考慮結構質量未知的非鏈式結構系統識別方法

林 英，陳澤寧，雷 鷹*

(1.廈門城市職業學院建筑工程學院,福建 廈門 361008;2.廈門大學建筑與土木工程學院，福建 廈門 361005)

目前國內外已發展了許多基于結構振動響應進行結構系統識別的方法，但這些方法大都是用結構已知的質量信息，對結構剛度、阻尼等參數進行識別和損傷評估[1-4].然而，結構在服役中，其質量可能會發生變化，或者不易確定與測量.如：雪荷載使結構質量增加，混凝土結構中，水分的吸收使結構質量增加[5]，建筑結構中為滿足使用而布置的設備、物品等.以上因素使結構質量發生改變.此外不準確的質量信息也會導致錯誤的結構識別結果[6].因此，需要研究在結構質量未知下的結構系統識別.雖然目前有部分學者提出了質量未知下結構識別和損傷診斷方法.如Nayeri等[7]和Masri等[8]提出恢復力方法，識別鏈式結構質量歸一化剛度參數.Zhan等[9-10]進一步提出了鏈式系統的質量歸一化剛度解耦，獨立識別結構質量和剛度變化.de Angelis等[11]利用識別的結構狀態，求解結構質量、剛度等參數，但需對結構中任意一個自由度同時安裝傳感器和激振器，并在其余每個自由度放置傳感器或者激振器.Mukhopadhyay等[12]利用結構外激勵和響應信息，識別剪切結構質量、剛度等物理參數.Zhang等[13]提出利用子結構的運動方程進行循環識別，估算未知質量剪切型子結構的質量歸一化參數.Huang等[14]在擴展卡爾曼濾波(EKF)中引入能量平衡，估計結構剛度和質量，但需要觀測外激勵和所有自由度加速度，并重建結構速度和位移響應.Xu等[6,15-16]提出質量未知下的結構非線性識別系列方法.但上述這些方法主要適用于較簡單的鏈式結構，且往往需要觀測結構全部自由度加速度、速度和位移響應.對于非鏈式結構，由于其并非像鏈式結構一樣具有集中質量矩陣，在利用EKF時，結構狀態方程和觀測方程無法對質量求偏導，因此對質量未知的非鏈式結構系統識別研究還很少.

雖然目前已開展了未知外部激勵下結構系統的識別[17-19]，但研究的均是結構質量已知的情況.Liu等[20]研究了未知地震激勵下質量及結構恢復力無參數化識別，Lei等[21]也研究了在未知環境激勵下的基于部分加速度響應識別結構單元質量和剛度變化，但這些方法也僅適用于鏈式結構.

本文針對目前相關研究存在的不足，考慮了結構質量未知的非鏈式結構在已知外激勵和未知外激勵下的識別，分別基于EKF方法和作者最近提出的未知激勵下的EKF(EKF-UI)方法，識別結構狀態與未知的結構質量、剛度和阻尼參數，并通過梁結構數值模型，驗證提出的兩種方法的有效性.

1 本文提出的兩種方法

1.1 已知激勵下基于EKF的質量未知非鏈式結構系統識別

結構質量未知時，n個自由度的非鏈式結構在已知激勵下的運動方程為：

(1)

將結構參數擴展到結構狀態向量組成系統增廣向量，即

(2)

式中θ包含結構單元線剛度和阻尼參數.

由增廣狀態向量(2)可以將結構運動方程(1)轉化為狀態方程：

g(Z,f)+w,

(3)

其中：w為均值為0的模型誤差項，其協方差矩陣為Q.

觀測方程可以表示為：

h(Zk+1,f)+vk+1,

(4)

其中：yk+1為t=(k+1)Δt(Δτ是采樣時間間隔)時刻的加速度響應觀測向量；νk+1為白噪聲形式的誤差向量，其協方差矩陣為Rk+1.

(5)

(6)

其中

(7)

假設結構阻尼為比例阻尼，并利用M(θ)M(θ)-1=I，得：

(8)

則有：

(9)

(10)

EKF方法包括時間更新和測量更新.第一步對結構狀態向量進行時間更新，

(11)

其誤差協方差為：

(12)

其中Φk|k≈I+ΔtGk|k.

第二步是對狀態預測值進行修正：

(13)

相應的誤差協方差為：

(14)

1.2 未知激勵下基于EKF-UI的質量未知非鏈式結構系統識別

結構質量信息和外激勵均未知時，n自由度非鏈式結構在未知激勵下的運動方程為：

(15)

其中fu是結構所受的未知外激勵,ηu為未知激勵作用位置矩陣.

g(Z,fu)+w.

(16)

觀測方程為：

yk+1=h(Zk+1,fu)+vk+1.

(17)

對結構狀態方程(13)和觀測方程(14) 進行一階泰勒展開：

(18)

(19)

其中：

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

結構狀態隨觀測值不斷更新：

(26)

式中Kk+1為卡爾曼增益矩陣.

(27)

(28)

(29)

(30)

狀態預測值的誤差協方差為：

Qk.

