應用多個非球面優化魚眼鏡頭的方法

高冰冰，呂麗軍，曾 濤

（上海大學 精密機械系，上海 200072）

引 言

對光學系統而言，像差是影響其成像質量的主要因素[1]，然而光學系統的像差通常會隨著光束打在光學面上的入射角的增大變得愈發嚴重。隨著非球面在各類光學系統中的廣泛應用，應用非球面可以有效控制像差、改善光學系統成像性能也成為了人們的普遍認識[2-3]。Miks等[4]提出了一種包含一個或兩個非球面光學表面的鏡頭的簡單設計方法，在指定物、像位置上可以有效校正球差并減小彗差的貢獻。非球面不僅在軸對稱光學系統中被廣泛應用，在眾多的魚眼鏡頭優化設計[5-6]過程中也被廣泛應用。張寶龍等采用非球面技術，用僅四片透鏡就實現視場角為210°的超廣角魚眼鏡頭設計要求[7]。然而，應用像差分析的方法在光學系統中選擇最適非球面位置及確定非球面系數初值的方法鮮有討論。

對于魚眼鏡頭這類超大視場光學系統，其在很多場合例如無人駕駛、安全監控等[8-12]方面都有著廣泛的應用。但由于在其工作環境中，物點發出的光束會以很大的入射角進入光學系統，這種掠入射光束經光學系統成像后，在子午和弧矢平面內的聚焦位置和波陣面參數可能完全不一致，波前的形狀將嚴重偏離球面，具有平面對稱光學系統的成像特性。賽德爾理論只能用于常規的軸對稱光學系統的近軸像差分析，不再適合此類系統。近年來，LU等采用超環面作為參考波陣面，發展了適用于平面對稱光學系統的波像差理論[13-14]，可以被用來分析包括非球面系數在內的光學系統的結構參數對成像性能的影響，從而為尋找最適非球面奠定理論基礎。

本文首先闡述了LU的平面對稱光學系統像差理論的理論基礎，接著闡述魚眼鏡頭光學系統中各光學面上各類波像差分布的計算方法，然后針對一個全球面魚眼鏡頭實例，根據所建立的系統成像性能評價函數隨非球面系數改變的變化規律，確定非球面位置以及非球面系數的初值，隨后重新計算光學系統的波像差分布，并與原先系統的波像差分布圖進行對比，最后應用基于調制傳遞函數（MTF）作為評價函數的自適應歸一化實數編碼遺傳算法，優化該魚眼鏡頭實例。

1 理論基礎

1.1 LU的波像差理論

LU應用波像差方法是針對平面對稱光學系統在子午和弧矢方向上焦點可能完全分離的特點，以超環面作為參考波陣面，發展出的適用于平面對稱多元件光柵系統的像差理論，并根據光線幾何，通過多項式擬合的方法求得光線在光學元件表面和入射及像差波陣面之間的映射關系，導出精確的平面對稱光學系統的波像差表達式，再由波像差求得光學系統的像差表達式。該理論可以精確處理一般的平面對稱多元件光學系統的像差，并且可以應用于研究各種面形的反射鏡、光柵和像平面在任意位置上的光學系統的成像。

由文獻[13]可以知道，平面對稱光柵系統的波像差W與物方空間波像差Wobj、像方空間波像差Wima以及受光柵刻槽影響的光程差S相關，具體表達式如下：

式中：S=nmλ ， λ 為光的波長，n為光柵刻槽的槽數；m為光柵的衍射級，m=0,±1,±2,··· 。可將式（1）右邊寫成四階波像差系數wijk的形式：

式中： (x,y) 為光線打在光學面的坐標；u為物點到光學面連線與光軸的夾角。關于波像差系數wijk以及具體應用可參見2.1節內容。

LU波像差理論只涉及到孔徑像差如彗差波像差、球差波像差的計算，而對場曲波像差及色差波像差的計算方法未有深入研究。該理論在近年被FAN[15]等補充，使得該理論可以利用解析的方法精確計算出光學系統中除畸變外的所有像差，為尋找最適非球面奠定了理論基礎。

1.2 光學表面的面型系數

在超大視場光學系統（如魚眼鏡頭）中將光學元件表面定義為二次圓錐表面，應用平面對稱像差理論計算波像差時需要以主光線打在光學元件表面的位置為坐標原點O，這樣就需要轉換坐標。圖1所示為一條主光線經過一個二次圓錐光學面反射后的光路圖：將坐標方程從以O′為坐標原點的x′y′z′坐標系轉換至以O點為坐標原點xyz坐標軸[16]；y軸和y′軸均垂直于紙面向外； α和 β 分別表示入射角和反射角； ωi-1和 ωi分別為第i光學面的入射和出射光線與光軸的夾角，即視場角，其中，i=1,2,··· 。

