動(dòng)態(tài)調(diào)整成長(zhǎng)方式的郊狼優(yōu)化算法及其應(yīng)用

嚴(yán)逍亞，王振雷，王昕

（1.華東理工大學(xué)能源化工過(guò)程智能制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200237；2.上海交通大學(xué) 電工與電子技術(shù)中心，上海 200240）

0 概述

在科學(xué)研究和工程應(yīng)用中亟待解決的優(yōu)化問(wèn)題越來(lái)越多，其多數(shù)為具有不確定性、多峰值、多模態(tài)特性的復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題。隨著優(yōu)化問(wèn)題的復(fù)雜性增加，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法很難有效地處理此類復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題。此外，很多實(shí)際應(yīng)用中的優(yōu)化問(wèn)題都需要在滿足不同類型的約束條件下進(jìn)一步追求解的質(zhì)量，因?yàn)楦鞣N各樣約束條件的存在，縮減了問(wèn)題的可行區(qū)域，搜索過(guò)程變得復(fù)雜，這更增加了計(jì)算的復(fù)雜性和求解的難度。

對(duì)比經(jīng)典的數(shù)學(xué)優(yōu)化方法，智能算法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、適用性強(qiáng)、參數(shù)較少、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，這些進(jìn)化算法往往同合適的約束處理方法相結(jié)合，從而更有效地處理約束方法，成為優(yōu)化領(lǐng)域研究發(fā)展的趨勢(shì)之一，如粒子群算法［1-2］、差分進(jìn)化算法［3］、教學(xué)優(yōu)化算法［4-5］、人工蜂群算法［6］、鯨魚優(yōu)化算法［7］和水波優(yōu)化算法［8］等。進(jìn)化算法與約束處理方法結(jié)合方式多樣，如文獻(xiàn)［4］針對(duì)算法尋優(yōu)時(shí)出現(xiàn)的不同情況分別調(diào)用合適的約束處理方法，從而提高了對(duì)約束條件處理的有效性。文獻(xiàn)［9］提出一種由學(xué)習(xí)和進(jìn)化兩個(gè)階段構(gòu)成的約束進(jìn)化算法，學(xué)習(xí)階段用于挖掘約束與目標(biāo)函數(shù)之間的相關(guān)性，進(jìn)化階段利用相關(guān)性通過(guò)加權(quán)更新方法和存檔替換機(jī)制進(jìn)行約束優(yōu)化。文獻(xiàn)［10］設(shè)計(jì)一種兩階段約束進(jìn)化方法，通過(guò)當(dāng)前種群的狀態(tài)調(diào)整適應(yīng)度評(píng)價(jià)策略，使種群在一個(gè)階段中跨越不可行區(qū)域到達(dá)可行區(qū)域，在另一個(gè)階段沿著可行邊界擴(kuò)散，以自適應(yīng)地平衡目標(biāo)和約束條件。雖然許多群智能算法已在求解約束優(yōu)化領(lǐng)域取得了較好的表現(xiàn)，但尋優(yōu)精度、穩(wěn)定性都有了進(jìn)一步提升的空間。因此，設(shè)計(jì)尋優(yōu)精度與穩(wěn)定性更高的算法依然是研究的熱點(diǎn)。