(31)

值得注意的是，在激勵未知且質量未知的情況下，結構參數無法求得唯一解.因此，需假設結構激勵處自由度某個相鄰單元的質量為已知，結構參數可有唯一解.此外，僅觀測加速度響應時，由于測量噪聲的存在，使得在估計結構位移時會出現漂移現象.本文通過加速度與應變響應的數據融合，解決漂移問題.

2 數值算例

為驗證提出方法的有效性，以梁結構的數值算例，分別在外激勵已知和外激勵未知情況下，應用EKF和EKF-UI對質量未知的非鏈式結構系統進行識別.

2.1 外激勵已知質量未知的非鏈式結構參數識別

圖1所示簡支梁，梁長15 m，橫截面尺寸為0.15 m×0.06 m，彈性模量為E=2.06×1011N/m2，各單元線質量為70.20 kg/m，各單元線剛度為3.708×106N·m，沿梁長方向劃分10個單元，記為編號①～⑩，共有11個單元節點.阻尼為瑞利阻尼，α=0.592 7，β=9.718×10-4.在結構第4節點處施加一個豎向白噪聲激勵F.

圖1 已知外激勵下簡支梁Fig.1 Simple supported beam

假設各個單元的線質量、線剛度、阻尼系數的初始值均為真實值的70%.利用質量未知情況下的EKF方法對結構線質量、線剛度、阻尼系數和結構狀態同時進行識別.圖2和圖3分別為結構第5節點的速度、第8節點的位移識別結果，由圖可見，所提方法對結構響應的識別與真實情況能夠很好符合.

圖2 第5節點速度

圖3 第8節點位移

結構第5和第9單元的線質量、第3和第6單元的線剛度識別值如圖4和5所示；結構阻尼系數α、β的識別值如圖6所示，結果表明質量、剛度和阻尼的識別均能很快收斂到真實值.

圖4 第5(a)和第9(b)單元線質量識別結果Fig.4 Identification of the line quality in element 5 (a) and 9 (b)

各單元的結構參數識別結果以及識別誤差如表1所示，結構各參數的識別誤差均不超過1%，驗證了本文所提出的質量未知下的EKF方法，對于已知激勵作用下的質量未知的非鏈式結構有很好的識別精度，能在部分觀測并且考慮觀測噪聲情況下，同時識別出結構質量、剛度、阻尼及結構響應，具有良好的抗噪性.

圖5 第3(a)、6(b)單元線剛度識別結果Fig.5 Identification of the line stiffness in element 3 (a) and 6 (b)

圖6 阻尼系數α(a)、β(b)識別結果Fig.6 Identification of the damping coefficient α (a) and β (b)

表1 白噪聲激勵下簡支梁結構參數識別結果

2.2 外激勵和質量未知的非鏈式結構參數識別

圖7所示一個簡支梁，全長2 m，單元長度均為L=0.4 m，共計10個自由度；結構參數為：截面為0.05 m×0.015 m矩形，各單元線密度為mb=6.075 kg/m，彈性模量為E=2.06×1011N/m2，單元線剛度為EI/L=7 242.187 5 N·m.結構第2自由度位置受到一個未知的豎向外激勵F.①～⑤是單元編號，1～10是節點自由度編號.

圖7 5單元簡支梁模型Fig.7 Model of simple supported beam with 5 elements

僅觀測第2、4、6、8的自由度豎向加速度及所在節點應變，并考慮響應受1%的噪聲污染.由于外激勵是未知的，如果外激勵附近單元質量也未知，將無法識別得到唯一解.因此，為保障有唯一解，需假設外激勵附近的第①和第②單元線密度已知，其余單元初始線密度為真實值的90%.通過未知激勵下質量未知的EKF-UI方法對結構參數進行識別. 各單元線密度和線剛度的識別結果如圖8、9和表2所示.各參數的識別值很快能夠逼近收斂于真實值，最大誤差不超過1.5%，在測量噪聲情況下，具有很好的識別精度和良好的抗噪性，驗證了所提方法的有效性.

圖8 單元線密度識別結果Fig.8 Identification of the line quality in elements

圖9 單元線剛度識別結果Fig.9 Identification of the line stiffness in elements

表2 結構單元線剛度、線質量識別值及其誤差

3 結 論

本文首先提出了已知結構外激勵下結構質量未知的非鏈式結構系統的識別方法，該方法基于EKF方法，可僅觀測梁結構的部分加速度響應，通過將結構質量逆矩陣關于未知質量參數的偏微分轉化為結構質量直接對未知質量參數的偏微分，可以得到線性化的結構運動方法及結構加速度響應觀測方程，進而同時識別結構的位移速度響應狀態與未知的結構質量、剛度、阻尼參數.進一步推廣研究在外激勵未知情況下，基于發展的EKF-UI方法，融合觀測的結構部分加速度與應變響應，同時識別結構的位移速度響應狀態與未知的結構質量、剛度和阻尼參數.提出的兩種方法分別通過梁結構在已知和未知外激勵下結構系統識別的算例，驗證了提出的兩種方法能有效準確識別結構響應狀態與未知的結構質量、剛度與阻尼參數.

本文所提出的方法在其他復雜的未知質量的結構系統識別的應用，包括未知地震作用下非線性結構系統識別，還值得進一步的研究.