基于黏度時變性的Herschel-Bulkley流體劈裂注漿擴散特性研究

劉海明，盧昊正，南 敢，王忠偉，梁 瑞，丁文云

（1.昆明理工大學建筑工程學院，云南昆明 650500；2.保（山）施（甸）高速公路投資開發(fā)責任公司，云南保山 678200；3.中鐵二院昆明勘察設計研究院有限責任公司，云南昆明 650500）

引言

在公路、邊坡、隧道等工程施工中，滑坡、崩塌、泥石流等自然地質(zhì)災害時有發(fā)生，不僅導致工期延誤和經(jīng)濟損失，甚至會造成人員傷亡。注漿是指用一定的壓力將漿液通過導管注入到土體中，通過填充裂縫和孔隙［1］、排擠水分和氣體，硬化后膠結(jié)土體，從而改善土的性質(zhì)以達到防滲和加固的效果，因此注漿技術(shù)已成為自然地質(zhì)災害防治的有效手段之一。劈裂注漿應用廣泛，但機理較為復雜，目前針對這方面的研究相對較少，其理論遠遠滯后于工程建設，影響了注漿技術(shù)在工程地質(zhì)災害防治領(lǐng)域的應用。

漿液在土體中的擴散很大程度上決定了注漿加固的效果［2］，另一方面，注漿擴散過程可能會對地下水環(huán)境造成污染［3］。秦鵬飛［4］利用PFC2D模擬漿液的擴散過程，從細觀的角度揭示了漿液改變地層孔隙率的機理，探究了漿液黏結(jié)強度的影響。張玉等［5］通過注漿參數(shù)的正交試驗，總結(jié)出漿液在不同參數(shù)及水平影響下的擴散規(guī)律，闡述了漿液滲透與流動的關(guān)系。歐陽進武等［6］針對賓漢流體的劈裂注漿問題，推導出漿液擴散方程，并研究了漿液在地基土中的流動。魏建平等［7］建立了考慮漿液自重的隧道注漿模型，證明了注漿改良斷層圍巖的可行性。Zhou等［8］開展了大壓力、注漿試驗，研究高注漿速度對孔隙率的影響。Sun等［9］基于粒子流理論，模擬了土體中的裂隙注漿的過程，分析了不同注漿參數(shù)時漿液的流動特性。Li等［10］建立了適用于隧道和地下軟弱圍巖的劈裂注漿計算模型，該模型考慮了時變性的影響，可求得裂隙寬度和注漿壓力的經(jīng)驗解。楊秀竹［11］等推導出冪律型漿液在巖體中漿液擴散半徑計算公式。阮文軍［12］建立了穩(wěn)定性漿液注漿擴散模型，其理論計算結(jié)果與工程實際相符。在巖土及其他領(lǐng)域，學者們對Herschel-Bulkley流體的流動規(guī)律進行了研究。李靖祺等［13］采用Herschel-Bulkley模型研究自密實混凝土的流動性能，Khamehchi等［14］通過實驗證明該模型能更準確地描述微泡鉆井液的流動過程，張廣等［15］采用上述模型研究磁流變膠的流動特性。國外也有學者化學、生物及其他領(lǐng)域?qū)erschel-Bulkley模型用于研究流體的流變特性［16－17］。

綜上所述，注漿理論對注漿參數(shù)的確定起指導性作用［18～19］，目前Herschel-Bulkley流變模型在注漿領(lǐng)域的研究較少，亟待完善有關(guān)理論。文中基于Herschel-Bulkley流變模型，假定漿液平板窄縫流動，考慮黏度的時變性，推導了劈裂注漿擴散半徑理論公式，分析了注漿參數(shù)對漿液擴散半徑的影響；并與不同流變模型計算結(jié)果及工程實例進行對比，以完善劈裂注漿理論的發(fā)展，從而為劈裂注漿技術(shù)在實際工程地質(zhì)災害防治的應用提供一定的指導作用。

