Nyquist第一準(zhǔn)則的理解與應(yīng)用

王 霞，王卓然

（云南民族大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，云南 昆明 650504）

0 引 言

“通信原理”課程是通信工程、電子信息類專業(yè)本科生的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，課程在學(xué)科體系中起承上啟下的作用，一直備受教師和學(xué)生的高度重視[1]。然而，該課程涉及公式、定理較多，推導(dǎo)過程煩瑣，相對枯燥的理論知識(shí)讓大部分學(xué)生對課程的學(xué)習(xí)興趣不大，課堂教學(xué)存在一定難度[2]。數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)是“通信原理”課程的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是數(shù)字通信的基礎(chǔ)。如何消除碼間串?dāng)_、如何降低噪聲對信號(hào)的影響是所有數(shù)字通信系統(tǒng)都必須要解決的兩個(gè)基本問題[3]。根據(jù)數(shù)字通信原理，基帶傳輸系統(tǒng)若要實(shí)現(xiàn)無碼間干擾傳輸，則基帶系統(tǒng)總的傳輸特性必須滿足Nyquist第一準(zhǔn)則。部分學(xué)生對Nyquist第一準(zhǔn)則的理解困難，運(yùn)用Nyquist第一準(zhǔn)則分析實(shí)際問題更是無從下手[4]。本文從實(shí)踐出發(fā)，針對基帶傳輸系統(tǒng)的碼間干擾問題，從原理上闡述了基帶系統(tǒng)無碼間干擾的條件，即Nyquist第一準(zhǔn)則。

1 數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)模型與Nyquist第一準(zhǔn)則

基帶傳輸系統(tǒng)的傳輸特性的模型如圖1所示。設(shè)發(fā)送濾波器、信道、接收濾波器總的傳輸特性為H(ω)，則有H(ω)=GT(ω)×C(ω)×GR(ω)。

圖1 基帶傳輸系統(tǒng)模型

要使基帶傳輸系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)無碼間干擾傳輸，則系統(tǒng)的傳輸特性H(ω)應(yīng)滿足：

式中：C為常數(shù)；T為傳輸碼元的時(shí)間間隔。

基帶系統(tǒng)的總特性H(ω)凡能滿足此要求的，均可以消除基帶系統(tǒng)的碼間干擾，該條件稱為Nyquist第一準(zhǔn)則。一般地，定義理想基帶傳輸系統(tǒng)的傳碼率RB=1/T為奈奎斯特速率，其帶寬B=(π/T)/2π=1/2T為奈奎斯特帶寬，T為奈奎斯特間隔。如果系統(tǒng)以高于1/T的速率進(jìn)行傳輸時(shí)，將存在碼間干擾；如果系統(tǒng)以低于1/T的速率進(jìn)行傳輸時(shí)，有可能存在碼間干擾，也有可能無碼間干擾。奈奎斯特速率是系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)無碼間干擾傳輸時(shí)能達(dá)到的最大速率，此時(shí)的系統(tǒng)最高頻帶利用率為2 Baud/Hz。推廣到一般系統(tǒng)有，當(dāng)系統(tǒng)的頻率為ω時(shí)，該系統(tǒng)無碼間干擾時(shí)最高的傳輸速率（即奈奎斯特速率）為2ω。

由傳碼率RB與T的關(guān)系，可得到該判據(jù)式（1）的等價(jià)描述為：

判斷某傳輸系統(tǒng)是否滿足無碼間干擾傳輸，有兩種方法。

方法一：把一個(gè)基帶傳輸系統(tǒng)的傳輸特性H(ω)等間隔分割為2π/T寬度，若各段在(-π/T, π/T) 區(qū)間內(nèi)能疊加成一條直線，那么它在以RB=1/T的速率傳輸基帶信號(hào)時(shí)，就能做到無碼間串?dāng)_傳輸。

方法二：由H(ω)確定系統(tǒng)的奈奎斯特等效帶寬BN，然后。由RBmax=2BN求出最大碼速率，再與實(shí)際碼速率比較，若RBmax/RB為正整數(shù)，則無碼間干擾，否則有碼間干擾。

2 Nyquist第一準(zhǔn)則的應(yīng)用

下面通過一個(gè)實(shí)例來分析系統(tǒng)滿足無碼間串?dāng)_傳輸?shù)臈l件，即Nyquist第一準(zhǔn)則的具體應(yīng)用。假設(shè)基帶系統(tǒng)的頻率特性如圖2所示。若以2/T速率傳輸信號(hào)，判斷各系統(tǒng)是否存在碼間串?dāng)_。若以8/T速率傳輸信息，各系統(tǒng)以幾進(jìn)制碼元傳輸時(shí)可以實(shí)現(xiàn)無碼間串?dāng)_。

圖2 4種不同基帶系統(tǒng)的頻率特性

（1）首先分析第一個(gè)問題，判斷各系統(tǒng)是否存在碼間串?dāng)_。

根據(jù)式（1）和題中給出的條件RB=2/T可知，要使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)無碼間串?dāng)_，必須滿足的條件為：

分別將圖2（a）、（b）、（c）、（d）4個(gè)系統(tǒng)按照該平移量進(jìn)行平移疊加，然后在觀察區(qū)間內(nèi)檢驗(yàn)最后疊加的結(jié)果是不是一條水平直線。按照該方法可知：在RB=2/T的碼速率下，（a）和（c）系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)無碼間串?dāng)_，（b）和（d）系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)無碼間串?dāng)_。

