準零剛度隔振系統吸引子遷移控制優化研究

陳旭超 刁愛民 楊慶超* 柴 凱

(海軍工程大學動力工程學院1) 武漢 430033) (海軍工程大學艦船與海洋學院2) 武漢 430033)

0 引 言

準零剛度隔振系統在平衡位置能提供較高的靜剛度和較低的動剛度，使其在低頻隔振方面效果顯著，在振動控制領域有著廣泛的應用前景．然而，由于非線性因素的影響，系統中可能存在多個穩定的吸引子，且不同的初始條件有可能對應不同振幅的吸引子，如果沒有受到擾動，系統的運動狀態不會發生改變，而當初始條件改變時，系統有可能躍遷到大振幅吸引子上，影響設備的正常工作，降低設備使用壽命．

在多吸引子系統中，通過施加吸引子遷移控制可以實現不同運動狀態之間的轉換．遷移控制算法由最早的開環控制，發展到開環控制和線性反饋控制相結合的 (open plus closed loop，OPCL)控制[1]，并經進一步優化，實現開環加非線性閉環(open plus nonlinear closed loop，OPNCL)的控制[2]．在實際應用方面，韓清凱等[3]對OPCL控制方法進行改進，實現了連桿機構的同步運動．沈建和等[4-5]進一步驗證了OPCL控制方法的全局性．趙建學等[6]利用開環加閉環的方法實現周期吸引子之間的遷移控制．柴凱等[7-8]利用OPCL控制和OPNCL控制等算法實現了周期吸引子之間、周期和混沌吸引子之間的遷移控制，并結合ADAMS仿真軟件驗證了OPCL控制方法的可行性．楊慶超等[9]使用OPNCL控制方法使兩自由度非線性系統在不同參數下始終處于小振幅持續混沌運動，能實現隱匿線譜信息和保持隔振性能的雙重功能．左兆倫等[10]將OPNCL控制算法應用于同步系統混沌吸引子控制，仿真結果顯示特征線譜強度明顯下降．

綜上所述，針對準零剛度隔振系統多吸引子共存且振幅相差較大的特點，文中以兩自由度準零剛度隔振系統為研究對象，分析了非線性系統的多吸引子共存現象以及不同吸引子對應的時間歷程圖和相圖，對OPNCL遷移控制算法進行優化設計，實現在任意初始條件下，系統最終都能運行于振幅最小、隔振效果最好的運動狀態．

1 兩自由度準零剛度隔振系統動力學分析

引用如下兩自由度準零剛度隔振系統的一階形式量綱-的量動力學微分方程.

γ(x1-x2)2-(x1-x2)3+fcos (ωt)

w(x1-x2)-wγ(x1-x2)2+w(x1-x2)3

(1)

式中：x=[x1,y1,x2,y2]為狀態變量；γ、f、ω、w、ξi、k2為系統參數．該系統為具有平方項和立方項的非自治耦合微分方程組，產生的輸出信號取決于系統的初始狀態變量．當參數取定為γ=2，w=0.5，k2=1，ω=1.6，f=6.8，ξi=0.1，i=1,2，第一組初始狀態向量取(0，0，-4，0.5)和(0，0，0，0)，系統(1)經歷瞬態并最終穩定于狀態A，時間歷程圖見圖1a)，取穩態后的相圖見圖1b)．第二組初始狀態向量取(0，0，0，3)和(0，0，-2，4)，系統(1)經歷瞬態后穩定于狀態B，時間歷程圖見圖2a)，顯然A的振幅小于B的振幅，則記狀態A為運行于小振幅吸引子上，狀態B為運行于大振幅吸引子上，取穩態后的相圖見圖2b)．

圖1 小振幅吸引子時域和相圖

圖2 大振幅吸引子時域和相圖

由圖2可知：大振幅吸引子和小振幅吸引子為兩種不同的形狀，小振幅吸引子類似于環狀，與大振幅子吸引子明顯不同．圖3為不同吸引子對應的功率譜圖，由圖3可知：大振幅吸引子對應的功率譜比小振幅吸引子對應的功率譜大0.99 dB，顯然處于小振幅吸引子更有利于設備的正常工作．

