基于構(gòu)造完好曲率模態(tài)曲線的損傷識別方法

吳憬 王子超 曾靜 龍超然

[摘? 要]：曲率模態(tài)是一種理想的損傷識別參數(shù)，他不僅能夠反映并放大結(jié)構(gòu)局部特征變化，還能對損傷位置進(jìn)行準(zhǔn)確的指示。但使用曲率模態(tài)作為損傷識別指標(biāo)必須要提前得知結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)下的曲率模態(tài)數(shù)據(jù)，這對實(shí)際工程中已損壞的結(jié)構(gòu)來說是十分困難的。為解決這個實(shí)際工程難題，文章在原有的曲率模態(tài)方法基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，提出了結(jié)構(gòu)完好曲率模態(tài)曲線的概念，并采用最小二乘法成功擬合該曲線，進(jìn)一步利用擬合曲線與曲率模態(tài)曲線突變區(qū)域圍合的損傷定義面積來判斷結(jié)構(gòu)損傷程度。最后使用ANSYS有限元軟件模擬簡支梁進(jìn)行數(shù)值分析，驗(yàn)證了該方法的可行性。

[關(guān)鍵詞]：曲率模態(tài); 損傷識別; 梁結(jié)構(gòu); 完好曲率模態(tài)曲線; 損傷定義面積

TU313A

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測是當(dāng)代橋梁工程學(xué)術(shù)界和工程界的研究熱點(diǎn)和重點(diǎn)[1-2]，其主要目的是對結(jié)構(gòu)的運(yùn)營狀態(tài)進(jìn)行評估，有效避免事故的發(fā)生，為結(jié)構(gòu)的運(yùn)維管理決策提供支撐依據(jù)。損傷識別是評估結(jié)構(gòu)安全的重要環(huán)節(jié)，是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)中核心組成部分，因此對損傷識別方法進(jìn)行研究和分析具有重要的社會價值和經(jīng)濟(jì)價值。若結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷，必然會致使損傷部位的剛度折減。在外力的作用下，結(jié)構(gòu)的曲率會隨著結(jié)構(gòu)剛度折減而發(fā)生變化，所以可以選取振型曲率用于反映結(jié)構(gòu)的損傷狀況[3]。

曲率模態(tài)作為結(jié)構(gòu)的中面變形模態(tài)，是振型的導(dǎo)出量，能夠反映并放大結(jié)構(gòu)局部特征變化反映結(jié)構(gòu)局部特征的變化，從而實(shí)現(xiàn)對結(jié)構(gòu)的損傷識別。本文基于解決曲率模態(tài)指標(biāo)獲得結(jié)構(gòu)初始數(shù)據(jù)不易的實(shí)際工程痛點(diǎn)，提出了一種基于構(gòu)造完好曲率模態(tài)曲線的梁結(jié)構(gòu)損傷識別方法，用于進(jìn)行梁結(jié)構(gòu)的損傷定位和損傷程度估計(jì)，并且無需結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)下模態(tài)參數(shù)。

1 曲率模態(tài)曲線損傷識別指標(biāo)

以常見的梁結(jié)構(gòu)為討論對象進(jìn)行曲率模態(tài)的相關(guān)理論研究和分析[4]，梁的任意截面x處曲率函數(shù)表達(dá)式為式（1）：

Q（x，t）=1ρ（x，t）=2u（x，t）x2=∑SymboleB@i=1φ″i（x）qi（t）=MEI（x）（1）

式中：Q（x，t）為曲率函數(shù);ρ（x，t）為曲率半徑;u（x，t）為振動位移;φ″i（x）為第i階曲率模態(tài);qi（t）為模態(tài)坐標(biāo);M為截面彎矩;EI（x）為抗彎剛度。

根據(jù)式（1）得知，當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時，對應(yīng)損傷位置剛度EI（x）會折減，隨著剛度的減小，曲率會對應(yīng)增加，從而引起結(jié)構(gòu)曲率模態(tài)值的變化。結(jié)構(gòu)的曲率模態(tài)曲線在完好未受損時是一條光滑無突變的曲線。曲率模態(tài)曲線可以反映出結(jié)構(gòu)局部特征的變化，從而體現(xiàn)結(jié)構(gòu)的損傷情況，在結(jié)構(gòu)損傷位置，曲率模態(tài)曲線會出現(xiàn)突變，曲線突變峰值則對應(yīng)著損傷程度，損傷程度越嚴(yán)重，那么曲線的突變程度越明顯。在此基礎(chǔ)上，便可以采用曲率模態(tài)作為對結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷診斷的參數(shù)指標(biāo)。