圖1 光線經二次圓錐表面反射時坐標轉換示意圖Fig.1 Schematic diagram of coordinate conversion when light is reflected by a secondary cone surface

以O′為坐標原點的坐標系x′y′z′繞光軸z′旋轉的二次圓錐曲面方程為：

式中：R0是二次圓錐曲面在坐標原點O′處的曲率半徑，即；a2是確定二次圓錐曲面類型的系數，即非球面系數，當a2＞0 時為雙曲面，當a2=0 時為拋物面，當 - 1＜a2＜0 時為長橢球面，a2=-1 時為球面，a2＜-1 為扁橢球面。a2與Zemax軟件中表示非球面特性的圓錐系數k的轉換關系為：

設O點在平面坐標系x′O′z′下的坐標為，x軸為主光線相交于光學元件表面O處的切線，z軸為O處的法線。根據圖1所示，將坐標系xyz轉換為x′y′z′的表達式為：

同時，從圖1的幾何關系可以得到：

將式（5）和（6）帶入式（3），并作四階泰勒級數展開，就可以得到適用于四階波像差理論的二次圓錐曲面的方程：

式中，ci,j為面型系數，具體可參見文獻[16]。

由圖1的幾何關系可知O點處光學元件表面的子午方向的曲率半徑 Γ 和弧矢方向的曲率半徑ρ 分別為：

對于有由多個光學面組成的光學系統，從第i光學面到i+1 光學面的坐標傳遞方程s0的表達式為：

式中di是從第i光學面到第i+1 光學面在沿光軸的光學間隔。

通過以上推導內容可將一般平面對稱二次圓錐曲面系數轉換為LU的平面對稱光學系統像差理論中的面型系數形式。

1.3 主光線傳輸方程

應用LU的平面對稱光學系統波像差理論計算光學系統波像差時還需要追跡出各光學面的主光線參數，包括入射角 αi，折射或反射角 βi，視場角 ωi等參數。圖2所示為一條主光線在子午平面內的傳輸示意圖：依次穿過光學介質的折射率分別為ni-1,ni和ni+1； ωi的符號與主光線相對光軸的斜率一致； αi, βi的符號與主光線相對于入射坐標系的法線斜率一致；第i到第i+1 光學面的光學間隔為；光學面右側為正，反之為負；光學面曲率半徑的符號規定為圓心在光學面右側為正，反之為負。

圖2 主光線傳輸示意圖Fig.2 Schematic diagram of principal light transmission

由圖2可得，主光線經過任一光學面的傳輸方程為[16-17]：

上述理論及推導為計算魚眼鏡頭中的波像差提供了理論基礎。

2 波像差計算

2.1 孔徑像差波像差

對于由g個光學面組成的超大視場平面對稱光學系統，應用式（2）即可滿足其計算精度，由于沒有光柵，其表達式為：

其中：

其中：Mij0為波像差系數，參考文獻[18]中有詳細討論；表示第i光學面在像空間的子午和弧矢焦距，根據準基理論w200=0 和w020=0計算而來[13,19]，表達式為：

第i+1 光學面沿主光線在子午方向的物方焦距rM(i+1)和弧矢方向的物方焦距rS(i+1)分別為：

在四階波像差理論中，任一光學面球差波像

2.2 主光線像差波像差

由g個光學面組成的光學系統在子午方向和弧矢方向的場曲波像差分別由以下公式計算而來[15]：

由g個光學面組成光學系統的軸向和垂軸色差波像差，計算分別如下[15]：

在式（6）～（23）中，(xi,yi)為光束投影到第i光學面上的孔徑坐標，由孔徑光闌半徑逐一線性傳遞所得：

其中：

由波像差的疊加原理可知第g光學面的主光線波像差為：

應用式（26）可以計算光學系統中每一光學面的各類波像差的分布，并且可以得到系統波像差隨非球面系數的變化規律，從而選出對非球面系數變化較為敏感的光學面。

3 利用非球面優化魚眼鏡頭

3.1 定義評價函數

在視場范圍內取 μ 個物點對魚眼鏡頭光學系統成像性能進行數值評價，該評價函數是將第2節所計算的波像差轉換到像面上的像差Q，表達式為[15,20]：

式中： εk、ηk和 μk分別表示各自的權重系數，是根據具體光學系統像差分布決定的；Qx(k)和Qy(k)表示第k視場角的孔徑像差分量k=0, 1 ,2,··· 。分別在光束覆蓋的區域范圍內進行積分求和：

