基于滑動單元的高速磁浮列車-軌道梁耦合系統(tǒng)的動力相互作用分析

古 泉，袁 彬，國 巍,劉永斗,周惠蒙

(1.廈門大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，福建 廈門 361005；2.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；3.中國地震局工程力學(xué)研究所，河北 三河 065201)

高速磁浮列車一直是軌道交通領(lǐng)域的研究熱點.磁浮列車相比較傳統(tǒng)的高速輪軌列車有著顯著的優(yōu)勢： 1) 能耗低； 2) 電力驅(qū)動，無廢氣排放，節(jié)能環(huán)保； 3) 車體與軌道無接觸，安全舒適且軌道損耗小.隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，磁浮列車的時速不斷攀升.磁浮列車運行過程中的動力學(xué)問題直接影響著列車運行過程的舒適性和安全性.

業(yè)內(nèi)學(xué)者關(guān)于高速磁浮列車-軌道梁耦合系統(tǒng)的動力仿真分析大多采用以下方法：將磁浮列車的各個構(gòu)件視為剛體，使用多體動力學(xué)方法建立運動方程進行求解[1]，或直接使用商業(yè)多體動力學(xué)軟件如SIMPACK進行建模計算[2]，同時使用軟件內(nèi)置的橋梁模塊進行求解；使用多體動力學(xué)結(jié)合有限元法，對磁浮車輛系統(tǒng)與軌道梁系統(tǒng)分別建立運動方程，通過軌道梁位移計算軌道梁系統(tǒng)對車輛系統(tǒng)的力，求解車輛系統(tǒng)的動力學(xué)方程，得出車輛的響應(yīng)后再根據(jù)此響應(yīng)計算車輛系統(tǒng)對軌道梁系統(tǒng)的力，在時域內(nèi)積分運算求解計算[3].在使用多體動力學(xué)方法求解過程中，由于軌道梁不可視為剛體，導(dǎo)致求解過程不連貫.

本文以TR08型磁浮列車和上海Emsland磁浮軌道梁為例，使用二維滑動單元[4]模擬磁浮列車行駛過程中電磁鐵與橋梁之間的連接，并在有限元軟件OpenSees中完成磁浮列車與軌道梁的建模仿真.數(shù)值模擬全程在OpenSees平臺完成.該平臺擁有豐富的材料庫和單元庫，使得考慮更復(fù)雜的三維非線性的磁軌相互作用成為可能.

1 適用于電磁作用的二維滑動單元

1.1 二維滑動單元模型

圖1為二維滑動單元的示意圖，該單元由一個磁浮節(jié)點m和列車行進過程中所有可能與之接觸的梁單元節(jié)點序列構(gòu)成.在磁浮列車模型中，電磁鐵與軌道梁之間的接觸關(guān)系為電磁力相互作用.

對于二維問題，軌道梁單元僅考慮豎向和轉(zhuǎn)動自由度，磁浮節(jié)點僅考慮豎向自由度.因此，該滑動單元自由度和內(nèi)力可以表示為：

u=[umu2…un-1un]T，

(1)

R=[FmR2…Rn-1Rn]T.

(2)

式中：um是磁浮節(jié)點的豎向位移；Fm為磁浮節(jié)點豎向內(nèi)力；u2～un為所有可能與磁浮節(jié)點產(chǎn)生相互作用的軌道梁單元的節(jié)點位移；R2～Rn為所有可能與磁浮節(jié)點產(chǎn)生相互作用的梁單元的節(jié)點內(nèi)力.

如圖1所示，在某一時刻t，磁浮節(jié)點前進至單元K處時，二維滑動單元a、p、q節(jié)點內(nèi)力和對應(yīng)剛度取值均為0,i、j節(jié)點內(nèi)力和對應(yīng)剛度取值不為0.為方便計算推導(dǎo)，將未接觸的局部節(jié)點a、p、q定義為未激活節(jié)點.因此，激活的局部滑動單元自由度和節(jié)點內(nèi)力表示為：

圖1 滑動單元模型Fig.1 Model of sliding element

(3)

(4)

如圖2所示：u2～u5和R2～R5分別表示局部滑動單元激活節(jié)點對應(yīng)的位移和內(nèi)力；x為磁浮節(jié)點m與激活的軌道梁左節(jié)點i之間的水平距離，可通過速度積分求得；L為與磁浮節(jié)點連接的梁單元長度.