在應(yīng)用過程中，結(jié)構(gòu)通常被當(dāng)成離散的多個單元進(jìn)行計(jì)算，因此使用中心差分法求曲率模態(tài)值，其計(jì)算表達(dá)式為式（2）。

φ″i（j）=φi（j-1）-2φi（j）+φi（j+1）（lj-1lj）2（2）

式中：φi（j）為結(jié)構(gòu)第i階模態(tài)在j節(jié)點(diǎn)處的振型值;l為相鄰節(jié)點(diǎn)的距離。

為了便于結(jié)果的比較，對求出的曲率模態(tài)值均按照結(jié)構(gòu)完好情況下曲率模態(tài)峰值進(jìn)行歸一化處理。

2 構(gòu)造完好曲率模態(tài)曲線理論基礎(chǔ)

由上一節(jié)提及的曲率模態(tài)指標(biāo)應(yīng)用理論表明，在損傷位置處，曲率模態(tài)曲線會出現(xiàn)明顯突變，而其他未損傷位置則是光滑的。依據(jù)曲率模態(tài)曲線這一特性，可以使用損傷影響區(qū)域外的曲率模態(tài)曲線剩余點(diǎn)，通過最小二乘法擬合來構(gòu)造一條光滑曲線，即完好曲率模態(tài)曲線，用來取代結(jié)構(gòu)完好情況下的初始模態(tài)曲線。

2.1 最小二乘法擬合理論

依據(jù)最小二乘法理論[5]，事先預(yù)設(shè)多項(xiàng)式次數(shù)為t，擬合數(shù)據(jù)的個數(shù)為T。如果T=t+1，則擬合的曲線能夠符合全部數(shù)據(jù)點(diǎn)，但通常情況下為T>t+1。

此t次多項(xiàng)式表達(dá)式為式（3）。

y=a0+a1x+a2x2+…+atxt（3）

由擬合最小二乘法可知[6]，在求解該方程組的過程中，舍入誤差會使所求解出現(xiàn)較大誤差。而且方程組的誤差程度會隨著t的增加而越發(fā)嚴(yán)重，所以多項(xiàng)式次數(shù)t不能取值太大，一般取4次。

2.2 損傷定義面積

存在損傷的曲率模態(tài)曲線會在損傷部位附近發(fā)生曲線突變。損傷定義面積的設(shè)定為擬合完好曲率模態(tài)曲線與損傷部位突變線所圍合的面積（ABCD），使用損傷定義面積進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷程度判斷。如圖1所示。

如圖1所示，曲率模態(tài)曲線的突變區(qū)域能分解成3個部分AB、BC和CD，其突變線方程分別用q1（x）、q2（x）、q3（x）代表。其損傷定義面積公式：

S=∫h2h1（q1（x）-p（x））dx+∫h3h2（q2（x）-

p（x））dx+∫h4h3（q3（x）-p（x））dx（4）

式中：S為損傷定義面積;h為曲線積分界限;p（x）為完好曲率模態(tài)曲線方程。

3 結(jié)構(gòu)損傷識別數(shù)值分析

3.1 使用曲率模態(tài)法進(jìn)行損傷定位

本節(jié)采ANSYS軟件對簡支矩形梁進(jìn)行損傷識別模擬分析，梁長L=20 m，0.5 m為單元進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，將該梁等分成為40個單元，存在41個節(jié)點(diǎn)。如圖2所示，截面尺寸為b×h=250 mm×300 mm，材料彈性模量為E=3.25×104 MPa，泊松比為ν=0.2，密度為ρ=2500 kg/m3。預(yù)設(shè)工況：對簡支梁的11#單元分別進(jìn)行10%、20%、30%、40%、50%的剛度折減用來模擬損傷。

圖3為使用曲率模態(tài)法對有限元簡支梁模型進(jìn)行損傷識別的結(jié)果，從圖中可以反映出曲率模態(tài)曲線法對識別損傷位置具有很好的指示效果。

