基于薄板理論的孤島工作面基本頂變形規(guī)律及破斷距研究

宋彥琦，楊敏健，馬宏發(fā)，鄭俊杰，申付新

（1.中國礦業(yè)大學（北京）煤炭資源與安全開采國家重點實驗室，北京 100083；2.中國礦業(yè)大學（北京）力學與建筑工程學院，北京 100083）

為了避免工作面采掘接替緊張，防止瓦斯等災害，大多煤礦都采用跳采的方式，最終在采區(qū)內(nèi)形成了兩側(cè)或三側(cè)采空的孤島工作面[1]。孤島工作面受相鄰采空區(qū)應力疊加的影響，覆巖應力分布復雜，頂板變形較大，極易誘發(fā)礦震、沖擊地壓等動力災害，嚴重威脅工作面的安全開采[2-5]。楊登峰等[6]建立了懸臂梁－砌體梁力學結(jié)構(gòu)模型，對工作面頂板破斷的主要影響因素進行了研究；盧國志等[7]基于傳遞巖梁理論，分析了巖梁結(jié)構(gòu)等因素對頂板周期垮落步距的影響；梁沙平等[8]建立了彈性梁模型，分析了特厚煤層頂板初次破斷特征；李化敏等[9]對特厚煤層大采高工作面采場頂板運移破斷特征進行了研究。但巖梁模型適用于研究長壁工作面基本頂中部的力學特征，對于較寬采空區(qū)頂板全區(qū)域分析并不適用[10-11]。因此，王新豐等[12]運用薄板彎曲理論建立了不同開采階段頂板力學模型，研究了“刀把式”變長工作面頂板破斷特征，揭示了頂板“O-X”型破斷機理；屠洪盛等[13]建立了急傾斜工作面頂板薄板力學模型，研究了急傾斜工作面頂板撓曲變形特征；黃長國等[14]建立了回采工作面力學模型，得到了基本頂初次來壓和周期來壓步距計算公式；劉正春等[15]基于薄板力學模型，研究了孤島工作面頂板破斷機理，得到了頂板初次來壓和周期來壓步距；張益東等[16]建立了孤島工作面主關(guān)鍵層薄板力學模型，得到了主關(guān)鍵層的應力分布情況和破斷形式。

目前，以彈性薄板理論為基礎研究工作面頂板破斷力學特征的研究較多，但針對三面環(huán)空孤島工作面頂板的變形規(guī)律研究較少。因此，以河南某煤礦MZ201 工作面為研究背景，建立了基本頂薄板力學模型，研究了頂板的變形和破斷規(guī)律，分析了初次來壓和周期來壓步距。

1 基本頂薄板變形力學模型

1.1 薄板假設及基本頂力學模型

在彈性力學中，將2 個平行面和垂直于這2 個平行面的柱面所圍成的物體稱之為板[17]。令：h 為板的厚度，b 為板長度或?qū)挾鹊淖钚〕叽纾?/8≤h/b≤1/5 時，可以將這個板稱之為薄板，平分板厚度的平面稱為中面，薄板力學模型如圖1。

圖1 薄板力學模型Fig.1 Mechanical model of thin plate

采礦工程實踐表明：長壁回采工作面長度一般為150～200 m，基本頂初次來壓步距一般在30 m 左右，基本頂巖層厚度一般在2～4 m 之間[18]。基本頂結(jié)構(gòu)滿足薄板模型約定條件，因此，可以將基本頂巖層視為連續(xù)彈性體，上部作用均布荷載，建立基本頂彈性薄板力學模型。工作面開采方式、邊界煤柱大小和支護措施等不同時，頂板簡化力學模型的邊界條件也差別較大。一般將留設窄煤柱視為簡支邊界，斷層附近頂板邊界條件簡化為簡支邊界[18]，而實體煤一側(cè)視為固支邊界[19]。

1.2 頂板力學模型求解

彈性薄板小撓度彎曲問題通常按位移求解，取薄板撓度為基本未知函數(shù)，并將其他未知量用撓度表示，建立彈性曲面微分方程：

式中：D 為薄板的彎曲剛度，N·m；q 為薄板上平面均布荷載，MPa；E 為材料的彈性模量，MPa；μ為材料的泊松比；h 為薄板的厚度，m；w 為薄板的撓度函數(shù)。