圖2 激活的滑動單元的局部節(jié)點Fig.2 Local node of active slide element

通過插值得到軌道梁在x處的位移為：

(5)

其中，N為插值形函數(shù)，可表示為

(6)

1.2 磁浮力的求解

(7)

懸浮架與軌道梁之間的相互作用力由電磁鐵提供.事實上電磁力是空間中的三維分布力，目前尚沒有簡單的解析表達式.根據(jù)電磁學(xué)理論[5]，二維情況下，電磁鐵的瞬間吸引力為：

(8)

式中,μ0為空氣磁導(dǎo)率,N為電磁線圈匝數(shù),A為磁極面積,δ(t)為磁浮間隙,i(t)為通過電磁鐵的電流.在磁浮間隙小幅度變化時，根據(jù)文獻[6]，磁浮力可以等效處理為線性彈簧阻尼力：

(9)

將式(9)稍作變形可得：

(10)

式中：δ和δ0分別為當(dāng)前磁浮間隙和初始磁浮間隙;Fm0為磁浮列車靜懸浮，即δ=δ0時的磁浮力.

根據(jù)磁浮力計算式(10)可知，若求解磁浮力，首先要得到磁浮間隙.磁浮節(jié)點與軌道梁的連接關(guān)系見圖2.根據(jù)幾何關(guān)系可以得到：

δ0-um=δ-ur.

(11)

式中：um為磁浮節(jié)點位移；ur為磁浮力彈簧連接處軌道梁的位移，包括由形函數(shù)插值得到的位移uS和由磁浮力作用產(chǎn)生的額外位移uFm.

ur=uS+uFm,

(12)

(13)

式中，F(xiàn)flex為梁在x處的柔度，EI為梁單元的抗彎剛度.

根據(jù)式(10)，可以得到磁浮力計算公式：

Fm=Fm0+keq(uS+uFm-um)+ceq(vr-vm)，

(14)

式中，uS+uFm和vr分別為磁浮力彈簧連接處軌道梁的位移和速度，um和vm分別為磁浮節(jié)點m的位移和速度.

1.3 滑動單元剛度矩陣

根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，激活的滑動單元的剛度矩陣可寫成：

(15)

根據(jù)式(7)可以得到激活的滑動單元的節(jié)點內(nèi)力與磁浮力的關(guān)系：

(16)

根據(jù)式(14)可以得到激活的滑動單元的磁浮力與節(jié)點位移的關(guān)系：

(17)

根據(jù)式(5)有：

(18)

根據(jù)式(13)可以得到磁浮力作用下軌道梁的位移uFm與磁浮力Fm的關(guān)系：

(19)

(20)

將式(16)～(20)代入式(15)，可以得到激活的滑動單元的剛度矩陣為：

(21)

2 磁浮列車動力學(xué)模型

高速磁浮列車在設(shè)計上要求將重力與載荷等盡量均勻地分配到左右兩側(cè)的軌道上.通常，磁浮列車的懸掛系統(tǒng)與走行系統(tǒng)在設(shè)計和布局上都要求盡可能地與軌道相垂直的縱向中心平面對稱.因此,一般可以認為磁浮列車的動力學(xué)行為在垂向和橫向上是弱耦合的,可以分開處理，以降低問題的復(fù)雜度[7].本文以TR08型高速磁浮列車結(jié)構(gòu)為研究對象,參考文獻[7]建立TR08型高速磁浮列車單節(jié)列車垂向動力學(xué)模型,如圖3所示.