1 劈裂注漿擴散公式推導

1.1 注漿基本假定

針對劈裂注漿擴散過程，基本假定如下所示：

（1）漿液為Herschel-Bulkley流體；

（2）裂縫中漿液的流動為層流；

（3）漿液流動過程中速度恒定；

（4）漿液黏度隨時間變化；

（5）視漿液的運動路徑為平板窄縫型，且其高度與寬度均勻，即δ(x)=δ,b(x)=b；（6）受注土層各向同性。

1.2 Herschel-Bulkley模型方程

Herschel-Bulkley模型與屈服應力相關(guān)，應用于土體劈裂注漿時，其本構(gòu)方程為：

式中：τ0為屈服應力；K為稠度系數(shù)；γ為剪切速率；n為流變指數(shù)；τ為剪切應力。

Herschel-Bulkley模型對于幾類常用流體都具有良好的適用性，其表達式如表1所示。

表1 不同流體模型參照表Table 1 Reference table for different fluid models

考慮時變性，對于漿液的剪切速率，有如下關(guān)系：

式中：υ為流動速度；y為中心高度。

黏度的改變直接影響注漿，在注漿過程中，漿液的黏度隨時間逐漸增加。根據(jù)已有的研究［20］，考慮時間的影響，得漿液黏度的公式如式（3）所示。而流變指數(shù)可取n()

t≈n，因為時間對其影響不明顯。

式中：K(t)為t時刻的稠度系數(shù)；C0為初始稠度系數(shù)；w為時變系數(shù)。

根據(jù)已有的研究［21］，初始稠度系數(shù)取值范圍為10～70內(nèi)，時變系數(shù)取值范圍為9×10－3～33×10－3。

由式（1）計算可得K(t)，再代入式（3），可得式（4）

1.3 注漿公式推導

平板窄縫漿體力學分析模型如圖1所示。

圖1 平板窄縫模型Fig.1 Flat slit model

由流體動力與阻力平衡的條件，得如下方程（5）和（6）：

式中：Δp為漿液壓力差；b為土體裂隙寬度；L為土體裂隙長度；δ為土體裂隙高度；τ為剪應力；τe為剪切應力。

計算式（5）和式（6），轉(zhuǎn)化形式得：

聯(lián)立式（1）與式（2）得：

將式（3）代入式（9）得：

式中：C為常數(shù)。

將式（11）代入式（10）得：

為方便后續(xù)公式推導與計算，將式（12）轉(zhuǎn)換為積分形式，轉(zhuǎn)換如下：

聯(lián)立式（7）與式（8）得：

將式（14）代入式（13）并變換積分變量得：

由式（15）得：

將式（7）與式（8）代入上式得：

通過平板寬度b和平板縫隙厚度δ的單位時間流量q為：

將式（17）代入上式得：

2 漿液擴散特性分析

基于推導的劈裂注漿公式，對影響漿液擴散半徑的各參數(shù)展開分析。參數(shù)基本取值如表2所示。

表2 參數(shù)基本取值表Table 2 Parameter basic value table

2.1 注漿壓力差

（1）注漿壓力差與初始稠度系數(shù)的關(guān)系

基于Herschel-Bulkley流體，針對注漿壓力差ΔP的改變，取不同流變指數(shù)n，其他參數(shù)取值如表2，研究初始稠度系數(shù)C0的影響。根據(jù)式（19）進行計算，注漿壓力差ΔP值如圖2所示。

分析圖2結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在其他參數(shù)相同的條件下，當初始稠度系數(shù)C0提高，注漿壓力差ΔP也增大；流變指數(shù)n減小時，注漿壓力差ΔP也減小；二者呈正相關(guān)。實際注漿中，水灰比越大，為達到同等注漿半徑，所需注漿壓力越小，公式結(jié)果與實際相符。

圖2 初始稠度系數(shù)對注漿壓力差的影響Fig.2 The influence of initial consistency coefficient

（2）注漿壓力差與漿體時變系數(shù)的關(guān)系

基于Herschel-Bulkley流體，針對注漿壓力差ΔP的改變，取不同流變指數(shù)n，其他參數(shù)取值如表2，研究時變系數(shù)w的影響。根據(jù)式（22）進行計算，注漿壓力差ΔP值如圖3所示。

分析圖3結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在其他參數(shù)相同的條件下，當流變指數(shù)n小于1.0時，時變系數(shù)w的改變，對注漿壓力差ΔP幾乎無影響。當n=1.3、1.5時，當w由0.010增大到0.025時，所需的ΔP開始增大；當w由0.025增大到0.030時，此時ΔP的增大幅度迅速提高，時變系數(shù)w的影響顯著。

圖3 漿體時變系數(shù)對注漿壓力差的影響Fig.3 The influence of the time-varying coefficient of slurry on the grouting pressure difference