郊狼優(yōu)化算法（Coyote Optimization Algorithm，COA）為PIEREZAN 教授［11］在2018 年提出的一種模擬郊狼成長(zhǎng)、生死等現(xiàn)象的新型群智能算法，其獨(dú)特的算法結(jié)構(gòu)為優(yōu)化過(guò)程中探索與開發(fā)的平衡提供了新的機(jī)制，故不少學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究［12-13］，并應(yīng)用到電力系統(tǒng)和物聯(lián)網(wǎng)等領(lǐng)域［14-16］。文獻(xiàn)［17］對(duì)基礎(chǔ)COA 算法進(jìn)行了改進(jìn)，利用全局最優(yōu)指導(dǎo)最差郊狼更新，同時(shí)加入一種隨機(jī)擾動(dòng)操作來(lái)增加種群的多樣性，使算法能更大范圍地進(jìn)行全局尋優(yōu)。文獻(xiàn)［18］提出一種相互作用的文化趨勢(shì)，使其值受到子種群個(gè)體彼此間作用的影響，從而增強(qiáng)了算法的全局搜索能力，將改進(jìn)后的郊狼優(yōu)化算法應(yīng)用到了醫(yī)學(xué)圖像增強(qiáng)問(wèn)題上獲得了滿意的效果。文獻(xiàn)［19］用組外貪心策略取代原COA 算法的組內(nèi)貪心策略，提高了算法的運(yùn)行速度，同時(shí)通過(guò)郊狼間信息共享的方式增加了種群多樣性。文獻(xiàn)［20］將COA 和文化算法聯(lián)系起來(lái)，提出了文化郊狼算法，改善了COA 算法在探測(cè)與開發(fā)之間的平衡。

雖然COA 算法貢獻(xiàn)了不同的算法結(jié)構(gòu)和機(jī)制來(lái)實(shí)現(xiàn)優(yōu)化過(guò)程中探索和開發(fā)兩者之間的平衡［15］，但是在以下方面還有待提升：COA 通過(guò)子種群內(nèi)頭狼和組文化趨勢(shì)兩者來(lái)指導(dǎo)組內(nèi)郊狼社會(huì)位置更新，雖然增強(qiáng)了算法的開發(fā)能力，但在求解具有多個(gè)局部極值的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，子種群中頭狼處于局部最優(yōu)位置的概率大幅增加，由于頭狼在搜索中的指導(dǎo)作用，子種群中其余郊狼很容易被頭狼引導(dǎo)至其處于的局部最優(yōu)位置，從而造成算法的早熟收斂；在COA 算法中每次迭代時(shí)，子種群內(nèi)郊狼在相同的頭狼和組文化趨勢(shì)指導(dǎo)下一直保持著恒定的成長(zhǎng)方式，隨著迭代的進(jìn)行，種群相似度變高，弱化了算法的搜索能力；子種群內(nèi)郊狼的信息共享程度不高，在求解復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，全局搜索能力較弱。

本文提出一種動(dòng)態(tài)調(diào)整成長(zhǎng)方式的郊狼優(yōu)化算法（Coyote Optimization Algorithm with Dynamically adjusting Growth mode，DGCOA）。通過(guò)引入變異交叉策略增強(qiáng)種群多樣性，并提出一種新的郊狼成長(zhǎng)更新方法，不僅加入全局最優(yōu)個(gè)體來(lái)指導(dǎo)搜索，而且在新的成長(zhǎng)更新策略中根據(jù)種群中個(gè)體相似度的變化及時(shí)對(duì)郊狼成長(zhǎng)方式進(jìn)行調(diào)整，彌補(bǔ)基礎(chǔ)COA 不同個(gè)體間信息交互不足的問(wèn)題，平衡算法全局探索和局部開發(fā)能力。將改進(jìn)的COA 算法與自適應(yīng)約束處理方法相結(jié)合來(lái)協(xié)調(diào)優(yōu)化目標(biāo)和約束違反度，提高算法處理約束優(yōu)化問(wèn)題時(shí)的效率。

1 郊狼優(yōu)化算法

1.1 種群初始化及隨機(jī)分組

在郊狼算法中，解個(gè)體被隨機(jī)分在Np個(gè)子種群，每個(gè)子種群中包含Nc只個(gè)體。第p個(gè)子種群里第c只郊狼個(gè)體在第j維的初始位置可表示為：

其中：lbj和ubj分別代表第j維搜索空間的下限和上限；rj為［0，1］內(nèi)的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。

每只郊狼對(duì)環(huán)境的適應(yīng)度可用目標(biāo)函數(shù)值表示為：

1.2 郊狼成長(zhǎng)