圖3 不同初始條件下共存吸引子功率譜圖

保留系統參數設置，設置初始條件(x1,y1)=(0,0)，以-6≤x2≤6,-10≤y2≤10為分析平面，利用胞參考點映射法得到兩個共存吸引子對應的吸引域分布圖，見圖4．結合圖1～2可知：黑色區域和紅色區域分別為大振幅吸引子B和小振幅吸引子A的吸引域．在具有初值敏感性的非線性系統中，兩個吸引子都有其對應的吸引域，即從同一吸引域出發的相軌跡都將漸進穩定于該點所屬的吸引子，從不同吸引域出發的相軌跡將運行于不同的吸引子，說明共存吸引子具有漸進穩定性．

圖4 共存吸引子吸引域分布圖

2 共存吸引子遷移控制優化

2.1 遷移控制

吸引子遷移控制的基本原則是對原系統施加控制，使得受控系統的目標軌道存在局部穩定區域與共存吸引子的吸引域部分重疊，當原系統運行到重疊部分時，啟動控制，這樣受控系統就可沿著該穩定軌道運行[11-12]．當該軌道的起點在一個吸引子上，終點在另一個吸引子的吸引域時，則可以實現從一個吸引子到另一個吸引子的遷移控制．在兩自由度準零剛度隔振系統上添加控制器U=(u1，u2，u3，u4)T，得到如下受控系統：

(2)

若將系統(1)控制到目標軌道g=(g1，g2，g3，g4)上，定義誤差信號為ei=xi-gi,i=1,2,3,4．將誤差變量代入受控系統(2)得到誤差系統.

(3)

選用OPNCL控制算法中的控制項.

(4)

式中：

γ(g1-g3)2-(g1-g3)3+fcos(ωt)

wξ1(g2-g4)+w(g1-g3)-

wγ(g1-g3)2+w(g1-g3)3

(5)

(6)

(7)

其中：Δ1=g1-g3，Δ2=e1-e3．

2.2 遷移控制優化

(8)

式中：ε為實數．控制流程圖見圖5．

圖5 優化后的遷移控制系統結構

3 數值仿真

設置激勵力幅值為6.8，取ε=0.6，目標函數g1=g3=1.5+sin(0.5t)，g2=g4=0.5cos(0.5t)，輸入初始條件xp=[0,0,-1.98,-6.5]，基座的相軌跡和時間歷程圖見圖6．由圖6可知：系統經歷瞬態并最終運行于小振幅吸引子．輸入初始條件xp=[0,0,-1.02,3.1]，基座的相軌跡和時間歷程圖見圖7．由圖7可知：系統剛開始運行于大振幅吸引子，當系統運行至大振幅吸引子與目標軌道g(t)鄰域的重疊區域時啟動了遷移控制，系統迅速遷移至目標軌道g(t)或g(t)的鄰域；當系統運行至目標軌道g(t)鄰域與小振幅吸引子對應吸引域的重疊區域時，關閉控制，系統逐漸遷移并最終穩定運行于小振幅吸引子．由第二節所述胞映射的分析結果可知兩個初始條件分別對應不同的吸引子，驗證了仿真結果的正確性．

圖6 xp=[0,0,-1.98,-6.5]時基座的相軌跡和時間歷程圖

圖7 xp=[0,0,-1.02,3.1]時基座的相軌跡和時間歷程圖

在胞映射分析平面之外取點，輸入初始條件xp=[0,0,-10,-10]，取穩態之后基座的相軌跡見圖8a)．由圖8a)可知：系統始終運行于小振幅吸引子．輸入初始條件xp=[0,0,-10,-5]，基座的相軌跡見圖8b)．由圖8b)可知：系統剛開始運行于大振幅吸引子，但是經過自適應控制之后最終穩定運行于小振幅吸引子．

對比以上結果可知系統從大振幅吸引子自動遷移到了小振幅子吸引子上，系統的振幅降低，達到了小振幅吸引子自適應遷移控制的目的．此外，在遷移過程結束后，控制函數s為0，意味著不需要持續施加控制能量，滿足實際工程應用中的低能耗需求．

4 結 論

1) 兩自由度準零剛度隔振系統存在多吸引子共存的現象，初始條件的改變會使系統由小振幅吸引子遷移到大振幅吸引子上．

2) 優化后的遷移控制方法能夠在任意初始條件下使系統最終穩定在小振幅吸引子上，從而降低基座的振幅，提升隔振性能，并且該方法具有穩定性強、能耗低的特點．