（3）注漿壓力差與裂隙高度的關(guān)系

基于Herschel-Bulkley流體，針對注漿壓力差ΔP的改變，取不同流變指數(shù)n，其他參數(shù)取值如表2，研究裂隙高度δ的影響。根據(jù)式（19）進行計算，注漿壓力差ΔP值如圖4所示。

圖4 裂隙高度對注漿壓力差的影響Fig.4 The influence of the height of the crack on the grouting pressure difference

分析圖3結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在其他參數(shù)相同的條件下，裂隙高度δ增大到0.005時，漿體達到相應擴散半徑所需注漿壓力差ΔP也迅速降低；而流變指數(shù)n越小，δ的影響越不明顯，即ΔP的降低幅度越小。而δ＞0.005時，ΔP的降低速度逐漸放緩，直至趨于不變。

（4）注漿壓力差與注漿時間的關(guān)系

基于Herschel-Bulkley流體，針對注漿壓力差ΔP的改變，取不同流變指數(shù)n，其他參數(shù)取值如表2，研究注漿時間t的影響。根據(jù)式（19）進行計算，注漿壓力差ΔP值如圖4所示。

分析圖5結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在其他參數(shù)相同的條件下，注漿時間t與壓力差ΔP呈正相關(guān)。當t＜6 min時，注漿時間的影響不明顯，此時注漿所需壓力不大；當t大于6 min時，注漿時間的影響顯著，即注漿越到后期所需壓力越大；而流變指數(shù)n越小，時間對注漿壓力的影響越不明顯，因為漿液水灰比增大；上述分析與實際相符。

圖5 注漿時間對壓力差的影響Fig.5 The influence of grouting time on grouting pressure difference

2.2 注漿擴散半徑

（1）漿液最大擴散半徑與注漿壓力差、流變指數(shù)的關(guān)系

基于Herschel-Bulkley流體，針對漿液最大擴散半徑Lmax的改變，取不同流變指數(shù)n，注漿時間t=3 min，初始稠度系數(shù)C0=10，其他參數(shù)取值如表2，研究注漿壓力差ΔP的影響。根據(jù)式（19）進行計算，漿液最大擴散半徑Lmax值如圖6所示。

圖6 注漿壓力差、流變指數(shù)對漿液最大擴散半徑的影響Fig.6 The influence of grouting pressure difference and rheological index on the maximum diffusion radius of grout

分析圖6結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在其他參數(shù)相同的條件下，壓力差ΔP的增大和流變指數(shù)n的減小，均可提高漿液最大擴散距離；且n越大，擴散距離的增大幅度越小，此時注漿壓力差ΔP的變化對漿體最大擴散半徑Lmax的影響也越來越小。原因是當n大于1時，此時漿液水灰比較小，黏度較大不易擴散；當n小于1時，漿液可認為是帶屈服值的擬塑性流體，在裂隙中更易流動，因此擴散半徑較大。

（2）漿液最大擴散半徑與注漿壓力差、初始稠度系數(shù)之間的關(guān)系

基于Herschel-Bulkley流體，針對漿液最大擴散半徑Lmax的改變，取不同初始稠度系數(shù)，流變指數(shù)n=0.2，注漿時間t=6 min，漿體時變系數(shù)w=0.01，其他參數(shù)取值如表2，研究注漿壓力差的影響。根據(jù)式（19）進行計算，漿液最大擴散半徑Lmax值如圖7所示。

圖7 注漿壓力差、初始稠度系數(shù)對漿液最大擴散半徑的影響Fig.7 The influence of grouting pressure difference and initial consistency coefficient on the maximum diffusion radius of grout

分析圖7結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在其他參數(shù)相同的條件下，漿液最大擴散半徑Lmax與稠度系數(shù)K成反比，即稠度系數(shù)K越小，最大擴散半徑Lmax越大，即黏度越小，漿液越容易擴散；漿液最大擴散半徑Lmax與注漿壓力差ΔP成正比，即ΔP越大，最大擴散半徑Lmax越大。

（3）最大擴散半徑與壓力差、時變系數(shù)的關(guān)系

基于Herschel-Bulkley流體，針對漿液最大擴散半徑Lmax的改變，取不同注漿壓力差，注漿時間t=6min，其他參數(shù)取值如表2，研究時變系數(shù)w的影響。根據(jù)式（19）進行計算，漿液最大擴散半徑Lmax值如圖8所示。

圖8 注漿壓力差、漿體時變系數(shù)對漿液最大擴散半徑的影響Fig.8 The influence of grouting pressure difference and slurry time-varying coefficient on the maximum diffusion radius of slurry