3.2 結(jié)構(gòu)損傷分析

3.2.1 選擇完好曲率模態(tài)曲線的待擬合點(diǎn)

如圖3所示，損傷程度越大，曲率模態(tài)曲線的突變程度就越明顯，因此損傷程度越低的曲率模態(tài)曲線與結(jié)構(gòu)完好曲率模態(tài)曲線就越接近，所以這里選擇損傷10%工況下的模態(tài)曲線中損傷區(qū)域外的點(diǎn)進(jìn)行擬合，使擬合效果更好。

3.2.2 選擇構(gòu)造曲線的擬合多項(xiàng)式次數(shù)t

前文對擬合多項(xiàng)式次數(shù)t的限制展開了討論，因此曲線的擬合取多項(xiàng)式擬合次數(shù)t=4，保證擬合出來的曲線更接近結(jié)構(gòu)初始的模態(tài)曲線。

3.2.3 計(jì)算損傷定義面積

按照式（4）能夠求得梁結(jié)構(gòu)在損傷情況下，發(fā)生不同損傷程度的梁結(jié)構(gòu)單元對應(yīng)的損傷定義面積，結(jié)果見表1。

3.2.4 擬合損傷程度函數(shù)曲線

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，將損傷程度與梁結(jié)構(gòu)的損傷定義面積進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，能夠得到結(jié)構(gòu)在不同損傷程度下?lián)p傷單元對應(yīng)的損傷程度函數(shù)表達(dá)式：

y=7.1548x3-6.6811x2+2.9518x-0.0081

從表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn)，梁結(jié)構(gòu)的假定損傷單元的損傷定義面積會隨著結(jié)構(gòu)損傷程度的增加而呈非線性增加，損傷定義面積的增長率也隨結(jié)構(gòu)損傷程度增加而增大。

4 結(jié)論

本文詳細(xì)介紹了運(yùn)用構(gòu)造完好曲率模態(tài)曲線的方法進(jìn)行梁結(jié)構(gòu)損傷識別的理論依據(jù)，再利用損傷區(qū)域外的待擬合點(diǎn)進(jìn)行最小二乘法擬合來構(gòu)造一條完好曲率模態(tài)曲線，并計(jì)算出損傷定義面積，將損傷程度與損傷定義面積相關(guān)聯(lián)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，能夠求得損傷程度函數(shù)表達(dá)式，以判斷結(jié)構(gòu)在該處相應(yīng)的損傷程度。主要結(jié)論：

（1）采用有限元模擬的方法驗(yàn)證了基于構(gòu)造完好曲率模態(tài)曲線的損傷識別方法能夠準(zhǔn)確定位梁結(jié)構(gòu)的損傷位置，并對結(jié)構(gòu)的損傷程度作出定性分析。

（2）通過擬合損傷定義面積與損傷程度的函數(shù)表達(dá)式和關(guān)系曲線來判斷結(jié)構(gòu)損傷程度，損傷面積越大，代表損傷程度越高。

（3）使用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合，并結(jié)合數(shù)值模擬驗(yàn)證了通過此方法構(gòu)造出梁結(jié)構(gòu)的完好曲率模態(tài)曲線是可行的，且不需要完好狀態(tài)下模態(tài)參數(shù)，解決了結(jié)構(gòu)在損傷后初始模態(tài)參數(shù)難以測得的工程難題。

參考文獻(xiàn)

[1] 歐陽歆泓，徐一超.橋梁檢測與監(jiān)測技術(shù)的發(fā)展趨勢[J].工程技術(shù)研究，2020，5（24）：236-237.

[2] 吳憬.基于曲率模態(tài)的梁結(jié)構(gòu)損傷識別方法研究[D].重慶：重慶大學(xué)，2019.

[3] 徐飛鴻，朱檢，張婷婷.基于曲率模態(tài)曲線的結(jié)構(gòu)損傷識別方法[J].世界地震工程，2015，31（4）：36-42.

[4] 李德葆，陸秋海，秦權(quán).承彎結(jié)構(gòu)的曲率模態(tài)分析[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)： 自然科學(xué)版，2002（2）：224-227.

[5] 杰拉爾德，惠特萊.應(yīng)用數(shù)值分析[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

[6] 徐典，楊佑發(fā).基于柔度曲率曲線的結(jié)構(gòu)損傷識別方法[J].建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào)，2012，33（12）：147-152.