基于數(shù)據(jù)非線(xiàn)性預(yù)處理的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)貝葉斯回歸代理模型

林智煒，付賽賽，陳 俊，王東東

(廈門(mén)大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，福建省濱海土木工程數(shù)字仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 廈門(mén) 361005)

結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析通過(guò)計(jì)算結(jié)構(gòu)在不同荷載條件下位移、應(yīng)力等時(shí)變信息來(lái)評(píng)估結(jié)構(gòu)的安全性，是有限元分析領(lǐng)域的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容[1].在結(jié)構(gòu)動(dòng)力有限元分析中，通常在空間進(jìn)行有限元離散，而在時(shí)間域上采用差分法進(jìn)行離散，常用的方法有Newmark-β法、Wilson-θ法、HHT(Hilbert-Hughes-Taylor)法等[1].然而，隨著結(jié)構(gòu)形式日益大型復(fù)雜化，在細(xì)化空間離散的同時(shí)也減小了時(shí)間離散步長(zhǎng)，使得有限元?jiǎng)恿Ψ治鲇?jì)算量陡增，難以同時(shí)保證效率與精度.為了提高計(jì)算精度和效率，許多學(xué)者對(duì)時(shí)間積分算法進(jìn)行了改進(jìn).例如，李志彬等[2]改進(jìn)Generalized-α法并提高了結(jié)構(gòu)大變形動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解精度，Noh等[3]通過(guò)調(diào)節(jié)時(shí)間步長(zhǎng)的比率提升了隱式直接時(shí)間積分方法的精度.但是，這些算法方面的改進(jìn)仍然很難滿(mǎn)足實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析效率需求，在進(jìn)行復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析時(shí)耗時(shí)長(zhǎng)、效率低的困難更加凸顯.因而，如何在保證精度的前提下提高計(jì)算效率是結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中的一個(gè)核心問(wèn)題.

近年來(lái)，人工智能技術(shù)的快速發(fā)展為提升結(jié)構(gòu)分析的效率和魯棒性提供了契機(jī)[4-5].例如，Afshari等[6]將機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)與結(jié)構(gòu)可靠度相結(jié)合；Feng等[7]利用能量守恒神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行結(jié)構(gòu)在地震作用下的動(dòng)力學(xué)分析；陳健等[8]發(fā)展了與無(wú)網(wǎng)格法相匹配的循環(huán)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法和動(dòng)力分析的代理模型.同時(shí)，由于數(shù)據(jù)維數(shù)伴隨著樣本往往呈指數(shù)增長(zhǎng)，機(jī)器學(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)超高維數(shù)趨勢(shì)，數(shù)據(jù)選擇與處理已然成為重點(diǎn)問(wèn)題[9]，例如Xie等[10]通過(guò)檢測(cè)特定類(lèi)別的重要協(xié)變量進(jìn)行高維異構(gòu)數(shù)據(jù)的類(lèi)別自適應(yīng)篩選.本文基于貝葉斯回歸算法[11]，研究基于數(shù)據(jù)預(yù)處理的有限元?jiǎng)恿Ψ治龅臋C(jī)器學(xué)習(xí)代理模型，以加速結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析的計(jì)算過(guò)程.

貝葉斯回歸(Bayesian regression)是一類(lèi)基于貝葉斯推斷的回歸模型[11].在貝葉斯回歸中，將輸入?yún)?shù)作為隨機(jī)變量參與計(jì)算，然后通過(guò)已知的先驗(yàn)信息和模型似然分析其后驗(yàn)概率分布.貝葉斯回歸對(duì)數(shù)據(jù)有較強(qiáng)的自適應(yīng)能力，可有效防止過(guò)擬合現(xiàn)象，具有比較廣泛的適用性，但初始數(shù)據(jù)對(duì)模型的預(yù)測(cè)精度仍有明顯影響.Sigmoid激活函數(shù)具有高階光滑的特點(diǎn)，可將變量輸出至區(qū)間(0,1)[12]，相對(duì)原始數(shù)據(jù)增加了非線(xiàn)性關(guān)系，從而使貝葉斯回歸模型與結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析之間的結(jié)合更加準(zhǔn)確.B樣條基函數(shù)是一組高階連續(xù)的分段多項(xiàng)式，其函數(shù)階次p與數(shù)量nB可以同時(shí)靈活地進(jìn)行調(diào)整[13].基于B樣條基函數(shù)的處理步驟靈活地增加了輸入數(shù)據(jù)的維度，可以提高貝葉斯回歸模型的預(yù)測(cè)精度.

