基于改進雙鏈量子遺傳算法的有限元模型修正

陳志遠 雷建平 張梓喬

(武漢理工大學交通與物流工程學院 武漢 430063)

0 引 言

有限元模型修正本質上是一個以模型計算值與實測響應值之間的誤差構造目標函數，進行優化計算，找到目標函數最優解的過程．遺傳算法作為一種經典的進化算法，經過多年發展，在模型修正領域得到了廣泛應用．張瑞云等[1]總結遺傳算法的基本原理，并運用于結構模型修正．朱宏平等[2]對基于遺傳算法的模型修正方法進行改進，并運用在橋梁傳感器布置方案中，證明了該方法的應用價值．秦仙蓉等[3]針對岸橋結構的有限元模型修正問題，基于Kriging替代模型及遺傳算法對岸橋結構進行修正．結果表明該方法能有效修正岸橋結構參數的均值和標準差．陳義成[4]為提高發動機模型精度，建立整機穩態模型后，針對遺傳算法、微分進化算法和粒子群算法三種優化算法進行了機理分析并測試比較了各個算法的修正性能，最終提出一種基于自適應變慣性權重方法的改進粒子群算法，結果表明：該方法在滿足求解精度要求的同時提高了收斂性能和求解速度．康俊濤等[5]為更好控制鋼桁架拱橋施工過程中標高控制可靠度，采用基于遺傳算法優化的SVM模型為代理模型進行計算,并結合蒙特卡洛法求解施工期間標高控制可靠度，取得了良好的計算結果．

文中基于雙鏈量子遺傳算法，發現該算法中轉角步長函數的不足，采用反正弦函數構造新的轉角步長函數，并對改進后的算法進行可行性驗證．改進后的雙鏈量子遺傳算法的搜索精度及魯棒性均有提高，具有工程實際價值．

1 模型修正理論和優化算法

有限元模型修正是結構動力學中反問題的一種，參數型有限元模型的修正本質是求解多參數目標函數的最值，目標函數的構造是否合理直接影響著模型的修正效果．通常情況，目標函數都是基于理論值與實測值的相對誤差來確定的，其表達式為

(1)

式中：xa為實測響應；xb為理論響應．若相對誤差|Ew|小于允許誤差εw，表明理論模型與實際結構相關性較好．

構造出目標函數后，有限元模型修正問題轉化為求解最優的實際參數，使得目標函數|Ew|達到最小值．常用的優化算法有粒子群算法、神經網絡法、遺傳算法等．

1.1 遺傳算法(GA)

遺傳算法將目標函數的解用染色體表示，多組解即多個染色體構成一個種群，通過種群內部的遺傳、交叉和變異，逐代更新染色體，當目標函數值滿足精度要求或達到預設的最大代數時，結束進化，最終求得多目標函數的最優解．遺傳算法流程見圖1．

圖1 遺傳算法流程

在遺傳算法中，n維可行解的數學形式為x=[x1,x2,…,xn]T，x為一個染色體，x中所有取值稱為等位基因．根據目標函數的不同，x可以是一組整數或是某一范圍內的實數，甚至可以是一些純粹的記號．根據個體的表現型(函數值)，可由一定的規則計算出個體的適應度，適應度的計算規則與目標最優解相關，越是接近目標函數的最優點，適應度越大，反之越小．

1.2 量子遺傳算法(QGA)

量子計算中，量子比特起到儲存信息的作用，其本身具有|0〉、|1〉兩個基本狀態，每個量子位都是由這兩個基態任意線性組成的疊加態，疊加態|ψ〉的形式為

(2)

式中：ci為概率幅(possibility amplitude);|ci|2的意義為量子態|φ〉坍縮到其基態|φi〉的概率．由歸一化特性[6]，其表達形式為

(3)

量子態|ψ〉對應著Hilbert空間中的一個向量，基態|0〉、|1〉對應著向量空間中的一對標準正交基，其形式如下：因此，具有n個基因的染色體可用矩陣表示為

(4)

式中：|αi|2+|βi|2=1,i=1,2,…,n．

通常采用量子疊加性來產生初始種群，初始種群采用如下方式進行編碼：

(5)

量子態無法進行個體適應度計算，需要先對量子個體進行測量，再將結果轉化成經典信息，最終完成量子個體適應度的計算．

由量子比特Q(i)坍縮到一組確定解，確定解形式為

(6)

量子門控制量子態的旋轉對應著遺傳算法中的種群進化．量子態在量子門作用后發生酉變換，因此量子態的概率幅在發生變化后依舊滿足歸一化條件．量子旋轉表達式為

(7)

式中：|ψ〉為更新后的量子態;αi和βi為更新后量子態的概率幅．

量子旋轉后，各個基態的概率幅發生了變化，種群會朝著適應度更高的方向發展，最終收斂至最優種群從而求得最優解．通常情況，量子旋轉的方向與角度是根據查表確定的．

1.3 雙鏈量子遺傳算法及改進(DCQGA)