其中：Op,t代表郊狼的社會(huì)位置排名。

兩者的影響因子δ1和δ2可按下式計(jì)算：

其中：cr1和cr2為在該子種群內(nèi)任意選擇的兩只郊狼。

郊狼新的社會(huì)位置可按式（7）計(jì)算：

其中：r1和r2為［0，1］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

COA 算法擇優(yōu)選擇對(duì)環(huán)境適應(yīng)度更高的郊狼保存下來(lái)，該過(guò)程可表示為：

1.3 郊狼生死

其中：r1和r2為在第p個(gè)群落里任意選擇的兩匹郊狼；j1和j2為任意選擇的兩個(gè)自變量維度；Ps為離散概率；Pa為關(guān)聯(lián)概率；Rj為第j維自變量取值范圍內(nèi)的任意數(shù)；randj?[0,1]是對(duì)應(yīng)第j維的隨機(jī)數(shù)。

Ps和Pa可用公式表示為：

其具體出生死亡選擇過(guò)程可用算法1 描述。其中，ω代表第p個(gè)子種群內(nèi)比新出生的小狼適應(yīng)度低的郊狼，φ代表這些郊狼的數(shù)目。

算法1出生死亡選擇行為偽代碼

某些郊狼有時(shí)會(huì)離開原始種群加入到另一個(gè)子種群里，此概率可用Pe 來(lái)表示為：

2 改進(jìn)的郊狼優(yōu)化算法

2.1 變異交叉策略

在COA 算法中，各個(gè)子種群的頭狼和文化趨勢(shì)引導(dǎo)著群體向潛力區(qū)域前進(jìn)。但隨著搜索的迭代進(jìn)行，種群中的解個(gè)體會(huì)相互靠近，使得群體的多樣性逐步下降。當(dāng)所有解個(gè)體聚集到一起時(shí)，整個(gè)種群多樣性不能得到更新，以致算法迭代有效性下降，搜索出現(xiàn)停滯。在這種情況下，可對(duì)解個(gè)體進(jìn)行變異操作，在其附近位置產(chǎn)生新解，以此來(lái)增加種群多樣性。因此，引入差分進(jìn)化算法中的變異交叉策略到COA 算法中，用于提高種群多樣性，減小算法早熟收斂的可能，提高算法收斂精度。

首先選取第c只郊狼對(duì)應(yīng)的社會(huì)位置為父體向量，對(duì)應(yīng)的變異向量可用公式表示為：

其中：r1和r2為在第p個(gè)子群落里任意選擇的兩只郊狼；為差分向量；F是變異因子，用其對(duì)差分向量進(jìn)行縮放，控制搜索步長(zhǎng)，一般在[0,2]之內(nèi)選擇，通常取0.5，其值的大小決定了種群的分布情況。通過(guò)設(shè)置F在進(jìn)化過(guò)程中的值，可以有效增加候選個(gè)體的數(shù)量，提高種群多樣性，使種群在全局范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，增強(qiáng)算法的穩(wěn)定性。

利用父體向量和變異向量通過(guò)離散雜交產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)向量：

其中：j=1,2,…,D；jrand是［1，D］之間的隨機(jī)整數(shù)；CR?[0,1]是交叉概率；randj?[0,1]是對(duì)應(yīng)于第j維的隨機(jī)數(shù)。

通過(guò)變異交叉策略產(chǎn)生Nc個(gè)實(shí)驗(yàn)向量構(gòu)成實(shí)驗(yàn)種群Up,t。合并父體種群socp,t與實(shí)驗(yàn)種群Up,t獲得組合子種群hp,t=socp,t∪Up,t，按照下文提出自適應(yīng)約束處理方法，從中選擇Nc個(gè)較好個(gè)體形成更新的子種群socp,t。

2.2 新的成長(zhǎng)更新策略

2.2.1 全局最優(yōu)影響因子的方式

1）G(Xi)=G(Xj)?f(Xi)

2）G(Xi)

在所有的郊狼中，對(duì)環(huán)境適應(yīng)度最高的郊狼即為在第t次迭代時(shí)整個(gè)種群的最優(yōu)個(gè)體。故在第t次迭代時(shí)，整個(gè)種群的最優(yōu)個(gè)體可用公式表示為：