本文以結(jié)構(gòu)時(shí)域內(nèi)不同時(shí)刻動(dòng)力響應(yīng)之間的概率關(guān)系為研究對(duì)象，基于有限元節(jié)點(diǎn)形函數(shù)的影響域范圍對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)提煉和壓縮，形成數(shù)據(jù)訓(xùn)練集；隨后通過(guò)激活函數(shù)和B樣條基函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行非線(xiàn)性預(yù)處理，突出結(jié)構(gòu)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的預(yù)測(cè)精度，進(jìn)而提出了一種結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的貝葉斯回歸代理模型.該代理模型在保證結(jié)構(gòu)計(jì)算精度的同時(shí)，顯著提高了結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的計(jì)算效率.

1 貝葉斯回歸模型的基本理論

圖1 貝葉斯回歸概率圖模型示意圖Fig.1 Illustration of Bayesian regression probabilistic graphical model

y[i]=wTx[i]+ε,

(1)

其中ε為偏差，假定其服從高斯分布G(ε|0,β-1)，β為方差參數(shù).w=[w1,w2,…,wm]T為待定模型參數(shù).為方便表述，將n組自變量的集合表示為X=[x[1],x[2],…,x[n]]，n組因變量表示為Y=[y[1],y[2],…,y[n]]T.由此，模型的似然函數(shù)可表示為如下形式：

(2)

其中似然函數(shù)P(Y|w)表示給定參數(shù)w后變量Y的發(fā)生概率.

假定模型參數(shù)w同樣服從高斯分布，其先驗(yàn)分布可表示為：

P(w)=G(w|0,α-1I),

(3)

其中向量0、I維度與參數(shù)w相同.因而，模型的聯(lián)合概率分布P(Y,w)可以由式(2)和(3)得到：

P(Y,w)=P(Y|w)P(w).

(4)

此外，根據(jù)條件概率公式[12]，該模型的后驗(yàn)分布為：

(5)

其中mN=β(αI+βXXT)-1XY為概率分布的均值，SN=(αI+βXXT)-1為概率分布的方差.值得指出的是，當(dāng)?shù)玫侥Ｐ蛥?shù)的概率分布后，還需求解模型參數(shù)w用于模型的預(yù)測(cè)計(jì)算.

2 訓(xùn)練集數(shù)據(jù)預(yù)處理

2.1 有限元?jiǎng)恿Ψ治鰯?shù)據(jù)

(6)

圖2 有限元離散及節(jié)點(diǎn)形函數(shù)示意圖Fig.2 Illustration of finite element discretization and nodal shape functions

基于式(6)的位移近似，不考慮阻尼影響的結(jié)構(gòu)有限元?jiǎng)恿﹄x散方程可以表示為：

(7)

其中：f為力向量；M和K為質(zhì)量和剛度矩陣，表示為

(8)

式中：ρ為密度，N為單元形函數(shù)矩陣，D為彈性矩陣，B為位移梯度矩陣，A表示將單元矩陣組裝為整體矩陣的算子[1].利用有限元形函數(shù)的單元局部近似特性，質(zhì)量和剛度矩陣均可通過(guò)單元計(jì)算和整體組裝的有限元標(biāo)準(zhǔn)分析流程得到[1].

式(7)僅包含有限元空間離散，要進(jìn)行時(shí)程分析需要在時(shí)間上引入離散，這里采用具有二階精度的中心差分法.在式(7)引入中心差分法和集中質(zhì)量矩陣后，可得如下的時(shí)空全離散的運(yùn)動(dòng)方程：

d[i+1]=Δt2M-1(f[i]-Kd[i])+2d[i]-d[i-1],

(9)

其中Δt=ti+1-ti.當(dāng)ti-1和ti時(shí)刻的位移d[i-1]和d[i]及力向量f[i]已知時(shí)，可根據(jù)式(9)計(jì)算ti+1的位移，以此類(lèi)推可獲得全時(shí)程上的動(dòng)力響應(yīng).但是由于在結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算時(shí)每個(gè)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生一組乃至多組響應(yīng)數(shù)據(jù)，若直接將所有節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力響應(yīng)作為模型輸入進(jìn)行訓(xùn)練及預(yù)測(cè)計(jì)算，顯然將導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間大幅增加，因此這里根據(jù)所關(guān)注的關(guān)鍵位置及節(jié)點(diǎn)形函數(shù)的影響域選擇周?chē)嚓P(guān)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力響應(yīng)數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)據(jù)訓(xùn)練集.