DCQGA與QGA的實現步驟基本類似，本節僅介紹二者的不同點．

在編碼方式上，雙鏈量子遺傳算法中，染色體采用量子比特的兩個概率幅直接進行編碼：

(8)

式中：tij=2π×rand，rand為0～1之間的隨機數；i=1,2,…,m；j=1,2,…,n；m為種群規模；n為量子位數．

在DCQGA中同樣使用量子旋轉門更新染色體，不同的是在種群旋轉更新的過程中，轉角Δθ是算法收斂的關鍵，其符號決定著種群進化的方向，其大小決定著種群更新的速度．在QGA中，轉角的參數通過查表來確定，過程繁瑣復雜且不能有效的利用反饋信息．為改善上述缺點，DCQGA基于梯度步長搜索理論構造轉角步長函數，充分利用了目標函數變化率的反饋信息，實現了轉角的動態更新，轉角步長函數為

(9)

相比而言，DCQGA提出了一種基于目標函數變化率的動態更新方法，較QGA更為合理，但該函數所得的實際轉角區間與較為合理的轉角區間[0.005π,0.1π]相差較大，而轉角過低影響算法的收斂速度，過高容易引起早熟收斂．

針對上述問題，本文嘗試采用一種新的基于目標函數搜索點處變化趨勢的轉角步長函數，以提高算法的收斂精度．改進的轉角步長函數為

(10)

改進后的函數滿足轉角區間[0.005π,0.1π]，更有利于種群的更新．

2 算法性能測試

為比較GA、QGA、DCQGA、改進DCQGA四者在性能上的差異，選取二維Ackley’s函數進行測試，比較四種算法的收斂精度、收斂次數及收斂用時．二維Ackley’s函數形式為

(11)

算法初始參數設置：基因位長度20，個體數量50，GA算法交叉概率0.7，變異概率0.05，最大迭代數100．每種算法各運行20次，計算結果對比見表1．

表1 算法結果對比表

由表1可知：改進轉角步長函數后的雙鏈量子遺傳算法S_DCQGA是一種搜索精度高、魯棒性強的優化算法，具有一定的實用價值．

3 數值算例驗證

以計算跨徑為4 m的懸臂工字鋼梁為例，假定鋼材因外界環境作用發生銹蝕，結構實際靜動力響應與初始有限元模型計算結果相比，出現較大偏差．

假定鋼板兩側銹蝕厚度相等，銹蝕后頂板、腹板、底板有效厚度分別減少了6.5，1.8和2.7 mm．選取頂板、腹板、底板的有效厚度和質量密度作為待修正參數，通過響應面法對該模型進行修正，因篇幅原因這里不再贅述．本例初始響應面函數采用二次多項式與動態權重法確定目標函數形式：

f=α1(1+Y1′/21.81)2+α2(1+Y2/22.18)2+

α3(1+Y3/28.23)2+β1(1-f1/8.059)2+

β2(1-f2/22.212)2+β3(1+f3/50.048)2

(12)

式中：f為目標函數值；αi、βi為動態權重系數．

確定目標函數形式后，采用改進雙鏈量子遺傳算法(S_DCQGA)對目標函數進行迭代求解，得到修正后的參數值，將修正后的各參數值代回有限元模型進行計算，最終得到修正后有限元模型．

修正前后參數值及相對誤差見表2，靜動力響應數據比較表見表3．

表2 參數修正前后比較表

表3 參數修正前后響應比較表

由表2～3可知：幾何參數修正后整體較參數終值小，質量密度修正后較參數終值大，分析認為這是由于初始有限元模型中未考慮預應力鋼束的剛度、橋面鋪裝的剛度影響，各參數修正后誤差最大為2.09%；靜力響應修正后整體較終值響應大，動力響應修正后整體較終值響應小，修正效果較為明顯．

為直觀反應模型修正結果，靜動力響應值修正前后誤差見圖2．各響應修正前后誤差均有大幅度縮小，最低誤差降至1.31%，表明基于改進雙鏈量子遺傳算法的有限元模型修正技術具有良好的實際意義和實用價值．

圖2 靜動響應修正前后誤差比較圖

4 結 束 語

文中基于量子遺傳算法及響應面法的有限元模型修正，并改進量子遺傳算法，實現了對懸臂式工字鋼梁的模型修正，修正后各響應誤差有明顯降低、修正后參數接近參數終值，修正效果良好，并驗證了采用改進DCQGA算法對參數迭代求解的可行性．

有限元模型修正的效率及準確性很大程度上取決于算法的性能，量子計算的應用目前還僅僅處于借鑒其思想的仿真階段，遠沒有挖掘出其真正的潛力．后續研究將進一步開發量子計算的能力并與其它優化算法相結合，構造出性能更加優越的算法．