式中：Wq和L分別表示孔徑光束在最后光學面上沿子午x和弧矢y方向的投影長度，由于光束在子午和弧矢平面內的焦點位置不一致，圓形的孔徑光闌傳遞至各光學面的投影均為橢圓形，故上式中的積分區域為橢圓域；x′和y′表示光線在像面上的像差表達式，分別計算為：

其中：dij0和hij0表示像差系數，詳細在文獻[13]中討論，其中已包含離焦像差，即子午和弧矢方向場曲對成像性能的貢獻。

Qη(k)和Qc(k)分別表示第k視場角光學系統的軸向色差和垂軸色差的評價函數，即軸向色差和垂軸色差在成像面上的貢獻分量，計算表達式為：

3.2 單個非球面優化

在光學系統優化中加入非球面，就能在傳統全球面優化的基礎上多出一個或多個優化自由度，從而能得到更好的結果。由于非球面制造及成本原因，如何選擇正確的光學面作為非球面是一個非常值得研究的問題。

為研究如何尋找適合系統優化的最適非球面，需要通過前述理論計算研究光學系統中各光學面的波像差分布以及波像差隨非球面系數變化的規律，下面以一個實際光學系統為例研究變化規律。該系統的視場角為 2 ω=220 °，F=2.8 ，該光學系統來自于文獻[21]，光路示意圖如圖3所示，相關系統參量見表1 Original欄。

圖3 魚眼鏡頭光路示意圖Fig.3 Schematic diagram of optical path of fisheye lens

表1 全球面魚眼鏡頭的光學參量Tab.1 Optical parameters of all spherical fisheye lens

由于在優化過程中，為了用較短的時間得到優化結果，參數優化范圍并不是特別大，因此優化后的光學系統結構及光路較原系統變化較為微小，反映在圖像中是無法進行區別的，并且非球面系數的變化也無法在圖中顯示出來，因此本文中其余優化結果的結構及光路均可參照圖3。

對于一個光學系統而言，非球面應當選擇對整個系統影響較大的那個面，若其作為非球面對系統的影響可以忽略不記（即MTF曲線在其作為非球面和球面時變化不大），即可認定其不適合作為非球面。據此，以光學面對非球面系數的敏感度（系統成像性能隨其非球面系數變化的劇烈程度）作為選擇非球面的依據，具體過程如下。

首先可由第1、2節關于波像差的計算公式得到系統中各個光學面的波像差以及系統總體的波像差分布規律，根據式（19）～（22）以及式（26）可得到每個光學面的波像差分布特點，結果如圖4，圖中所示為視場角 ω0=110 ° (最大視場物點) 時各光學面的波像差分布。

其中：WM和WS分別為場曲波像差在子午和弧失方向上的分量；WCL和WCT分別為軸向和垂軸色差波像差；Wsph和Wcoma分別為球差波像差和彗差波像差。

圖4 原始波像差分布Fig.4 Original wave aberration distribution

從圖4中可以看到雖然系統中有幾個面的場曲波像差（子午）、球差波像差和彗差波像差較為顯著，但系統本身已經對其做出了矯正，最終像面上的像差還在合理范圍內。根據波像差分布情況可以決定Q值權重系數，由于該光學系統球差、彗差等孔徑像差較為突出，而垂軸色差及軸向色差較小，因此可令εk=2、ηk=0.5 和μk=0.5 。

接下來應用式（27）～（32）依次分析光學系統成像性能Q隨各光學面的非球面系數a2變化的規律。a2的遍歷范圍為 ( -3,1) ，變化步距為0.001；取 0 °、 10 °、 2 0 °、 3 0 °、 4 0 °、 5 0 °、 6 0 °、70 °、 8 0 °、 9 0 °、 1 00 °、 1 10 °這 12個 視 場 物點；Q值隨非球面系數變化的規律如圖5所示，在a2的遍歷范圍內，第6、8和9面為非球面時系統的Q值變化幅度較大。達到極小值時對應的a2值見表2。