分析圖8結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在其他參數(shù)相同的條件下，漿體時變系數(shù)w由0.010增加到0.019的過程中，漿液擴散半徑變化明顯，且下降速度逐漸放緩；當w大于0.019時，此時繼續(xù)增加，Lmax變化也不明顯，直至趨近于0。

（4）最大擴散半徑與裂隙高度的關(guān)系

基于Herschel-Bulkley流體，針對漿液最大擴散半徑Lmax的改變，取不同流變指數(shù)，注漿時間t=6min，其他參數(shù)取值如表2，研究裂隙高度δ的影響。根據(jù)式（22）進行計算，漿液最大擴散半徑Lmax值如圖9所示。

分析圖9結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在其他參數(shù)相同的條件下，漿液最大擴散半徑Lmax與裂隙高度δ成正比，且流變指數(shù)越小，裂隙高度δ對最大擴散半徑Lmax的影響更為顯著。裂隙高度的擴大，有利于漿液的流動，因此最大擴散距離也提高；而隨著流變指數(shù)n的增大，水灰比減小，漿液變稠，此時增加裂隙高度δ也沒有明顯變化。

圖9 裂隙高度對漿液最大擴散半徑的影響Fig.9 The effect of the height of the crack on the maximum diffusion radius of the slurry

（5）漿液最大擴散半徑與注漿時間的關(guān)系

基于Herschel-Bulkley流體，針對漿液最大擴散半徑Lmax的改變，取不同流變指數(shù)，其他參數(shù)取值如表2，研究注漿時間t的影響。根據(jù)式（19）進行計算，漿液最大擴散半徑Lmax值如圖10所示。

圖10 注漿時間對漿液最大擴散半徑的影響Fig.10 The influence of grouting time on the maximum diffusion radius of grout

分析圖10結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在其他參數(shù)相同的條件下，當注漿時間t=1 min時，此時漿液擴散半徑最大；之后增大注漿時間，最大擴散半徑變小。在同樣的注漿時間里，增大流變指數(shù)n，最大擴散半徑也減小，且半徑減小的幅度逐漸下降，趨近于0。

3 公式計算結(jié)果對比

根據(jù)廈門隧道注漿試驗數(shù)據(jù)［21］，大部分的地表冒漿都出現(xiàn)在距注漿孔1.5～2.5 m的區(qū)域內(nèi)，而地表開裂冒漿位置可以表明注漿有效擴散范圍（擴散半徑）。

根據(jù)文獻［21］中考慮黏度時變性的賓漢流體漿液擴散半徑計算公式，對于平板裂縫理想平面流模型：在注漿壓力差ΔP=0.15 MPa，流速υ=0.01 m/s，裂隙高度δ=0.01 m，初始稠度系數(shù)C0=15，漿體時變系數(shù)w=0.01，注漿時間t=20 min條件下，本文理論公式（19）計算出土體中漿液的最大擴散半徑為2.2 m；而應用文獻［21］中的公式計算得出的最大擴散半徑為2.0 m，兩者相差不大。由以上分析可知，文中公式（19）漿液擴散半徑計算理論值在工程實測值范圍內(nèi)，可驗證公式的正確性。

4 結(jié)論

（1）基于Herschel-Bulkley流變模型，并結(jié)合平板裂縫流動模型，在考慮黏度時變性的條件下，推導出劈裂注漿Herschel-Bulkley流變模型的漿液擴散半徑計算公式。Herschel-Bulkley模型綜合了不同模型的特點，且本文公式考慮了黏度的時變性，適用性較好。

（2）對影響漿液擴散半徑的各參數(shù)進行分析，結(jié)果表明：注漿壓力和裂隙高度的提高，有利于漿液的擴散，與漿液擴散半徑呈正相關(guān)；考慮漿液的時變性，而注漿時間、時變系數(shù)、流變指數(shù)、初始稠度系數(shù)的提高，均會提升漿液所受阻力，不利于擴散，與漿液擴散半徑呈負相關(guān)。

（3）通過與不同流體模型漿液擴散半徑計算公式的理論值進行對比，二者相差不大，且基本符合實際工程，驗證了文中公式的正確性。

（4）文中假設漿液為Herschel-Bulkley流體，基于平板裂縫流動模型；視漿體的運動路徑為平板窄縫型，且其高度與寬度均勻，實際土體劈裂注漿過程中裂縫分布不均勻，因此在今后的研究中有必要進一步進行探討。