圖3 TR08列車垂向動力學(xué)模型Fig.3 Vertical dynamic model of TR08 vehicle

TR08型磁浮列車懸浮架結(jié)構(gòu)[8]如圖4所示.將磁浮列車車廂、懸浮架、電磁鐵都視為剛體.每節(jié)車廂下部與4個“H”型懸浮架通過二系懸掛裝置連接，每個懸浮架由兩個懸浮框和縱梁構(gòu)成，每個懸浮框由兩個C型梁構(gòu)成.

圖4 TR08型磁浮列車懸浮架結(jié)構(gòu)Fig.4 Bogie structure of TR08 vehicle

圖5為高速磁浮列車-軌道梁耦合系統(tǒng)示意圖.車廂與懸浮架之間由空氣彈簧、擺桿、搖枕連接，為二系懸掛裝置；懸浮架與電磁鐵之間由金屬橡膠支承連接，為一系懸掛裝置；電磁鐵與軌道梁之間通過電磁力連接，電磁力主要為電磁導(dǎo)向力和電磁懸浮力.本文中將高速磁浮列車-軌道梁耦合系統(tǒng)簡化到二維平面后，系統(tǒng)無平面外位移，電磁力只考慮懸浮電磁鐵產(chǎn)生的垂向懸浮力.

圖5 高速磁浮列車-軌道梁耦合系統(tǒng)模型Fig.5 Model of high speed maglev vehicle-guideway coupling system

2.1 二系懸掛系統(tǒng)的等效

將二系懸掛系統(tǒng)簡化到二維平面時，需要根據(jù)其空間布置進行等效處理.TR08型磁浮列車的二系懸掛系統(tǒng)的剖面圖[8]如圖6所示.二系懸掛系統(tǒng)可等效看作空氣彈簧與擺桿的串聯(lián)彈簧.而擺桿的剛度大約是空氣彈簧剛度的50～100倍，因此在對二系懸掛系統(tǒng)的等效中，擺桿的剛度可以近似忽略.

圖6 二系懸掛系統(tǒng)結(jié)構(gòu)剖面圖(單位：mm)Fig.6 Sectional view of secondary suspension system of TR08 vehicle (unit:mm)

車體與每個懸浮架之間通過4個空氣彈簧裝置進行連接.如圖7所示，空氣彈簧位于x1的位置，車廂通過擺桿與空氣彈簧在右邊x2的位置連接.等效為二維問題時，以搖枕為對象，忽略其自身重力的作用，對支承轉(zhuǎn)軸處取矩，根據(jù)力矩平衡方程有：

圖7 空氣彈簧等效示意圖Fig.7 Equivalent diagram of air spring

(x1+x2)F2-F1x1=Jα，

(22)

其中J和α分別為搖枕的轉(zhuǎn)動慣量和角加速度.

搖枕轉(zhuǎn)動慣量約為40 kgm2，同時在滿足行車舒適度的要求下，搖枕的角加速度很小，故式(22)可近似寫成：

(x1+x2)F2=F1x1.

(23)

將搖枕視為剛體，搖枕轉(zhuǎn)動角度很小時，根據(jù)位移協(xié)調(diào)關(guān)系有：

(24)

根據(jù)式(23)與(24)可得空氣彈簧等效剛度：

(25)

根據(jù)式(25)結(jié)果可知，等效到二維平面后空氣彈簧的剛度不到設(shè)計值的1/3，說明該等效措施在建立TR08型磁浮列車二系懸掛系統(tǒng)的二維平面模型時是必要的.

2.2 磁浮列車的數(shù)值建模

本文中磁浮力計算使用式(10)中的線性彈簧阻尼模型.磁浮列車參數(shù)全部取自文獻[2-3,9]，詳細參數(shù)見表1.

表1 磁浮列車參數(shù)Tab.1 Parameters of maglev vehicle

車廂、懸浮架、電磁鐵均使用剛性歐拉梁單元模擬.一系懸掛和二系懸掛均使用truss桿單元來模擬彈簧和阻尼.簡化到二維平面后，每個一系懸掛在豎向由2個并聯(lián)的彈簧阻尼單元構(gòu)成.車體與每個懸浮架間通過4個空氣彈簧裝置連接.