圖5 魚眼鏡頭的成像性能隨非球面系數變化的規律Fig.5 The imaging performance of fisheye lens changing with the coefficient of aspherical surface

圖6是第9面作為非球面，非球面系數a2(9)=-1.109 時對應的波像差分布。

從表2中可以清楚的看出，在將第9面作為非球面后，評價函數Q的值下降較為明顯。對比圖6和圖4，可以驗證系統總的像差是降低的。因此，通過改變光學元件的面型，找到合適的非球面系數，能夠優化光路傳播、調整系統波像差分布情況，使最終成像性能得到提升。在上述步驟中，利用本文提出的方法可以找到合適的非球面位置及其初始非球面系數，之后需要結合其余光學參量進行優化，確定結果是否符合期望。

表2 系統初始Q值及非球面系數對應Q值Tab.2 The initial Q value of the system and the corresponding Q value of the aspheric coefficient

圖6 第9面為非球面時的波像差分布Fig.6 Wave aberration distribution when the ninth surface is aspheric

原始光學系統視場角雖然為 1 10 °，但其原始MTF曲線未能顯示 90 °以后的曲線，因此先進行了一輪全球面優化。所得到的MTF曲線圖見圖7，優化后參數見表1 Optimize Ⅰ欄。在圖7中，MTF曲線圖是在Zemax中應用快速傅里葉變換(FFT)方式得到的；在子午（Mer.）和弧矢（Sag.）方向空間頻率分別取10 lp/mm 和30 lp/mm；經過全球面優化后各個視場下的MTF曲線均有所提高且 90 °之后的曲線圖也能顯示出來，說明在全球面優化后的系統已能在 1 10 °視場內有良好的性能。

圖7 全球面優化后的MTF曲線圖Fig.7 All spherical optimized MTF curves

我們應用以MTF作為評價函數的自適應歸一化實數編碼遺傳算法[22-23]優化該實例鏡頭。此次優化遵循先進行大范圍多代數粗略搜索參數如下：種群規模設為100；交叉概率為0.8；初始變異概率為0.1；求解精度為0.001；優化800代；范圍設置為初始參數的±50%；優化20次。從結果中選擇優化較好的5個系統的參數值作為小范圍精確搜索的初始值，此時，其余參數不變，只將優化代數縮小為200代；搜索范圍為±(10%～20%)；每組優化10次；選取MTF最高的參數作為最終系統[16]。以第9面為例進行單個非球面的優化，優化后的MTF曲線如圖8所示，各光學面參數見表3 Optimized Ⅱ。表3相較于表2增加了非球面系數（Aspheric coefficient）一項，并且由于材料與折射率均未改變，因此未在表3中列出。

圖8相較于圖7，第9面作為非球面優化后，MTF曲線較全球面優化后提升較多，視場角在90°之前曲線平滑，下降緩慢，成像質量優良，在90°之后出現驟降，說明在大視場下成像質量不是很好，但相較于全球面優化仍然有所提升，說明本文提出的方法對于非球面的選取是有效的，對于大視場下優化結果較差的情況，可以考慮通過增加非球面個數嘗試解決。

圖8 第9面作為非球面優化后的MTF曲線圖Fig.8 The optimized MTF curve when the 9th surface is used as an aspheric surface

3.3 同時進行兩個非球面優化

由3.2節的結論可以看出，在對光學系統進行優化時選擇對非球面系數變化較為敏感的光學面作為待優化的非球面能夠有效降低系統像差，并得到較好的MTF曲線。這對單個非球面是有效的，因此可以考慮將之運用于多個非球面優化系統中，以下將采用兩個非球面優化該系統。

采用多個光學面作為非球面時，由于前一個光學面的非球面系數改變將會導致在它之后光路發生變化，光線到達下一個非球面時的位置與理論不符，因此，多個非球面參與優化時，最終優化結果并不是單個非球面影響的疊加，需要得到多個非球面共同作用下對系統整體的影響。圖9為幾組兩個非球面組合時系統Q值的變化規律圖。

表3 加入非球面優化后的系統光學參數Tab.3 Optics parameters of the system after adding aspheric surface optimization

依據圖5，在本文中將待選非球面分為兩類：一類是對非球面系數變化敏感度較低的光學面（下簡稱為非敏感面），如第11、12面；另一類為對非球面系數變化敏感度較高的光學面（下簡稱敏感面），如第6、8面。在對兩個非球面組合時得到的Q值變化圖中，發現當兩個非敏感度面組合時，如圖9（a），其系統Q值變化微小；兩個敏感面組合時，如圖9（c），其系統Q值變化較為劇烈；而敏感面與非敏感面組合時，如圖9（b），系統Q值變化規律趨向于與敏感面的變化相同。