此外，分析介紹一種根據(jù)系統(tǒng)頻率特性H(ω)分析碼間干擾特性的簡便方法。由H(ω)確定系統(tǒng)的奈奎斯特等效帶寬BN，然后。由RBmax=2BN求出最大碼速率，再與實(shí)際碼速率比較，若RBmax/RB為正整數(shù)，則無碼間干擾，否則有碼間干擾。下面對這一方法進(jìn)行簡要分析。

首先介紹理想基帶傳輸系統(tǒng)的奈奎斯特帶寬。理想基帶傳輸系統(tǒng)的傳輸特性具有理想低通特性，其傳輸函數(shù)為為：

圖3 理想低通系統(tǒng)的頻域與時(shí)域波形

對于圖3（a），當(dāng)系統(tǒng)傳碼率為RB=1/T時(shí)，根據(jù)Nyquist第一準(zhǔn)則的頻域條件可以判斷，系統(tǒng)無碼間串?dāng)_。從時(shí)域的角度觀察圖3（b）可以看到，理想低通信號(hào)h(t)在t=±nT(n≠0)時(shí)有周期性零點(diǎn)。如果發(fā)送碼元波形的時(shí)間間隔為T，接收端在t=±nT(n≠0)時(shí)抽樣，就能達(dá)到無碼間串?dāng)_，如圖4所示。

圖4 無碼間串?dāng)_示意圖

由圖4可見，輸入數(shù)據(jù)若以RB=1/T的波特速率傳送時(shí)，在各個(gè)T的整數(shù)倍處的數(shù)值僅由本碼元所決定。其他各碼元對應(yīng)的輸出響應(yīng)在此處均為零，即各碼元之間沒有相互干擾。因此，如果在T的整數(shù)倍處進(jìn)行抽樣判決，就可以正確地恢復(fù)出“1”碼和“0”碼。但若不滿足RB=1/T的條件，在各個(gè)T的整數(shù)倍處，其他各碼元的輸出響應(yīng)將不會(huì)為零，即各碼元的輸出響應(yīng)是相互影響的，此時(shí)存在碼間相互干擾。如果在此處抽樣判決，由于碼間干擾，容易出現(xiàn)誤碼。由此定義理想基帶傳輸系統(tǒng)的傳碼率RB=1/T為奈奎斯特速率，其帶寬B=(π/T)/2π=1/2T為奈奎斯特帶寬，T為奈奎斯特間隔。如果系統(tǒng)用高于1/T的速率進(jìn)行傳輸時(shí)，將存在碼間干擾，如果系統(tǒng)用低于1/T的速率進(jìn)行傳輸時(shí)，有可能存在碼間干擾，也有可能無碼間干擾。奈奎斯特速率是系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)無碼間干擾傳輸時(shí)能達(dá)到的最大速率，此時(shí)的系統(tǒng)最高頻帶利用率為2 B/Hz。推廣到更一般的系統(tǒng)可以得到，當(dāng)系統(tǒng)的頻率為ω時(shí)，該系統(tǒng)無碼間干擾時(shí)最高的傳輸速率（即奈圭斯特速率）為2ω。

使用該方法需要得到系統(tǒng)的奈奎斯特等效帶寬，也就是將給定的系統(tǒng)等效為理想基帶傳輸系統(tǒng)后的奈奎斯特帶寬。根據(jù)該方法可得：

根據(jù)題中所給條件RB=2/T：

對于系統(tǒng)（a），RaBmax/RB=1/2≠整數(shù)，故系統(tǒng)（a）有碼間串?dāng)_；

對于系統(tǒng)（b），RbBmax/RB=1=整數(shù)，故系統(tǒng)（b）無碼間串?dāng)_；

對于系統(tǒng)（c），RcBmax/RB=3/2≠整數(shù)，故系統(tǒng)（c）有碼間串?dāng)_；

對于系統(tǒng)（d），RdBmax/RB=2=整數(shù)，故系統(tǒng)（d）無碼間串?dāng)_。

根據(jù)題中所給條件Rb=8/T，可以得到此時(shí)的碼速率RB=Rb/log2M=(8/T)/N=8/TN，其中令N=log2M為正整數(shù)，M就是系統(tǒng)所采取的進(jìn)制數(shù)。為了使系統(tǒng)滿足無碼間串?dāng)_，必須滿足條件RBmax/RB為正整數(shù)。令RBmax/RB=n，n為正整數(shù)。

對于系統(tǒng)（a），RaBmax/RB=Na/8=n，從而Na=8n，M=28n，n為正整數(shù)；

對于系統(tǒng)（b），RbBmax/RB=Nb/4=n，從而Nb=4n，M=24n，n為正整數(shù)；

對于系統(tǒng)（c），RcBmax/RB=3Nb//=n，從而Nc=8n/3，M=28n/3，考慮到M和n都必須為正整數(shù)，所以此時(shí)n取3的倍數(shù)的正整數(shù)；

對于系統(tǒng)(d），RdBmax/RB=Nd/2=n，從而Nd=2n，M=22n，n為正整數(shù)。

3 結(jié) 論

在數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)中，碼間干擾是影響通信質(zhì)量的主要決定性因素。本文在對數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，總結(jié)了判斷數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)是否存在碼間干擾的兩種分析方法，并通過一個(gè)具體例子探討了奈奎斯特準(zhǔn)則的理解和應(yīng)用。