高速曳引電梯提升鋼絲繩水平方向振動的分析與研究

黃龍濤 王海平 屈 濤 劉繼征 劉 海

陜西省特種設備檢驗檢測研究院 西安 710048

0 引言

隨著高層建筑快速的發展，高速曳引電梯被廣泛應用。在動力學性能方面，國內高速曳引電梯與國外還存在較大差距，尤其是提升鋼絲繩振動方面最為突出，是電梯減振技術的核心問題。在電梯運行過程中存在曳引機偏心旋轉、導軌不平度等問題，提升鋼絲繩以水平方向振動為主，而側向振動不明顯，故對提升鋼絲繩水平方向振動的研究十分有意義。

1 高速電梯提升鋼絲繩水平方向振動模型建立

高速電梯在運轉過程中，提升鋼絲繩長度會隨著時間的變化而變化，也導致曳引鋼絲繩阻尼與剛度產生變化。集中參數離散模型是把提升鋼絲繩簡化成彈簧—阻尼系統[1]，忽略提升鋼絲繩的時變性與連續性，故本文采用分布參數連續模型。提升鋼絲繩上、下端分別和曳引輪、轎廂相連，補償繩上、下端分別和轎廂、張緊輪相連。分析提升鋼絲繩振動情況下張緊輪的預緊力和慮補償繩的質量很重要[2]，同樣導軌對提升鋼絲繩的影響也相當重要。為了突出張緊輪的預緊力和慮補償繩的質量與導軌的影響，建立了高速曳引電梯提升鋼絲繩水平方向振動模型，如圖1所示。

圖1 高速曳引電梯提升鋼絲繩水平方向振動模型

1.1 水平方向振動控制方程建立

本文中模型建立和求解基于4個假設[3]：1）不考慮井道內部摩擦力、氣流的影響；2）忽略補償繩振動的影響；3）忽略提升鋼絲繩側向振動、扭轉等因素的影響，同時水平方向振動產生的彈性變形量要比整條弦線長度小；4）提升鋼絲繩彈性模量E、橫截面積A、線密度ρ保持不變。

將提升鋼絲繩簡化為軸向運動的變長度弦線[4]，將轎廂簡化成質量為m的剛性重物，連接在變長度弦線的下端，縱向自由；將導軌簡化成阻尼系數為c1的阻尼器、剛度為k1的彈簧；外界激勵為e1表示電動機偏心旋轉的影響；水平激勵e2為導軌的不平度的影響。彈性模量為E、橫截面積為A、線密度為ρ、補償繩長度為h-L(t)，h為提升高度，補償繩線密度為ρ1。選取提升鋼絲繩與曳引輪的切點為原點，垂直向下為x軸的正方向，i為x軸方向的單位矢量，水平向左為y軸的正方向，j為y軸方向的單位矢量。利用連續介質有限形變的理論可得到，提升鋼絲繩x處位移向量R為

對式（1）中時間t求導得提升鋼絲繩x處的速度向量為

對式（2）進一步簡化為

式中：yx[x(t)，t]為y[x(t)，t]對x的偏導，yt[x(t)，t]為y[x(t)，t]對t偏導，分別用y、yx、yt表示y[x(t)，t]、yx[x(t)，t]、yt[x(t)，t]。

同理可得提升重物位移與速度的向量分別表示為

由式（3）、式（5）可得，系統動能為

系統勢能則表示為

式中：ε為曳引鋼絲繩的應變。

式（9）忽略高階項可得

將式（10）代入到式（8）中可得

將式（11）代入式（7）中可以得到勢能為

式中：P為在時間t提升鋼絲繩在x處受到的張緊力。

提升鋼絲繩受到自重與轎廂重力以及補償繩的重力、預緊力的作用，故張緊力P表示為

系統阻尼力的虛功表示為

式中：c為提升鋼絲繩的分布阻尼。

根據Hamilton原理[3]

進行積分與變分運算時，因提升鋼絲繩的長度是時變的，故式（15）中對t積分上限同樣是時變的，使用分部積分法與參變量積分求導法

將式（15）進行一系列的變換運算后，可以得出高速曳引電梯提升鋼絲繩的水平方向的振動控制方程

相應時間與幾何邊界條件分別表示為

式（18）為非齊次邊界條件，齊次邊界條件由非齊次邊界條件轉化，此時引入齊次邊界條件函數y1(x,t)，水平方向位移y(x,t)表示為

式中：y1(x,t)為滿足齊次邊界條件區域，y2(x,t)為不滿足齊次邊界條件區域。

將式（19）代入式（17）可以得到在激勵作用條件下高速曳引電梯提升鋼絲繩的水平方向振動控制方程為

1.2 基于Galerkin法的提升鋼絲繩水平方向振動偏微分方程離散

Galerkin法[3]原理：疊加所選取的有限多項式函數，使結果滿足求解范圍，并且讓邊界加權積分滿足原方程式，可以得到求解簡單、滿足邊界條件的線性方程式。本文利用Galerkin法對高速曳引電梯提升鋼絲繩水平方向振動偏微分方程進行離散化處理。

離散化處理前先定義一個無量綱參數ξ，歸一化處理原變量，即ξ=x/l(t)，將x時變域轉成ξ固定域[0,1]，設方程式（20）解為

式中：qi(t)為廣義坐標；i=（1，2，…n），n為模數；φi(ξ)為形函數。

將式（22）代入到式（21），并求導可得

將式（23）代入到式（20）中，且等式兩邊乘以φj(ξ)，然后將ξ在[0，1]內進行積分，可以得到將高速曳引電梯提升鋼絲繩水平方向振動無限維度偏微分方程轉化成有限維度常微分方程，即