在COA 算法中，每個(gè)子種群中的郊狼僅通過(guò)所在子種群的頭狼alphap,t，以及該子種群的文化趨勢(shì)cultp,t兩者來(lái)指導(dǎo)其社會(huì)位置的更新，并沒有考慮到整個(gè)種群的最優(yōu)位置對(duì)郊狼位置更新的影響。因此，加入整個(gè)種群的最優(yōu)個(gè)體的方向信息來(lái)改進(jìn)各個(gè)子種群中郊狼的位置更新方式。對(duì)第p個(gè)子種群內(nèi)的第c只郊狼在第t次迭代時(shí)位置更新的影響因子δ3為：

在引入全局最優(yōu)引導(dǎo)搜索后，各個(gè)子種群中的郊狼各自以更快的收斂速度從不同的方向朝著可行區(qū)域進(jìn)行靠攏逼近，從而大幅加快了COA 的收斂速度。

2.2.2 動(dòng)態(tài)調(diào)整郊狼成長(zhǎng)的方式

由式（3）可知，同一子種群內(nèi)郊狼在相同的頭狼和文化趨勢(shì)與兩頭隨機(jī)挑選的郊狼的差值共同指導(dǎo)下保持著恒定的成長(zhǎng)機(jī)制，而在每次迭代過(guò)程中，同一子種群內(nèi)頭狼和文化趨勢(shì)相同，且隨機(jī)挑選的郊狼個(gè)體相似度無(wú)法保證，因此容易使得產(chǎn)生的新解相似度過(guò)高，以致于弱化算法的搜索能力，不易實(shí)現(xiàn)全局搜索。此外，郊狼在迭代過(guò)程中一直朝著所在子種群內(nèi)頭狼和文化趨勢(shì)方向移動(dòng)，增加了算法陷入局部最優(yōu)的可能。

為此，本文根據(jù)子種群內(nèi)郊狼個(gè)體的相似度動(dòng)態(tài)調(diào)整郊狼成長(zhǎng)更新方式，如式（17）所示：

其中：r1、r2、r3和r4為［0，1］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；cr3和cr4分別為在該子種群內(nèi)任意選擇的兩只不同于cr1和cr2的郊狼；R為子種群中郊狼相似度；Pr為一常數(shù)。

計(jì)算方式如式（18）和式（19）所示：

其中：Count 為相似解的對(duì)數(shù)；Countmax為子種群內(nèi)解的最大對(duì)數(shù)。通過(guò)兩者的比值來(lái)確定種群相似度。

新的成長(zhǎng)更新方式引入了全局最優(yōu)解來(lái)指導(dǎo)位置更新，加快了算法的收斂速度。當(dāng)相似度高時(shí)，根據(jù)方式1 對(duì)郊狼進(jìn)行位置更新，郊狼的進(jìn)化由cultp,t、alphap,t以及三者共同確定的方向信息來(lái)進(jìn)行指導(dǎo)。此時(shí)，由于子種群內(nèi)郊狼相似度高，δ1和δ2的值較小，從而使得算法在全局最優(yōu)解附近展開精細(xì)搜索，增強(qiáng)了算法的局部開發(fā)能力；當(dāng)相似度低時(shí)，根據(jù)方式2 對(duì)郊狼進(jìn)行位置更新，郊狼的進(jìn)化由以及共同確定的方向信息來(lái)進(jìn)行指導(dǎo)。此時(shí)子種群內(nèi)郊狼相似度低，子種群內(nèi)郊狼的差值模型不僅使得子種群內(nèi)信息得到共享，實(shí)現(xiàn)了子種群內(nèi)郊狼的經(jīng)驗(yàn)交流，而且由于值較大，從而加大了算法的搜索步長(zhǎng)，增強(qiáng)了算法的全局搜索能力。

