T-S模糊廣義時滯系統的耗散性及容許性分析

付秀文， 林 崇

(青島大學復雜性科學研究所， 山東 青島 266071)

廣義系統又稱為廣義狀態空間系統，與正常系統相比，可以更精準的描述物理系統。時滯的存在往往會降低系統的性能，甚至使系統變得不穩定，因此，廣義時滯系統一直廣受研究和關注[1]。1972年，J.C.Willems[2]首次提出了耗散性的概念，耗散性理論本質就是存在一個能量供給函數，使系統的供給總能量大于其輸出能量，在分析系統的穩定性時起著非常重要的作用。因此，研究廣義時滯系統的耗散性以及容許性具有重要的理論意義和實用價值。目前，關于廣義時滯系統耗散性的研究成果頗豐[3-8]。自1985年T.Takagi等人[9]提出了T-S模糊模型以來，因其強大的建模能力且可以近似非線性系統，受到廣泛關注。針對T-S模糊廣義時滯系統的耗散性問題，Han C S等人[10]運用時滯分割技術和松弛矩陣方法，研究了具有時滯的T-S模糊廣義系統的耗散性分析問題；M.Kchaou等人[11]研究了一類時滯T-S模糊廣義系統帶耗散性的滑模控制問題，其中系統受不確定性和輸入非線性的影響；Feng Z等人[12]構建增廣的L-K泛函，結合輔助函數不等式及自由權矩陣，得到了嚴格 (Q,S,R)-γ-耗散的充分條件，并用迭代算法求解出所設計控制器的參數。針對廣義時滯系統的容許性問題，Li W X等人[13]通過采用一種新型的廣義積分不等式，基于LMIs的處理方法，得到T-S模糊廣義時滯系統時滯相關的容許性條件；Feng Z等人[14]研究了具有時滯的廣義區間2型T-S模糊系統的容許性分析和鎮定問題；A.Ech-Charqy等人[15]運用時滯分割技術，結合Wirtinger不等式，研究了不確定廣義時滯系統的時滯相關魯棒穩定性問題；Zhang H Y等人[16]推導出一種新型廣義積分不等式，研究了T-S模糊廣義時滯系統的容許性問題。基于此，本文將文獻[17]中提出的非對稱方法拓展到廣義時滯系統的研究中，構造了增廣的非對稱的L-K泛函，運用積分不等式技術，對L-K泛函及其導數中的積分項進行估計，得到了低保守性的耗散性及容許性判據，并通過數值算例驗證了所提方法的有效性及優越性。該研究具有一定的創新性。

1 問題描述

考慮如下T-S模糊模型逼近的一類非線性廣義時滯系統，模糊規則i為

(1)

通過對系統(1)進行模糊融合，得到全局模糊模型為

(2)

令ω(t)=0，系統(2)變為

(3)

根據文獻[1]中的定義，若系統(3)正則、無脈沖且漸近穩定，則稱系統(3)是容許的。為了后續推導及證明，現給出如下定義以及引理。

定義1[18]在零初始條件下，給定標量γ>0，對稱矩陣Q≤0,R和任意適當維數的實矩陣S。如果系統滿足如下不等式

G(ω,z,τ)≥γ〈ω,ω〉τ

(4)

引理1[19](Wirtinger不等式)對于一個任意的對稱正定矩陣J∈Rn×n，標量α，β，并且α<β，以及連續可微函數x:≥[α,β]→Rn，以下積分不等式成立

(5)

其中

引理2[14]對于一個任意的對稱正定矩陣J∈Rn×n，標量α，β，且α<β，以及連續可微函數x:≥[α,β]→Rn，以下積分不等式成立

(6)

其中

為了方便進一步推導和書寫，提前定義以下向量為

2 主要結果

為了研究T-S模糊廣義時滯系統的耗散性及容許性分析問題，定理1給出系統(2)嚴格(Q,S,R)-γ-耗散的判定準則，并在推論1中給出系統(3)容許的判定準則。

定理1給定正標量τ,γ,對稱矩陣Q≤0,R,及任意實矩陣S，系統(2)是嚴格(Q,S,R)-γ-耗散的，如果存在如下矩陣

使下列不等式成立

(7)

(8)

(9)

其中，U∈R(n-n1)×n是一個行滿秩矩陣；V∈Rn×(n-n1)是一個列滿秩矩陣，并滿足EV=0；UE=0；X11∈R(n-n1)×(n-n1)是可逆矩陣。而

Θ11=τP11+τ2W,Θ12=τP12E-τWE,Θ13=τP13E,Θ22=τETP22E+4T1+4ETWE

Θ23=τETP23E+2T2-6τ-1T1-6τ-1ETWE,Θ24=-3τ-1T2

Θ33=τETP33E+4Z1-3τ-1sym(T2)+12τ-2T1+12τ-2ETWE,Θ34=-6τ-1Z1+6τ-2T2

證明首先證明系統(2)的正則性與無脈沖性，由于rank(E)=n1

(10)

(11)

(12)

(13)

由式(7)可得

T1+ETWE>0

(14)

在式(14)兩邊分別乘以HT和H，結合式(10)和式(12)，可得

T13>0

(15)

根據式(9)可得

Ξ11i<0

(16)

(17)

