淺議輔助線在初中平面幾何解題中的應用

摘要：解答初中數學平面幾何問題時添加輔助線，才能更好地揭示線段、圖形之間的內在聯系.為使學生掌握添加輔助線的技巧，應注重為學生講解輔助線在解答平面幾何問題中的具體應用，使其積累相關的添加技巧，提高平面幾何解題能力.

關鍵詞：輔助線;平面幾何;解題應用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）17-0020-03

收稿日期：2022-03-15

作者簡介：李士偉（1975.6-），男，山東省濟南人，本科，中級教師，從事初中數學教學研究.

添加輔助線對學生的能力要求較高，為更好的提高學生的解題自信，既要注重為學生講解添加輔助線的相關理論知識，又要優選經典例題為學生展示輔助線的應用過程，啟發學生高效解題，以免其在以后的解題中走彎路.

1 結合對稱點添加輔助線

已知如圖1，△ABC為直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，D為BC上一動點，連接AD，若AC=1，S△ABC=32，則AD+12BD的最小值為（）.

A.32B.3C.2D.332

根據題干描述，因為∠C=90°，AC=1，S△ABC=12AC×BC=32，所以BC=3.作DE⊥AB，垂足為點E，如圖1所示，因為∠B=30°，所以DE=12BD，問題轉化為求AD+DE的最小值.作點A關于BC的對稱點A′，過點A′作A′E′⊥AB，垂足為E′，與BC的交點為D′，則A′E′的長就是要求的值.容易得到∠A′=∠A=30°，所以D′C=ACtan30°=33，BD′=BC-D′C=3-33=233.易知AD′=BD′=A′D′=233，D′E′=12BD′=33，所以A′E′=A′D′+D′E′=233+33=3，選擇B項.

再如圖2，在△ABC中，AB=2，BC=3，D是三角形內的一點，CD=2，∠ADC+∠B=180°，求解當∠B為何值時，△ABC和△ADC的面積差最大，最大值是多少？

解析將△ADC沿著AC進行翻折得到△AD′此時兩個三角形全等，∠AD′C+∠B=∠ADC+∠B=180°，因此，四邊形ABCD′內接于圓，所以AB=CD=CD′=2，得出四邊形ABCD′是等腰梯形，所以A′D′∥BC.

作AE、D′F垂直于BC，垂足分別是E、F，所以A′D′=EF，BE=CF，所S=S△ABC-S△ADC=S△ABC-S△AD′C=2cosB2sinB≤2，所以當B=π4時，S取最大值2.

點評解答平面幾何線段長度最小值問題時可借鑒“將軍飲馬”模型的思想方法，通過找到對稱點添加輔助線確定最小值點的具體位置，問題也就迎刃而解.

2 結合圖形性質添加輔助線

如圖3，等腰△ABC的內切圓O分別和三邊切于點D、E、F，若AB=AC=5，BC=6，則DE的長為（）.

A.31010B.3105C.355D.655

根據題意，連接OA、OB、OE，其中OB和DE交于點H.由△ABC為等腰三角形，可知，OA平分∠A，AO⊥BC，而OE⊥BC，因此，點A、O、E在同一直線上.由BC=6，可得BE=EC=3.在直角△ABE中，因為AB=AC=6，由勾股定理得到AE=4.又因為BE=BD=3，所以AD=5-3=2.設圓的半徑為r，在直角三角形ADO中，由勾股定理得到：r2+4=（4-r）2，解得r=32.在直角△BOE中，BO2=BE2+OE2，解得BO=32+（32）2=352，則HE=BE·OE/BO=355，所以DE=2HE=655，選擇D項.

再比如，如圖4所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC和BD垂直，且相交于點O，MN是梯形ABCD的中位線，∠DBC=30°.求證：AC=MN.