算法2新的成長(zhǎng)更新策略偽代碼

在算法迭代前期進(jìn)行隨機(jī)全局搜索時(shí)，種群相似度較低，方式2 以更大的概率指導(dǎo)郊狼的進(jìn)化，全局搜索能力較強(qiáng)，算法可以憑借更高的概率找到全局最優(yōu)解；在迭代后期進(jìn)行局部開發(fā)時(shí)，種群相似度較高，方式1 以更大的概率指導(dǎo)郊狼的進(jìn)化，局部開發(fā)能力較強(qiáng)，提高了算法的收斂精度。隨著迭代的進(jìn)行，在新的成長(zhǎng)更新策略指導(dǎo)下，算法根據(jù)種群的相似度選擇合適的位置更新方式，有效地平衡了算法的全局搜索能力與局部開發(fā)能力，使得算法的優(yōu)化性能得到提升。

2.3 邊界處理方法

在算法尋優(yōu)過(guò)程中，當(dāng)新產(chǎn)生的解個(gè)體超出自變量上下限時(shí)，通常將其設(shè)為上下限值，但是目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解往往不在搜索邊界上，簡(jiǎn)單地將越界變量置于上下限上，會(huì)造成資源的浪費(fèi)。故將越界分量按下式進(jìn)行處理［21］，增強(qiáng)種群多樣性，同時(shí)降低了下次迭代產(chǎn)生新位置越過(guò)尋優(yōu)邊界的幾率。

其中：r為[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；ubj、lbj分別為xij的上限值和下限值。

2.4 約束處理方法

合理有效地對(duì)約束進(jìn)行處理，平衡可行解與不可行解的關(guān)系是獲得約束優(yōu)化問(wèn)題最優(yōu)解的關(guān)鍵。考慮到在求解約束優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，郊狼種群在尋優(yōu)迭代中必定會(huì)經(jīng)過(guò)不可行情形、半可行情形和可行情形3 種狀態(tài)，因此，本文在執(zhí)行完上述新的成長(zhǎng)更新策略之后，依據(jù)各個(gè)子種群在迭代過(guò)程中所處的情形，分別調(diào)用3 種不同的約束處理技術(shù)來(lái)與改進(jìn)后的郊狼優(yōu)化算法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)和約束違反度兩者的平衡，使得改進(jìn)后的郊狼優(yōu)化算法可以充分發(fā)揮其新的成長(zhǎng)更新方式的搜索性能。

1）在不可行情形下，利用文獻(xiàn)［22］提出約束處理技術(shù)把無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題構(gòu)造為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，然后通過(guò)Pareto 支配方法找出子代種群中的所有非支配個(gè)體，并分別隨機(jī)替換一個(gè)父代種群中被它支配的個(gè)體（如果存在的話）。然后找出上述非支配個(gè)體中約束違反度最小的最優(yōu)個(gè)體，若其沒有替換父代種群中的個(gè)體，則使其隨機(jī)替換父代種群中的某個(gè)個(gè)體，已達(dá)到利用最優(yōu)個(gè)體持續(xù)地引導(dǎo)種群向可行區(qū)域靠近的目的。

2）在半可行情形下，利用一種適應(yīng)值轉(zhuǎn)換機(jī)制［23］把約束優(yōu)化問(wèn)題構(gòu)造為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，依據(jù)新構(gòu)造的解適應(yīng)度函數(shù)對(duì)個(gè)體進(jìn)行選擇，將攜帶重要信息的不可行個(gè)體和優(yōu)秀的可行個(gè)體保留到下一代群體中。具體過(guò)程如下：

（1）將種群分成可行集合Z1和不可行集合Z2，對(duì)應(yīng)解Xi的目標(biāo)函數(shù)值f(Xi)按式（21）轉(zhuǎn)換為：

其中：?為可行解比 例；Xbest和Xworst分別為可 行集合中最優(yōu)及最差解。

（2）對(duì)轉(zhuǎn)換得到的目標(biāo)函數(shù)值和約束違反度按式（22）和式（23）進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：

