度等維度對提交的作業進行評分

.

課時2作業及單元作業

1

.

如表1，請畫出以下四組數據的散點圖，用最小二乘法以函數型

y

=

ax

+

bx

+

c

擬合，在平面直角坐標系中畫出擬合效果圖和殘差圖，并與運用Excel或圖形計算器所得的結果進行比對

.

設計意圖：

直接復現本單元最小二乘法求解二次函數及其殘差的方法，關注模型求解和分析

.

2

.

完成一道來自其他組的題目，課堂交流展示選題理由、建模過程，或將成果制作成海報展示

.

表1

x值0.5122.5y值4.85.55.43.6

設計意圖：

延續課堂探討，充分尊重學生的探究成果，注重方案的多樣性和探究的自主性，個人探究與小組合作結合

.

3

.

圖10展示了某地一座拱橋，請用本單元所學建模方法給出拱橋的最佳擬合曲線方程，并確定這座橋的最大通行高度，將成果寫成2000字左右的研究小論文

.

圖10

設計意圖：

從實際問題的模型抽象出發，完整復現本單元的建模過程，再次體會用數學模型解決生活問題的方法，同時培養學生數學建模小論文的撰寫能力

.

八、 教學反思

(一)挑戰性的建模教學活動，讓學習變得自主

不少高中生的數學學習仍停留在以考點為導向的重復性訓練模式，亟需將其轉變為以素養為導向的學習方式

.

數學建模具有“用數學解決實際問題”的特點

.

選擇貼合學生生活的素材合理設計教學，能幫助學生逐步建立自主思考的思維習慣，有利于數學核心素養的發展

.

本單元建模活動中，無論是數據收集，還是“是否入籃”的判斷，解決的方案都不唯一，每一步均需細致考量，有時理論推導和實驗結果還會產生矛盾

.

這與解決教材、試卷中確定性問題的方法差異很大，學生在一個個具體環節中直觀感受到了認知沖突，進而促發自主思考，激活原有知識框架并不斷矯正認知偏差，獲取對“隨機誤差”“回歸方程”等抽象概念的深層理解，從“一個”問題上升到“一類”問題進行思考，在挑戰中體會到“學數學、用數學”的趣味

.

(二)有探究張力的問題串，讓思考走向深入

數學建模教學涉及的知識較豐富，環節較為復雜，學生的經驗相對缺乏，需要教師設計“中心突出、有探究張力”的問題串進行策略引導

.

本單元通過14組問題串的討論，創造機會讓學生通過觀察生活、猜想、實驗，形成觀察世界的“數學眼光”

.

再通過“實際問題數學化”，學生經歷分析、類比、創造等一系列思維活動，學習用數學的語言表達世界

.

在“模型反思”環節，學生深入體會科學嚴謹的數學建模思想和統計思想，形成思考世界的“數學思維”

.

教師對關鍵點追問，讓學生逐步看清問題的癥結，實現思維突破

.

(三)開放性的設計，讓發展呈現多元

開放性意味著學生可進行個性化設計，在小組合作中充分發揮自己優勢，讓不同層級的學生都有問題可想，都有貢獻和收獲，都在自己原有水平上得到發展

.

單元作業中也考慮到學生的多樣化需求，分別設置基礎任務和挑戰性任務，評價時加入過程性評價，充分關聯學生的原有認知基礎和成長點

.

(四)現代技術條件的支持，讓過程變得高效

充分利用現代技術可讓教學活動更加生動、高效

.

本單元的學習，學生對于技術支持條件下的探究活動表現出極大熱情，呈現出豐富而個性鮮明的實驗成果，為模型分析和反思奠定了堅實基礎

.

通過Excel和圖形計算器等處理復雜數據，節省了計算時間，提高了準確率，確保單元探究高效而中心突出

.