解析根據已知條件可以得出MN=12（AD+BC），欲證明AC=MN，只需要證明AC=12（AD+BC）.因此，可以將上底AD移到到下底所在直線，和BC相加，即過點D作DE∥AC，和BC延長線相交于點E，則可以得出∠BDE=∠BOC=90°.通過這樣的方式將問題轉化成求解銳角是30°的直角三角形的問題.

點評運用輔助線分析平面幾何問題時應結合問題題設的情境，認真分析相關圖形的性質，如矩形、平四邊形、菱形、圓形等，結合圖形性質添加輔助線.通過添加輔助線運用圖形性質進行求解.

3 結合線段關系添加輔助線

如圖5，已知AP∥BC，點E是DC的中點，且AD+BC=AB，求證：AE⊥BE.

根據題意，分別延長AE，BC交于點E.因為AP∥BC，所以∠1=∠M.又因為E是DC的中點，所以DE=EC，而∠5=∠6，所以△ADE≌△MCE，則AD=MC，AE=EM，又因為AD+BC=AB，所以MC+BC=AB，而MC+BC=BM，所以AB=BM，所以△AEB≌△MEB，所以∠AEB=∠MEB，又因為∠AEB+∠MEB=180°，所以∠AEB=90°，即，AE⊥BE，得證.

再比如，如圖6所示，四邊形ABCD是任意四邊形，E、F、G、H是AB、BC、CD、DA的中點，M、N是對角線BD、AC的中點，求證：EG、HF通過MN的中點.

解析欲證明三條線段在圖中的關系，需要找出其存在的內在關聯，題目已知條件中的中點比較多，可以任意選擇一個頂點，如A作為位似中心，根據位似比將BC縮小，連接EN，得到EN等于和平行BC的一半，采用相同的方式組成更易于解答問題的平行四邊形，從而完成題目的解答.

點評當習題的已知條件中涉及到線段的長度關系時，添加輔助線時應注重等量代換，而后運用三角形全等、相似等相關知識進行破題.

4 結合角度關系添加輔助線

如圖7，在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BC垂直，∠BAC=30°，BC=23，在AB邊的下方作射線AG，使得∠BAG=30°，E為線段DC上一個動點，在射線AG上取一點P，連接BP，使得∠EBP=60°，連接EP交AC于點F，在點E運動的過程中，當∠BPE=60°時，求AF的長.

連接PC和AB交于點T，作PN⊥AB于點N，作CM⊥PC和PE的延長線交于點M.根據已知條件可知AB=2BC=23，AC=3BC=6，∠ABC=60°.又因為∠EPB=∠EBP=60°，則△EPB為等邊三角形，所以∠PEB=60°.又因為∠BCE=180°-∠ABC=120°，即，∠EPB+∠BCE=180°，所以P、B、C、E四點共圓，∠PCB=∠PEB=60°，∠MPC=∠EBC.易得出△TCB為等邊三角形，所以∠BCT=60°，∠ACT=30°，BT=BC=AT=23.因為∠BAG=∠BAC=30°，所以∠APC=90°，所以PA=AT·cos30°=3，AN=PA·cos30°=332，PN=12PA=32，PC=3PA=33，則BN=AB-AN=532，容易推出△PCM∽△BNP，則CM/PN=PC/BN，則CM=95，因為PA⊥PC，CM⊥PC，所以CM∥PA，所以AF/FC=PA/CM=5/3，則AF=58AC=154.

綜上，為更好的提高學生應用輔助線解答初中數學平面幾何的能力，教師在講解例題的過程中既要注重與學生積極互動，驅使學生主動的思考、討論，又要結合具體例題進行輔助線應用的方法點撥，使學生積累更多的添加輔助線的經驗.另外，還應鼓勵學生做好聽課以及平時訓練的總結，掌握不同題型添加輔助線的技巧.

參考文獻：

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[2] 張金旺.初中生數學學習中添加輔助線的能力培養策略[J].學周刊，2020（25）：99-100.

[3] 李威.初中生數學學習中添加輔助線的能力培養策略[J].數學學習與研究，2019（15）：53.

[責任編輯：李璟]