（3）構(gòu)造出的適應(yīng)度函數(shù)可表示為：

可以看出在這種方法下，可行解依據(jù)目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行評(píng)價(jià)選擇，不可行解同時(shí)考慮了目標(biāo)函數(shù)值和約束違反度后進(jìn)行評(píng)價(jià)選擇，實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)函數(shù)和約束違反度之間的平衡。

3）在可行情形下，種群中全部是可行解，約束優(yōu)化問(wèn)題能夠被當(dāng)作無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題求解，利用目標(biāo)函數(shù)對(duì)個(gè)體進(jìn)行評(píng)價(jià)即可。

改進(jìn)的郊狼優(yōu)化算法根據(jù)尋優(yōu)過(guò)程中種群在解空間的不同狀態(tài)，自主選擇合適有效的約束處理方法，完成對(duì)約束優(yōu)化問(wèn)題求解。

2.5 算法實(shí)施步驟

將上述差分變異策略引入COA 算法，并修改郊狼成長(zhǎng)方式形成改進(jìn)后的COA 算法。結(jié)合自適應(yīng)約束處理方法，DGCOA 算法的實(shí)施步驟如算法3 所示。DGCOA 算法流程如圖1 所示。

圖1 DGCOA 算法流程Fig.1 DGCOA algorithm procedure

算法3DGCOA 算法偽代碼

改進(jìn)的郊狼優(yōu)化算法通過(guò)執(zhí)行變異交叉策略和邊界處理方法，增加了種群多樣性，降低了算法早熟收斂現(xiàn)象發(fā)生的概率，提高了算法的穩(wěn)定性；通過(guò)引入全局最優(yōu)引導(dǎo)搜索，大幅加快了算法的收斂速度；通過(guò)種群中個(gè)體相似度來(lái)對(duì)郊狼成長(zhǎng)更新方式進(jìn)行動(dòng)態(tài)選擇，提高了算法的收斂精度。綜上所述，改進(jìn)后的郊狼優(yōu)化算法無(wú)論是在尋優(yōu)穩(wěn)定性，還是在收斂精度和收斂速度方面都做出了改進(jìn)，尋優(yōu)能力具有很大競(jìng)爭(zhēng)性。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 參數(shù)設(shè)置

本文將DGCOA 的尋優(yōu)結(jié)果與COA、ICTLBO［4］、ODPSO［2］、IWWO［8］、E-BRM［24］和MGABC［6］算法進(jìn)行對(duì)比。其中，ICTLBO 與本文DGCOA 均是針對(duì)約束問(wèn)題的分種群算法。DGCOA 算法中的參數(shù)設(shè)置為：Np=10，Nc=14；變異交叉策略中的變異算子和交叉算子分別設(shè)置為：F=0.5，CR=0.8；相似度閾值根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比取最優(yōu)值Pr=0.3；等式約束容忍度δ=0.000 1；最大函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)（Max_NFEs）設(shè)定為240 000。COA中相關(guān)參數(shù)與DGCOA 設(shè)置相同。

各算法獨(dú)立運(yùn)行25 次，記錄各算法運(yùn)行結(jié)果的平均值Mean 和標(biāo)準(zhǔn)差Std 如表1 所示。表中f(X*)為目前已知最優(yōu)解X*處的目標(biāo)函數(shù)值，NF 表示在全部運(yùn)行次數(shù)內(nèi)沒有找到可行解，將在全部對(duì)比算法中取得最優(yōu)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差加黑標(biāo)注。部分算法在測(cè)試函數(shù)上的收斂曲線對(duì)比如圖2 所示。其中選取的對(duì)比算法均為對(duì)應(yīng)文獻(xiàn)中表現(xiàn)最優(yōu)的約束進(jìn)化算法，其結(jié)果分別取自于對(duì)應(yīng)的參考文獻(xiàn)。圖2 中ICTLBO 的收斂曲線由其源代碼運(yùn)行所獲得。

圖2 DGCOA、COA 與ICTLBO 算法收斂曲線Fig.2 Convergence curves of DGCOA，COA and ICTLBO algorithms