由于W>0,Z1>0,Z2>0以及Q≤0，所以,根據式(16)可得

(18)

在式(17)兩邊分別乘以diag(HT,HT)及其轉置，然后結合式(10)～式(13)及式(18)可得

(19)

(20)

(21)

即

(22)

(23)

根據式(15)和式(23)可以推出，對于任意λi(μ)，滿足如下

選擇L-K泛函為

V(xt)=V1(xt)+V2(xt)+V3(xt)+V4(xt)+V5(xt)

(24)

其中

通過文獻[20]中的Jensen不等式及W>0，Z1>0，可得

V2(xt)+V3(xt)+V4(xt)=

(25)

根據式(7)，并運用引理1，結合式(25)以及式(8)可得

V1(xt)+V2(xt)+V3(xt)+V4(xt)≥

(26)

由于Z2>0，故V5(xt)>0，則V(xt)>0。對V(xt)求導，得

(27)

其中

根據式(9)、引理2及Jensen不等式[20]，可得

(28)

對式(28)從0到t積分，又由于V(0)=0，可得

G(ω,z,τ)-γ[ω,ω]τ≥V(xt)-V(0)>0

(29)

綜上所述，系統(2)是正則、無脈沖、穩定且嚴格(Q,S,R)-γ-耗散的。證畢。

注1由于廣義系統的特殊性，本文運用的引理2是廣義形式的輔助函數不等式，在L-K泛函式(24)中，添加V4(xt)和V5(xt)，以獲得LMIs式(7)～式(9)可行解的條件。令P>0,T1>0,T2=0,Z1=σ1I,Z2=σ2I,且σ1,σ2均為極小的正實數，運用輔助函數不等式，并結合自由權矩陣，可以得到和文獻[12]中定理1等價的耗散性判據，因此在理論上，本文所提非對稱方法得到的結果和文獻[12]相比具有更少的保守性，下一節將從數值上加以驗證。

為了獲得系統(3)容許性的條件，令系統(2)中ω(t)=0，以及定理1中Q,S,R,Bi,Ci,Di均為零矩陣，可以得到如下推論：

推論1給定正標量τ，如果存在矩陣

使下列不等式成立

(30)

Θ>0,

(31)

(32)

則系統(3)是容許的。其中U∈R(n-n1)×n是行滿秩矩陣;V∈Rn×(n-n1)是列滿秩矩陣，并滿足EV=0，UE=0，X11∈R(n-n1)×(n-n1)是可逆矩陣。則

證明當ω(t)=0時，結合定理1的證明，令Q,S,R,Bi,Ci,Di均為零矩陣，可知系統(3)是正則無脈沖的，并且可以得到如下不等式

(33)

注2令推論1中的P>0,T1>0,T2=0,可將推論1降為文獻[14]中的定理1，從理論上與文獻[14]的對稱方法相比，本文所提的非對稱方法具有更低的保守性。

3 數值仿真

通過2個數值例子，驗證本章所得結果在降低保守性時的有效性與優越性。

例1考慮系統(2)具有2個模糊規則時，各常數矩陣為[12]

該例子的主要目的就是在確保系統(2)正則、無脈沖、穩定且嚴格(Q,S,R)-γ-耗散的前提下，尋找最大時滯上界τmax。因此，給定耗散矩陣為

為了更精確的說明，在給定耗散性指數γ=0.35的情況下，將本節所提方法與文獻[10]、文獻[11](hm=hd=0)及文獻[12]進行比較，并給出最大時滯上界τmax的比較結果，系統(2)最大時滯上界比較如表1所示。由表1可以看出，本文所得結果在一定程度上降低了保守性，從數值上證明了本節所提的非對稱L-K泛函方法，相較文獻[12]中的對稱L-K泛函方法具有更低的保守性。

例2考慮具有如下參數的T-S模糊廣義時滯系統[16]為

例2的主要目的是尋找最大時滯上界τmax，確保系統(3)滿足容許性的要求。給出文獻[12]、[14]、[15]及[16]以及推論1，計算得到最大時滯上界τmax及決策變量的數量，比較幾種方法的保守性以及計算數量，系統(3)最大時滯上界和決策變量的數量如表2所示。由表2可以看出，推論1所得的τmax最大，說明本文所提的非對稱方法具有更低的保守性。

表1 系統(2)最大時滯上界比較

表2 系統(3)的最大時滯上界τmax和決策變量的數量

4 結束語

本文將文獻[17]中提到的非對稱的L-K泛函拓展至研究T-S模糊廣義時滯系統的耗散性及容許性問題。首先構建合適的增廣的非對稱L-K泛函，然后結合積分不等式技術對L-K泛函及其導數中的積分項進行估計，運用LMI技術，在定理1中獲得了保守性低的耗散性及容許性判定準則，所得結果相較于文獻[12]以及文獻[14]中的對稱L-K泛函方法具有更少的保守性。最后，通過兩個數值例子對上述內容進行了仿真驗證，說明了所提方法的有效性及優越性。非對稱L-K泛函方法為廣義時滯系統的分析與研究提供了新的研究思路，同時也豐富了廣義時滯系統的研究理論。下一步將考慮控制器的設計問題，將非對稱L-K泛函的方法拓展至研究耗散控制等問題。