2.2 數(shù)據(jù)非線(xiàn)性預(yù)處理

結(jié)構(gòu)在受到荷載作用產(chǎn)生動(dòng)力反應(yīng)時(shí)，相鄰時(shí)刻之間的動(dòng)力響應(yīng)往往由于荷載在空間和時(shí)域上的復(fù)雜性而相應(yīng)呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線(xiàn)性關(guān)系.為使貝葉斯回歸模型與結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析能更加準(zhǔn)確結(jié)合，需要對(duì)輸入模型的結(jié)構(gòu)響應(yīng)與激勵(lì)的訓(xùn)練集數(shù)據(jù)進(jìn)行非線(xiàn)性處理.

圖3 數(shù)據(jù)非線(xiàn)性預(yù)處理流程Fig.3 Flowchart for nonlinear data preprocessing operations

Sigmoid激活函數(shù)將輸入數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為區(qū)間(0,1)之間的輸出數(shù)據(jù)，其表達(dá)式為：

Fact(η)=(1+e-η)-1.

(10)

對(duì)于一組向量變量η=[η1,η2,…,ηm]T，為方便表述，將Fact(η)定義為：

Fact(η)=[(1+e-η1)-1,(1+e-η2)-1,…,(1+

e-ηm)]T.

(11)

經(jīng)過(guò)該數(shù)據(jù)處理，有限元節(jié)點(diǎn)力向量f[i]和位移向量d[i]變?yōu)椋?/p>

(12)

(13)

和

(14)

為清晰起見(jiàn)，后續(xù)討論中采用Ra來(lái)表示Rap，省略基函數(shù)的階次.

對(duì)于一組向量變量η=[η1,η2,…,ηm]T，引入如下的擴(kuò)展數(shù)據(jù)變量R(η)：

R(η)=[R1(η1),…,RnB(η1),R1(η2),…,

RnB(η2),…,R1(ηm),…,RnB(ηm)]T,

(15)

(16)

(17)

由上述數(shù)據(jù)非線(xiàn)性預(yù)處理過(guò)程可以看出，本文所提的非線(xiàn)性處理步驟在一定程度上保留了原始數(shù)據(jù)的特征，但通過(guò)引入B樣條基函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了擴(kuò)展，豐富了數(shù)據(jù)信息.后續(xù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)貝葉斯回歸模型中的數(shù)據(jù)訓(xùn)練與預(yù)測(cè)均采用這些經(jīng)過(guò)基函數(shù)擴(kuò)展的非線(xiàn)性化結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析數(shù)據(jù).

3 結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析的貝葉斯回歸模型

基于貝葉斯回歸的結(jié)構(gòu)響應(yīng)代理模型同樣采用逐步求解方法，假定結(jié)構(gòu)第i時(shí)刻的動(dòng)力響應(yīng)與該時(shí)刻之前的動(dòng)力響應(yīng)及外界激勵(lì)相關(guān)，同時(shí)認(rèn)為關(guān)聯(lián)性的強(qiáng)弱與時(shí)刻的遠(yuǎn)近有關(guān).現(xiàn)對(duì)一個(gè)有限元結(jié)構(gòu)選取m個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分析，其節(jié)點(diǎn)自由度為md.連續(xù)的3個(gè)i-1、i與i+1時(shí)刻之間位移響應(yīng)可表示為以下形式：

(18)

W=[w1,w2,…,wmd],

(19)

其中wj為一組3md×(2+nB)維的列向量，體現(xiàn)了第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)與輸入變量之間的相關(guān)性.

(20)

根據(jù)模型似然與參數(shù)后驗(yàn)分布可以對(duì)第k時(shí)刻結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，表示為：

(21)

圖4為基于貝葉斯回歸的結(jié)構(gòu)響應(yīng)代理模型的計(jì)算框架和模塊，基于該模型可逐步預(yù)測(cè)每時(shí)刻所選擇的結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移，最終得到結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的代理模型預(yù)測(cè)解.

圖4 結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的貝葉斯回歸代理模型的計(jì)算框架與模塊Fig.4 Computational framework and module of the Bayesian regression surrogate model for structural dynamic response

4 數(shù)值算例

4.1 一維彈性桿問(wèn)題

圖5 一維彈性桿問(wèn)題Fig.5 1D elastic rod problem

對(duì)于該問(wèn)題，計(jì)算總時(shí)長(zhǎng)T=2 s，時(shí)程分析時(shí)間步長(zhǎng)為Δt=0.001 s，總時(shí)間步數(shù)為2 000，選用中心差分法計(jì)算有限元模型動(dòng)力響應(yīng)，并選取前200步有限元數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集數(shù)據(jù)進(jìn)行貝葉斯回歸代理模型訓(xùn)練，后續(xù)1 800步作為目標(biāo)解與模型預(yù)測(cè)解進(jìn)行對(duì)比的數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)預(yù)處理參數(shù)p=3，nB=5.圖6給出代理模型選取節(jié)點(diǎn)數(shù)m=11時(shí)的數(shù)據(jù)傳遞過(guò)程.值得注意的是，對(duì)于一維問(wèn)題，節(jié)點(diǎn)數(shù)與自由度數(shù)相等，即m=md.