其中：q=[q1(t)，q2(t)，……，qn(t)]T表示廣義坐標向量；矩陣M、C、K、F中各元素值分別表示為

式中：δij為delta函數，若i≠j，則δij=0，若i=j，則δij=1。

式（24）求解后，可計算廣義坐標向量q代入到式（19）中，得到了提升鋼絲繩水平方向振動實時值。

2 提升曳引繩振動模型參數影響分析

本文以高速曳引電梯工作原理為基礎，結合某工況下最大速度vmax=5 m/s、最大加速度amax=1 m/s2、最大加加速度Jmax=0.5 m/s3、最大提升高度lmax=150 m、E=8×1010N/m2、ρ1=0.343 kg/m、e1=0.01sin(3.14t)、e2=0.005sin(6.28t)電梯參數為輸入，使用Matlab的Newark-β法仿真分析高速電梯單根提升鋼絲繩的提升質量m、分布阻尼c、線密度ρ、預緊力f對其提升鋼絲繩水平方向振動的影響。

結合4個參數設計了4個案例，每案例都有3種工況。案例1取m分別為400 kg、500 kg、550 kg；案例2取c分別為0.25、0.5、1；案例3選用碳素鋼、結構為8×19類別的提升鋼絲繩，提升鋼絲繩公稱直徑分別為10 mm、12 mm、16 mm，取ρ分別為 0.512 kg/m、0.7 kg/m、0.87 kg/m；案例4取f分別為 400 N、500 N、600 N；具體如表1所示。

表1 案例分析參數

2.1 提升質量m影響的分析

在案例1中對電梯上、下行過程的振動進行仿真，分析不同單根鋼絲繩提升質量m對電梯提升鋼絲繩水平方向振動響應的影響。圖2～圖4為m=400 kg、500 kg、m=550 kg時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應曲線。從圖可得電梯上行時提升鋼絲繩水平方向振動加速度的最大值分別為0.591 4 m/s2、0.75 m/s2、0.766 m/s2；下行時其最大值分別為0.390 3 m/s2、0.406 7 m/s2、0.410 2 m/s2。由圖可知，電梯上、下運轉過程中，提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應幅值隨提升質量m的增大而逐漸增大，故可以通過減小單根提升鋼絲繩的提升質量來減弱提升鋼絲繩水平方向的振動。

圖2 m=400 kg時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應

圖3 m=500 kg時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應

圖4 m=550 kg時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應

2.2 提升曳引繩分布阻尼的影響分析

在案例2中對電梯上、下行過程的振動進行仿真，分析不同分布阻尼c對電梯提升鋼絲繩水平方向振動響應的影響。圖5～圖7為c=0.25、0.5、1時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應曲線。從圖可得電梯上行時提升鋼絲繩水平方向振動加速度的最大值分別為0.594 9 m/s2、0.574 3 m/s2、0.406 2 m/s2；下行時其最大值分別為0.497 m/s2、0.39 m/s2、0.275 5 m/s2。由圖可知，電梯上、下運轉過程中，提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應幅值隨分布阻尼的增大逐漸減小，故可以通過增大分布阻尼來減弱提升鋼絲繩水平方向的振動。

圖5 c=0.25時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應

圖6 c=0.5時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應

圖7 c=1時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應

2.3 提升曳引繩線密度的影響分析

在案例3中對電梯上、下行過程的振動進行仿真，分析不同線密度ρ對電梯提升鋼絲繩水平方向振動響應的影響。圖8～圖10為ρ=0.512 kg/m3、ρ=0.7 kg/m3、ρ=0.87 kg/m3時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應曲線。從圖可得電梯上行時提升鋼絲繩水平方向振動加速度的最大值分別為0.553 8 m/s2、0.601 1 m/s2、0.840 9 m/s2；下行時其最大值分別為0.359 2 m/s2、0.388 5 m/s2、0.441 6 m/s2。由圖可知，電梯上、下運轉過程中，提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應幅值隨線密度的增大而逐漸增大。因此，可以通過減小線密度來減弱提升鋼絲繩水平方向的振動。

圖8 ρ=0.512 kg/m3時提升鋼絲繩水平方向振動響應

圖9 ρ=0.7 kg/m3時提升鋼絲繩水平方向振動響應

圖10 ρ=0.87 kg/m3時提升鋼絲繩水平方向振動響應

2.4 電梯預緊力的影響分析

在案例4中對電梯上、下行過程的振動進行仿真，分析不同預緊力f對電梯提升鋼絲繩水平方向振動響應的影響。圖11～圖13為f=400 N、500 N、600 N時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應曲線。從圖可得電梯上行時提升鋼絲繩水平方向振動加速度的最大值分別為0.594 9 m/s2、0.605 2 m/s2、0.621 9 m/s2；下行時其最大值分別為 0.388 3 m/s2、0.392 8 m/s2、0.395 5 m/s2。由圖可知，電梯上、下運轉過程中，提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應幅值隨預緊力的增大而逐漸增大，故可以通過減小預緊力來減弱提升鋼絲繩水平方向的振動。

圖11 f=400 N時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應

圖12 f=500 N時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應

圖13 f=600 N時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應

3 結論

1）增大分布阻尼c可以減弱提升鋼絲繩水平方向的振動，分布阻尼c和提升鋼絲繩水平方向振動響應呈負相關；

2）減少單根提升鋼絲繩的提升質量m、鋼絲繩線密度ρ、預緊力f可以減弱提升鋼絲繩水平方向的振動，單根提升鋼絲繩的提升質量m、鋼絲繩線密度ρ、預緊力f和提升鋼絲繩水平方向振動響應呈正相關。