基于表 1和式(25)中對二系懸掛結(jié)構(gòu)的簡化，在OpenSees平臺建立了單節(jié)磁浮列車的有限元模型，計算得到磁浮列車在豎向二維平面內(nèi)的第一階和第二階自振頻率分別為0.797 4和0.846 8 Hz，分別對應(yīng)于車身在豎向平面內(nèi)的沉浮和點頭運動，對比文獻[9]中的數(shù)據(jù)0.787 8和0.823 5 Hz，說明二系懸掛的簡化以及整車模型的建模是正確、可靠的.

3 軌道梁的數(shù)值建模

以上海高速磁浮Emsland軌道梁為例，參考文獻[10]建立簡支梁橋，不考慮橋墩和支座的影響.軌道梁截面如圖8所示. 軌道梁的截面形式較為復(fù)雜，假定其彈性模量等效于強度等級C60混凝土的彈性模量.根據(jù)文獻[10]，計算得到軌道梁的截面參數(shù)，如表2所示.

圖8 軌道梁截面尺寸(單位：mm)Fig.8 Cross-section dimension of guideway (unit:mm)

表2 軌道梁參數(shù)Tab.2 Guideway parameters

在OpenSees平臺中使用歐拉梁單元建立單跨簡支軌道梁，計算得軌道梁的自振頻率.其中簡支軌道梁彎曲的一階自振頻率f1的橫向和豎向彎曲頻率分別為6.33和7.47 Hz.

軌道梁的截面設(shè)計還應(yīng)避免在磁浮列車行駛時產(chǎn)生共振.對于簡支軌道梁，f1需滿足以下要求[11]：

(26)

式中,v為列車行車速度,L為軌道梁的跨度.

4 數(shù)值驗證

在OpenSees平臺建立TR08磁浮列車-軌道梁系統(tǒng)的二維平面模型，使單節(jié)磁浮列車以400 km/h勻速通過單跨長24.768 m的簡支梁橋.圖9為高速磁浮列車駛過簡支軌道梁時，軌道梁跨中的撓度時程曲線和加速度時程曲線.可以看出跨中加速度在-0.39～0.60 m/s2之間波動；跨中最大撓度為2.76 mm，小于跨長的1/4 000，符合規(guī)范要求[8].

圖9 跨中撓度(a)和加速度(b)Fig.9 Mid-span deflection (a) and mid-span acceleration (b)

圖10為磁浮列車通過橋梁時車體質(zhì)心的加速度時程曲線.為滿足行車舒適度要求[11], 磁浮列車的加速度需滿足要求：豎向的向上加速度≤0.5 m/s2，向下加速度≤1.0 m/s2.圖中車身豎向加速度在-0.018～0.017 m/s2之間，滿足行車舒適度要求.

圖10 車體質(zhì)心加速度Fig.10 Acceleration at centroid of carbody

圖11為磁浮間隙的變化時程曲線，從圖中可以看出磁浮間隙的波動范圍為-0.21～0.17 mm之間，滿足±2 mm的要求[12]，說明本文中將二維磁軌作用力等效為線性彈簧阻尼力是合理的.

圖11 磁浮間隙的變化幅值Fig.11 Variation amptitude of maglev gap

5 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了將磁浮力等效為線性彈簧阻尼力時

滑動單元的剛度矩陣，并在有限元軟件OpenSees平臺中實現(xiàn).建立了TR08型磁浮列車與上海Emsland磁浮軌道梁的二維有限元模型，計算得到磁浮列車以400 km/h高速通過軌道梁時的列車與軌道梁的動力響應(yīng).結(jié)果均滿足規(guī)范要求，并與文獻中結(jié)果進行對比，驗證了模型的可靠性.可以用改進后的滑動單元模擬電磁鐵與軌道梁間的相互作用，以計算分析更復(fù)雜的高速磁浮列車-軌道梁耦合系統(tǒng)問題.