圖6 基于數(shù)據(jù)非線(xiàn)性預(yù)處理的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)貝葉斯回歸代理模型的詳細(xì)數(shù)據(jù)傳遞過(guò)程Fig.6 Detailed data transfer procedure of the Bayesian regression surrogate model for structural dynamic response with nonlinear data preprocessing

圖7為彈性桿在體力f(x,t)=1 000sint/(t+1)N作用下于x=L/2處的時(shí)域位移響應(yīng)結(jié)果，m=11表示結(jié)構(gòu)全部節(jié)點(diǎn)同時(shí)參與模型訓(xùn)練與位移響應(yīng)預(yù)測(cè)，m=6表示代理模型僅選擇位于區(qū)間(0,L/2)的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行訓(xùn)練與結(jié)果預(yù)測(cè).貝葉斯代理模型的訓(xùn)練集分別采用經(jīng)過(guò)預(yù)處理的數(shù)據(jù)與未處理的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，并將有限元直接分析結(jié)果作為參照解來(lái)對(duì)比其預(yù)測(cè)結(jié)果.圖8為其在f(x,t)=1 000sin(x+t)N作用下的動(dòng)力響應(yīng).結(jié)果表明，基于數(shù)據(jù)非線(xiàn)性預(yù)處理的貝葉斯代理模型的結(jié)構(gòu)響應(yīng)預(yù)測(cè)結(jié)果與有限元?jiǎng)恿Ψ治鰠⒄战饨Y(jié)果吻合良好.另一方面，訓(xùn)練數(shù)據(jù)的完整性對(duì)僅使用原始數(shù)據(jù)直接訓(xùn)練的貝葉斯代理模型預(yù)測(cè)精度有明顯影響，而數(shù)據(jù)的非線(xiàn)性預(yù)處理可以有效提升訓(xùn)練數(shù)據(jù)不完整情況下的預(yù)測(cè)結(jié)果.同時(shí)由不同數(shù)據(jù)訓(xùn)練構(gòu)造的代理模型均較好地給出動(dòng)力響應(yīng)的預(yù)測(cè)值，體現(xiàn)出所提的代理模型對(duì)荷載類(lèi)型的泛用性.

圖7 有無(wú)數(shù)據(jù)預(yù)處理的代理模型對(duì)f=1 000sin(t)/(t+1)的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison of predicted results by the surrogate model with and without data preprocessing under f=1 000sin(t)/(t+1)

圖8 貝葉斯回歸代理模型對(duì)f=1 000sin(x+t)的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of predicted results by the Bayesian regression surrogate model under f=1 000sin(x+t)

4.2 三維框架問(wèn)題

第2個(gè)算例是圖9所示的三維四層混凝土框架結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析問(wèn)題.對(duì)于該問(wèn)題，采用三維四面體單元進(jìn)行精細(xì)離散分析，包括111 127個(gè)單元，227 590個(gè)節(jié)點(diǎn).該結(jié)構(gòu)的材料常數(shù)為：密度ρ=2 300 kg/m3，彈性模量E=30 GPa，泊松比ν=0.18.框架尺寸為：L1=6 m，L2=3 m.該結(jié)構(gòu)在(x,y,z)=(0,6,12)(單位：m)處受集中荷載.我們考慮兩種工況.工況1的集中荷載為：f1(t)=Csin(πt/2)/(t+1)，工況2的荷載為：f1(t)=Csin(πt/2)，其中常數(shù)C=1×106N，荷載作用方向如圖9所示.動(dòng)力計(jì)算總時(shí)長(zhǎng)T=10 s，時(shí)間步長(zhǎng)為Δt=0.05 s.選用α=0.25，β=0.5的Newmark-β法計(jì)算有限元模型動(dòng)力響應(yīng)，為了加速代理模型的計(jì)算和便于模型的預(yù)測(cè)效果分析，對(duì)代理模型在訓(xùn)練階段的數(shù)據(jù)進(jìn)行了選取處理，即選取圖9所示的各構(gòu)件連接點(diǎn)及連接點(diǎn)附近的節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的動(dòng)力響應(yīng)作為模型的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，共選取節(jié)點(diǎn)數(shù)m=142，對(duì)應(yīng)自由度數(shù)為md=426.由于有限元離散模型的節(jié)點(diǎn)數(shù)與選取的輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)目相差較大，數(shù)據(jù)預(yù)處理參數(shù)選擇p=5，nB=50.圖9中使用空心圓節(jié)點(diǎn)標(biāo)注的位置僅代表代理模型的預(yù)測(cè)解與有限元計(jì)算參照解的對(duì)比位置，實(shí)際上代理模型的輸出結(jié)果為模型輸入的所有節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的下一時(shí)刻的動(dòng)力響應(yīng).對(duì)于該三維問(wèn)題，同樣采用前10%計(jì)算時(shí)長(zhǎng)的有限元計(jì)算結(jié)果來(lái)構(gòu)造訓(xùn)練集，進(jìn)行非線(xiàn)性預(yù)處理和建立代理模型.