一般采用解析法、差分法、能量變分法等方法對式（1）進行求解。以傅里葉三角級數(shù)為基礎的各種半逆解法是應用最為廣泛的解析法，對簡單的邊界條件適用性較強[20]；差分法利用差分方程代替偏微分方程求得方程的近似解，但需要足夠小的網(wǎng)格間距才可以滿足工程精度[21]；能量變分法根據(jù)最小勢能原理將問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)極值，通過求解線性方程組得到方程的解，思路清晰，求解簡便，同時也可以滿足工程精度要求[21]。因此，本研究利用能量變分法求解該方程。

1.3 能量變分法

彈性體的總勢能包括應變勢能和外力勢能。研究表明：在給定外力的作用下，滿足位移邊界條件的所有各組位移中，實際存在的1 組位移應該使總勢能成為最小值，此時彈性體總勢能的變分為0，即：

由此可以得出m 個線性方程，確定Cm，求得薄板撓度函數(shù)w，進而求得薄板的內(nèi)力。

2 頂板破斷模型分析

孤島工作面是指采區(qū)或盤區(qū)內(nèi)回采工作面兩側(cè)或三側(cè)都已回采完成的工作面，因?qū)嶓w煤已經(jīng)采空，基本頂巖層充分破斷。因此，根據(jù)預留煤柱尺寸和采動影響，將煤柱視為簡支邊界，實體煤壁視為固支邊界，將孤島工作面初采階段的力學模型簡化為三邊簡支一邊固支受均布荷載作用的矩形薄板結(jié)構(gòu)。初次破斷后，模型簡化為四邊簡支的薄板結(jié)構(gòu)。

2.1 基本頂初次破斷力學模型分析

根據(jù)上述分析，將孤島工作面基本頂巖層初次破斷模型簡化為長、寬分別為2a1、2b1，板厚為2δ 的薄板力學模型，在基本頂中心位置沿中面方向建立坐標系，基本頂力學結(jié)構(gòu)如圖2[22]。

圖2 三邊簡支一邊固支的基本頂力學模型Fig.2 Mechanical model of main roof with three sides simply supported and one fixed side

根據(jù)題設條件和彈性力學的基本知識，該模型的邊界條件為：

通過求解撓度函數(shù)，可以得到孤島工作面初次來壓時基本頂巖層的位移和應力分布情況。初次來壓后，固支長邊斷裂，邊界條件發(fā)生變化，因此需要重新構(gòu)建力學模型，研究基本頂周期破斷時巖層位移和應力演化特征。

2.2 基本頂周期破斷力學模型分析

在上述分析中，將孤島工作面基本頂巖層周期破斷的邊界條件簡化為四邊簡支，據(jù)此構(gòu)建長寬分別為2a2、2b2，板厚為2h 的薄板力學模型，在基本頂中心位置沿中面方向建立坐標系。四邊簡支的基本頂力學模型如圖3。

圖3 四邊簡支的基本頂力學模型Fig.3 Mechanical model of main roof with four sides simply supported

進入周期破斷后，基本頂巖層的邊界條件為：

3 工程實例

3.1 工程概況

該煤礦位于河南省永城市，主采MZ201 工作面，工作面走向長1 500 m，傾向長300 m，平均埋深為578.4 m，煤層平均厚度2.52 m。工作面北與21009、21011、21015 采空區(qū)相鄰，區(qū)段煤柱寬度約8 m，南與21012、21014、21016 采空區(qū)相鄰，區(qū)段煤柱寬度約8 m，開切眼與后方采空區(qū)相隔約20 m 寬煤柱，是典型的三面環(huán)空孤島工作面，工作面布置情況如圖4。

圖4 MZ201 工作面平面圖Fig.4 Layout of MZ201 working face

據(jù)相關(guān)地質(zhì)資料及采掘過程中實際揭露情況來看，MZ201 工作面基本頂由砂質(zhì)泥巖組成，單層厚度3.74～6.61 m，平均厚度5.6 m。經(jīng)現(xiàn)場取樣和室內(nèi)力學實驗測試，結(jié)果表明：基本頂砂質(zhì)泥巖的抗拉強度3.9 MPa，彈性模量22.95 GPa，泊松比0.22。

3.2 工作面基本頂撓度分布特征

根據(jù)求得的三邊簡支一邊固支、四邊簡支邊界條件下的薄板撓度曲面函數(shù)表達式（12）、式（16），利用MATLAB 程序語言對其進行編譯，并將相應參數(shù)代入計算式，得到的初次破斷及周期破斷基本頂變形的撓度曲面如圖5 和圖6。