由此，在多個光學面作為非球面參與優化系統時，仍然是敏感面對改變系統像差的貢獻較大，因此可以確定在用多個非球面優化系統時仍應采用對系統Q值影響較大的光學面作為待選非球面。在本文中將第6、8和9面兩兩組合得到三種優化組合，表4列出了三種方案的最小Q值及對應的非球面系數，圖10為第8、9面為非球面時對應的波像差分布圖。

對比表2和表4，相較于加入單個非球面，加入兩個非球面時，系統Q值進一步降低，比單個非球面時下降了大約23%。從圖10中可以看出，第8面和第9面作為非球面后其波像差下降較為明顯，而圖6中第9面單獨作為非球面時對自身波像差影響較小，說明多個非球面組合可以有效的抑制自身波像差，優化像差分布，進一步降低系統像差，提升成像質量。從表2可以得出，在加入單個非球面時系統Q值降低大約為50%，而在此基礎上再加入非球面系統Q值下降幅度變小，說明隨著非球面個數的增加，其對系統優化的能力會越來越低，最終可能導致再增加非球面個數也無法提高成像質量。

之后，仍以 MTF作為評價函數的自適應歸一化實數編碼遺傳算法優化該鏡頭，步驟及參數與單個非球面優化時相同。經優化得到最終結果為第8面非球面系數為a2(8)=-1.646 ，第9面非球面系數為a2(9)=-1.092 時系統的MTF曲線最好。優化后的系統參數見表3 Optimized Ⅲ欄，優化后的MTF曲線如圖11所示。

圖9 系統中兩個光學面作為非球面時系統的Q值變化圖Fig.9 The Q value change diagram of the system when the two optical surfaces in the system are used as aspherical surfaces

表4 兩個光學面組合所得最小Q值及對應的非球面系數Tab.4 The minimum Q value and the corresponding aspheric coefficient obtained from the combination of two optical surfaces

從圖11中可以看出：第8和第9面作為非球面優化后，光學系統的MTF曲線較為平滑，未出現陡降，平均MTF值在0.5以上，最低處也大于0.3；與圖7、8相比MTF曲線整體上移，90°視場角后的曲線也較好，下降幅度不大，說明兩個面作為非球面優化更能兼顧大視場成像。因此相較于單個非球面優化，多個非球面優化結果更好。

圖10 第8面和9面作為非球面時系統波像差分布圖Fig.10 The distribution of the system wave aberration when the 8th and 9th surfaces are used as aspherical surfaces

圖11 第8、9面作為非球面優化后的MTF曲線圖Fig.11 The optimized MTF curve when the 8th and 9th surfaces are used as aspherical surfaces

4 結果討論

所采用的LU的四階波像差理論，其對于大視場小孔徑光學系統波像差計算較為精確，但當孔徑較大時計算精度有所下降，結果可能偏離實際。目前六階波像差理論尚未完善，無法用于本文中的理論計算，可以期待六階理論完善時，結合本文提出的方法對大孔徑光學系統進行更精確的計算研究。對于第6、8和9面三個光學面組合優化，本文尚未進行探討是否會有更好的結果。對于在光學系統中加入非球面進行優化雖然能有效改善系統成像質量，但隨著非球面的增多，再增加非球面個數最終可能會使成像質量的提升微乎其微甚至下降，因此優化時選擇非球面的個數也是值得研究的。

5 結 論

本文基于LU的平面對稱光學系統的像差理論，發展了一種有效確定非球面位置的方法，從而可以為超大視場光學系統的設計優化提供指導方法。該方法通過尋找非球面系數對系統成像質量影響較大的光學面，采用單個對非球面系數敏感的光學面或多個敏感面之間的組合作為非球面參與光學系統的優化可以有效的降低系統像差，得到較好的MTF曲線圖。

本文通過實例驗證了該方法的有效性，并且在優化光學系統時通過增加非球面的個數可以有效提升優化效果，并且多個非球面組合時，其對超大視場的優化明顯優于單個非球面優化的結果，通過兩個非球面組合優化得到了比單個非球面更好的結果，確定了該方法可以應用于復數非球面系統的優化，進一步增加了可以參加系統優化的變量，為光學系統的優化提供了新的思路。