圖9 動(dòng)力學(xué)響應(yīng)預(yù)測(cè)的3D空間框架模型及解觀測(cè)節(jié)點(diǎn)選擇Fig.9 3D spatial frame structure and selection of observation nodes for dynamic response prediction

為清晰起見(jiàn)，圖10給出結(jié)構(gòu)工況1時(shí)在t=1 s的框架結(jié)構(gòu)及觀測(cè)節(jié)點(diǎn)附近的有限元網(wǎng)格剖分及變形情況，其中白色虛線(xiàn)方框表示預(yù)測(cè)解和參照解進(jìn)行對(duì)比的具體范圍.圖11為代理模型在不同工況下對(duì)4個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的時(shí)程動(dòng)力分析位移預(yù)測(cè)情況.可以看出基于數(shù)據(jù)非線(xiàn)性預(yù)處理的貝葉斯回歸代理模型的預(yù)測(cè)位移與參照解吻合情況良好，同時(shí)4個(gè)觀測(cè)點(diǎn)響應(yīng)數(shù)據(jù)幅值依次降低，與圖10所示的模型整體變形相符.

圖10 空間框架及觀測(cè)節(jié)點(diǎn)局部區(qū)域t=1 s時(shí)刻位移預(yù)測(cè)解(單位: m)Fig. 10 Displacement prediction for the spatial frame structure and regions near observation nodes at t=1 s(unit: m)

圖11 空間框架觀測(cè)點(diǎn)動(dòng)力響應(yīng)預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.11 Comparison of dynamic response prediction results at observation nodes for the spatial frame structure

圖12 空間框架觀測(cè)點(diǎn)局部區(qū)域動(dòng)力響應(yīng)代理模型預(yù)測(cè)解與有限元數(shù)值解對(duì)比(單位: m)Fig.12 Comparison between the predicted solutions by surrogate model and the numerical solutions by finite element dynamic analysis near observation nodes for the spatial frame structure (unit: m)

為了進(jìn)行代理模型和直接有限元分析的效率對(duì)比，表1列出了框架問(wèn)題的各部分計(jì)算耗時(shí)，計(jì)算平臺(tái)為Amd 3600 CPU及NVIDIA GeForce RTX 2080S.通過(guò)計(jì)算時(shí)間對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，相比于直接的有限元?jiǎng)恿τ?jì)算分析，基于數(shù)據(jù)非線(xiàn)性預(yù)處理的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)貝葉斯回歸代理模型可以大幅減少計(jì)算時(shí)間，顯著提高計(jì)算效率.

表1 空間框架問(wèn)題的有限元?jiǎng)恿Ψ治龊痛砟Ｐ皖A(yù)測(cè)計(jì)算效率對(duì)比

5 結(jié) 論

在有限元結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中，網(wǎng)格細(xì)化可以提高空間離散的精度但會(huì)降低時(shí)程分析的步長(zhǎng)，降低計(jì)算效率.為了提升有限元結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算效率，本文基于有限元節(jié)點(diǎn)形函數(shù)的影響域范圍對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行提煉和壓縮，通過(guò)引入激活函數(shù)先將輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化非線(xiàn)性處理，然后利用非負(fù)B樣條基函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)一步進(jìn)行擴(kuò)展處理，提高關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的預(yù)測(cè)精度.最后，將經(jīng)過(guò)非線(xiàn)性預(yù)處理的數(shù)據(jù)集和貝葉斯回歸方法相結(jié)合，提出了一種結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的貝葉斯回歸代理模型.數(shù)值結(jié)果表明，基于數(shù)據(jù)非線(xiàn)性預(yù)處理的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)貝葉斯回歸代理模型的動(dòng)力預(yù)測(cè)結(jié)果與直接有限元?jiǎng)恿Ψ治鼋Y(jié)果吻合良好，且能夠大幅提高結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析的計(jì)算效率.