圖5 基本頂初次破斷撓度曲面Fig.5 Deflection surface of main roof at the first breaking

圖6 基本頂周期破斷撓度曲面Fig.6 Deflection surface of the main roof at the periodic breaking

由圖5 可知，工作面基本頂初次破斷撓曲變形在傾向方向上關(guān)于x 軸對稱分布，且在點（-a1/3，0）處撓度取得最大值，最大變形量為360 mm。由圖6可知，周期破斷時，工作面基本頂最大撓度點在薄板的中心位置，最大變形量為807 mm。初次破斷和周期破斷時，基本頂巖層變形存在巨大差異。原因是：初次破斷時，工作面上方的基本頂巖層處于上覆巖層和前方實體煤壁的“夾持”中，基本頂?shù)南鄬D(zhuǎn)動被限制，靠近實體煤側(cè)頂板下沉量較小，最大下沉量位置在采空區(qū)中后部。而進入周期破斷后，實體煤壁上方的巖層已經(jīng)發(fā)生破斷。實體煤壁僅限制頂板在豎直方向的運動，對頂板變形約束較小，頂板下沉變形大于初次破斷頂板變形，最大變形位于采空中部，相對靠近工作面前方實體煤。

3.3 工作面基本頂應力分布特征及破斷機理

根據(jù)彈性力學薄板變形與應力分布的關(guān)系，由式（12）可得出三邊簡支一邊固支薄板模型應力σx、σy和彎矩Mx、My的分布關(guān)系式為：

進入周期破斷后，基本頂上表面邊界處的巖層已經(jīng)破斷，巖層的最大拉應力出現(xiàn)在模型下表面中心（0，0，h）處，將其代入式（20）可得：

利用MATLAB 程序語言對應力分布函數(shù)進行編譯，并將相應參數(shù)代入計算式，得到的基本頂初次來壓階段上表面應力分布和周期來壓階段下表面應力分布情況如圖7 和圖8。

圖7 初次破斷模型上表面應力分布Fig.7 Stress distribution on the upper surface of the first breaking

圖8 周期破斷模型下表面應力分布Fig.8 Stress distribution on the bottom surface of the periodic breaking

由圖7 可以看出，初次來壓階段受端部邊界條件的影響，頂板最大應力出現(xiàn)在煤壁及開切眼巖層上表面中間位置；受采動影響，基本頂上表面拉應力達到巖石抗拉強度時，巖層出現(xiàn)裂隙，并不斷向兩短邊延伸。

由圖8 可以看出，周期來壓階段，頂板最大拉應力出現(xiàn)在下表面中心處，并呈“O”型向外逐步遞減，此時頂板巖層破斷主要受下表面拉應力控制，當拉應力達到極限抗拉強度時，頂板在中心位置發(fā)生破斷；由于工作面寬度遠大于回采懸頂距，所以傾向方向正應力大于走向方向，裂紋沿傾向向兩端延伸，在短邊近端處由于2 個方向的拉應力趨于相同而產(chǎn)生分叉，形成“X”型破斷。

3.4 基本頂破斷距分析

由巖石的力學性質(zhì)可知，巖石的抗拉強度遠小于抗壓強度，巖石的破壞是由拉應力達到抗拉強度引起的。因此選擇拉應力強度理論作為巖石破斷準則，即：

將孤島工作面實際開采參數(shù)分別代入式（25）、式（26）中，可得MZ201 孤島煤柱工作面初次來壓步距為49.3 m，周期來壓步距為27.9 m，與現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)相接近。頂板來壓對工作面的安全開采影響較大，通過預測其破斷步距，可以及時調(diào)整工作面的支護措施，為工作面安全開采提供保障。

4 結(jié) 語

1）基于彈性力學薄板理論，將工作面的基本頂視為彈性薄板結(jié)構(gòu)，建立了基本頂彈性薄板彎曲力學模型。通過理論計算得到了基本頂初次破斷和周期破斷時最大撓度分別為360 mm 和807 mm。

2）通過理論分析得出孤島工作面基本頂應力分布特征和破斷規(guī)律。初次來壓時，采場基本頂巖層上表面長邊中部先產(chǎn)生裂隙，沿工作面長邊不斷發(fā)展，與短邊裂隙相貫通；周期來壓時，基本頂下表面中間位置先達到抗拉強度極限而發(fā)生破壞，并沿傾向方向不斷發(fā)展，在短邊近端處分叉，形成“X”型裂紋。

3）以拉應力強度理論作為巖石破斷準則，推導出基本頂初次來壓和周期來壓破斷距的計算公式。結(jié)合工作面實際參數(shù)，MZ201 孤島煤柱工作面初次來壓步距和周期來壓步距理論值分別為49.3 m 和27.9 m，與現(xiàn)場實際相近。