表1 不同算法在CEC2006 測(cè)試函數(shù)上最終結(jié)果比較Table 1 Comparison of final results of different algorithms on CEC2006 test function

3.2 測(cè)試函數(shù)結(jié)果與分析

本文采用平均值（Mean）和標(biāo)準(zhǔn)差（Std）作為評(píng)價(jià)各算法優(yōu)化性能的標(biāo)準(zhǔn)，平均值越小算法的收斂精度越高，標(biāo)準(zhǔn)差越小算法的穩(wěn)定性越好。

由表1 可以看出，在收斂精度方面，DGCOA 在函數(shù)g02、g13、g17、g21 和g23 上獲得了較高的收斂精度，分別取得了第4、第3、第3、第3 和第2 的排名。在其余17 個(gè)函數(shù)上，DGCOA 在7 種對(duì)比算法中獲得了最優(yōu)的平均值，即收斂精度最高。特別地，在函數(shù)g10、g19 上，僅有DGCOA 算法能夠以較高精度收斂至其最優(yōu)值，獲得全局最優(yōu)解；在穩(wěn)定性方面，DGCOA 在函數(shù)g01、g04、g06、g10、g12、g18 和g19 上取得了最小的標(biāo)準(zhǔn)差，即穩(wěn)定性最高。相較COA 算法僅在函數(shù)g06、g12 和g24 上可以穩(wěn)定地獲得最優(yōu)解，對(duì)于函數(shù)g14、g17 和g21 無(wú)法獲得可行解的情況，DGCOA 無(wú)論是在收斂精度還是在穩(wěn)定性方面都獲得了很大的提高；相較其他6 種算法，DGCOA 在大部分測(cè)試函數(shù)上的收斂精度和穩(wěn)定性也都能夠獲得具有高競(jìng)爭(zhēng)力的結(jié)果。

由圖2 的算法收斂曲線可以看出，相較COA 算法，在相同函數(shù)評(píng)估次數(shù)的前提下，對(duì)于圖中所有測(cè)試函數(shù)，DGCOA 算法均能以更快的收斂速度收斂到其所能找到的最優(yōu)值附近，并具有更高的收斂精度。和同為分種群類智能優(yōu)化算法的ICTLBO 相比，在函數(shù)g01 上，DGCOA 收斂速度和收斂精度都具有較高競(jìng)爭(zhēng)性；在函數(shù)g02 和g05 上，DGCOA 在早期迭代階段收斂速度稍遜于ICTLBO，但在后期，DGCOA同樣具有較高競(jìng)爭(zhēng)性，與ICTLBO 的收斂速度和收斂精度不相上下；在函數(shù)g11 和g15 上，DGCOA 早期迭代階段收斂速度優(yōu)于ICTLBO，且在迭代后期能以較高的收斂精度收斂于最優(yōu)解；在函數(shù)g17 上，DGCOA 在早期迭代階段收斂速度稍遜于ICTLBO，沒有很快找到可行解，但在后期，DGCOA 的收斂速度超過(guò)了ICTLBO。

綜上所述，圖2 進(jìn)一步證明了改進(jìn)COA 算法無(wú)論是在收斂精度還是在收斂速度方面都得到了很大提升。

3.3 Wilcoxon 符號(hào)秩檢驗(yàn)

本文采用Wilcoxon 符號(hào)秩和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法［19］來(lái)評(píng)價(jià)DGCOA 與表1 中其他算法兩兩之間差異的顯著性。其中R+表示正秩總和，R?表示負(fù)秩總和。對(duì)兩種算法之間的統(tǒng)計(jì)比較結(jié)果采用符號(hào)“+”“?”“≈”表示?！?”和“?”分別說(shuō)明前一個(gè)算法明顯優(yōu)于或明顯差于后2 個(gè)算法；“≈”說(shuō)明2 個(gè)算法沒有明顯差異。Wilcoxon 符號(hào)秩和檢驗(yàn)結(jié)果如表2 所示。

表2 Wilcoxon 符號(hào)秩和檢驗(yàn)結(jié)果Table 2 Wilcoxon signed-rank and test results

從表2 可以看出，DGCOA 算法明顯優(yōu)于COA、ODPSO、E-BRM 和MGABC算法，與ICTLBO 和IWWO 算法之間無(wú)明顯差異。

4 工程優(yōu)化問(wèn)題結(jié)果及分析

為進(jìn)一步檢驗(yàn)DGCOA 算法解決實(shí)際工程問(wèn)題的有效性，選取3 個(gè)較為經(jīng)典的約束工程設(shè)計(jì)問(wèn)題［5］對(duì)DGCOA 算法進(jìn)行測(cè)試。

1）Welded Beam 問(wèn)題

本文DGCOA 算法運(yùn)行結(jié)果和其他算法在Welded Beam 問(wèn)題上的比較如表3 所示?？梢钥闯鯥CTLBO、IFOA 和DGCOA 在每次運(yùn)行中均能獲得最優(yōu)解，且DGCOA 取得了最小的標(biāo)準(zhǔn)差，即DGCOA 穩(wěn)定性更好。

表3 不同算法在Welded Beam 問(wèn)題上的結(jié)果比較Table 3 Comparison of results of different algorithms on the Welded Beam problem

2）Tension String Design 問(wèn)題

本文DGCOA 算法運(yùn)行結(jié)果和其他算法在Tension String Design 問(wèn)題上的比較如表4 所示?？梢钥闯鯥FOA 和DGCOA 在每次運(yùn)行中均能獲得最優(yōu)解，且DGCOA 取得了最小的標(biāo)準(zhǔn)差，即DGCOA穩(wěn)定性更好。

表4 不同算法在Tension String Design問(wèn)題上的結(jié)果比較Table 4 Comparison of results of different algorithms on Tension String Design problem

3）Pressure Vessel 問(wèn)題

本文DGCOA 算法運(yùn)行結(jié)果和其他算法在Pressure Vessel 問(wèn)題上比較如表5 所示。可以看出ICTLBO、COMDE 和DGCOA 在每次運(yùn)行中均能獲得最優(yōu)解，且DGCOA 取得了最小的標(biāo)準(zhǔn)差，即DGCOA 穩(wěn)定性更好。

表5 不同算法在Pressure Vessel 問(wèn)題上的結(jié)果比較Table 5 Comparison of results of different algorithms on the Pressure Vessel problem

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種動(dòng)態(tài)調(diào)整成長(zhǎng)方式的郊狼優(yōu)化算法求解復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題。通過(guò)引入變異交叉策略增加種群多樣性，協(xié)助算法獲得全局最優(yōu)解，并給出一種新的成長(zhǎng)更新策略，加入全局最優(yōu)影響因子，以提高算法的收斂速度。此外設(shè)計(jì)兩種不同的成長(zhǎng)方式，通過(guò)各個(gè)子種群中郊狼個(gè)體的相似度來(lái)對(duì)郊狼成長(zhǎng)更新方式進(jìn)行動(dòng)態(tài)選擇，有效平衡算法的全局探索與局部開發(fā)，同時(shí)彌補(bǔ)基礎(chǔ)COA 算法中子種群內(nèi)郊狼個(gè)體信息共享不足的問(wèn)題。最后將改進(jìn)的郊狼算法與自適應(yīng)約束處理技術(shù)相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)對(duì)約束優(yōu)化問(wèn)題的有效求解。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比COA、ICTLBO、ODPSO等算法，DGCOA算法具有較高的收斂精度和穩(wěn)定性。雖然本文算法在求解高維復(fù)雜約束優(yōu)化問(wèn)題時(shí)能夠找到可行解，但是求解精度還有待提高。下一步將通過(guò)與更先進(jìn)的方法結(jié)合來(lái)改進(jìn)郊狼算法的尋優(yōu)性能，提升其在求解高維優(yōu)化問(wèn)題時(shí)解的質(zhì)量。