角速度有界的在軌抓捕航天器姿態控制

徐琳, 代睿, 殷春武, 段中興

(1.西安建筑科技大學 信息與控制工程學院, 陜西 西安 710055;2.西北工業大學 自動化學院, 陜西 西安 710129)

隨著人類空天活動的增加，漂浮在太空中的空間碎片對在軌航天器的威脅也與日俱增，因此清除空間碎片(或其他非合作目標)成為航天領域可持續發展必須解決的問題。最常用的清除方式是采用機械臂捕獲并回收空間碎片，在此過程中航天器會因機械臂運動而出現質心偏移和姿態偏差，因此設計出具有較強魯棒性的自適應控制器，從而保證抓捕航天器的安全運行，具有重要的工程應用價值。

無序飛行的空間碎片其質量與速度均未知。航天器在抓捕空間碎片過程中，航天器的質心必定發生偏移，從而導致轉動慣量攝動量變化規律不可預知。因此，必須采用自適應控制技術或智能逼近系統對轉動慣量攝動部分進行補償，提升系統對參數攝動的魯棒性。文獻[1-5]主要是設計自適應律實時估計未知轉動慣量，并基于不同的應用環境構建包含轉動慣量估值的自適應姿態控制算法；文獻[6-8]則主要將轉動慣量分離為名義部分和攝動部分，并采用諸如極限學習機、神經網絡、模糊系統等智能逼近系統逼近由轉動慣量攝動引起的攝動部分，并將其作為控制器的補償性輸入。以上研究工作雖然都解決了參數攝動問題，但所用算法均存在轉動慣量估計精度不足、智能逼近系統結構復雜等缺陷。

在抓捕空間碎片過程中，不僅存在轉動慣量攝動問題，還存在導航帶寬和角速率陀螺量程的限制問題，因此航天器的角速度必須限制在有界范圍內。早期學者重點關注的是航天器控制輸入飽和約束的解決方案[9-13]。近些年，航天器角速度有界約束的研究才被重視[14-17]。文獻[14]在考慮航天器角速度有界和轉動慣量攝動條件下，設計了一種反演自適應控制算法；文獻[15]基于抗退繞控制方法提出了角速度和控制輸入有界的控制算法；文獻[16]給出了一種L2增益控制算法，文獻[17]設計了一種改進的非線性反饋控制器。

本文以航天器捕獲非合作目標過程中的姿態穩定控制為應用背景，在考慮航天器角速度有界約束條件下，采用雙環遞歸跟蹤控制方法，設計出航天器自適應跟蹤控制器。設計思路如下：對航天器外環系統的姿態運動學方程預設了一個有界虛擬角速度作為外環虛擬控制的輸入，使得外環系統姿態角能夠平穩快速收斂至期望角度；對于航天器內環系統，本算法基于矩陣變換算子將轉動慣量矩陣轉換成關于轉動慣量元素向量的回歸方程，構建自適應更新律在線估計上界未知的轉動慣量；根據包含角速度跟蹤誤差的障礙李亞普諾夫函數(barrier Lyapunov function,BLF)，設計出自適應姿態控制器，驅動實際角速度快速跟蹤外環預設虛擬角速度，同時保持角速度的有界性。

1 抓捕控制問題描述

剛體航天器在抓捕非合作目標過程中，質心偏移導致的主轉動慣量的變化規律可描述為：

1) 在抓捕過程最初階段，主轉動慣量會隨著機械臂伸展而逐漸增加；

2) 在捕獲非合作目標瞬間，非合作目標的無序運動反作用于航天器，導致主轉動慣量產生一個未知的突增；

3) 在機械臂回收階段，主轉動慣量則會逐步遞減。

令航天器在捕獲非合作目標瞬間受到的瞬時強干擾為d1。再考慮外部環境干擾d2,則抓捕航天器的實際外部干擾為

d=d1+d2

(1)

基于單位四元數{q0,q}={q0,q1,q2,q3}的航天器姿態運動學的方程式為[2]

(2)

(3)

式中：I3為單位矩陣；R為單位正交矩陣。

剛體航天器姿態動力學方程為[2]

(4)

式中：d∈R3為(1)式中的有界外部干擾,且‖d‖∞≤D,常數D為干擾最大值；u∈R3為控制輸入矢量。轉動慣量矩陣J分解為名義矩陣J0和攝動矩陣ΔJ,即J=J0+ΔJ。由于非合作目標的動力學特性不可預知,所以轉動慣量J的上界未知。ω×為矢量ω=[ω1,ω2,ω3]T的反對稱矩陣

(5)

那么可以把航天器在軌抓捕非合作目標時的姿態控制問題轉換為:當存在外部干擾d和轉動慣量J攝動的復雜條件下,基于航天器動力學系統(2)與(4)設計魯棒控制器u,使閉環系統漸近穩定。即當t→∞時有

q(t)→0,ω(t)→0

(6)

且角速度滿足約束‖ω‖∞≤ωmax。

2 相關定義和引理

1) 當x∈Ω趨近于Ω的邊界時(如‖x‖→kb),有V(x)→∞;

則定義函數V(x)為障礙李亞普諾夫函數。

(7)

則對于t∈[0,∞)有‖e1(t)‖

定義2令向量a=(a1,a2,a3)T,定義線性回歸算子

(8)

令ξ=(J11,J22,J33,J12,J13,J23)T,則有

(9)

3 控制器設計

本文采用雙環遞歸跟蹤控制方法設計航天器的姿態跟蹤控制器,并分別對閉環系統的穩定性以及角速度的全程有界性進行理論推導。

3.1 外環控制器設計

考察以角速度作為輸入量的外環運動學方程。一方面,過大的角速度會破壞航天器的平穩性,另一方面,受航天器物理硬件設備的限制,角速度難以達到較大的理論數值,因此,為設計更符合工程應用的姿態跟蹤控制器,必須要求角速度有界。為了限定外環系統中角速度的輸入范圍,本文設計有界虛擬角速度輸入

ωv=-ωTtanh(k1q)

(10)

式中，ωT>0為外環運動學方程中可允許的最大虛擬角速度值,常數k1>0。圖1反映了ωv某一分量的變化特性。

圖1 虛擬角速度分量的變化特性

如前文所述,為了確保外環系統(2)的漸近穩定性,本文預設了虛擬角速度ωv。由此構造出Lyapunov函數

V1(q)=(q0-1)2+qTq

(11)

對V1(q)關于時間t求導

(12)

可見,當實際角速度ω為虛擬角速度ωv時,有

(13)

根據Lyapunov第二穩定性理論可知,當t→∞時,q0→±1,q→0。

3.2 內環魯棒追蹤控制器設計

設ω為內環系統(4)輸出的實際角速度。內環自適應控制器u的設計目標為:能夠實現ω快速跟蹤預設有界虛擬角速度ωv。

設e為ω與ωv的跟蹤誤差

e=ω-Rωv

(14)

構造如下BLF函數

(16)

(17)

式中

(18)

將(17)式代入(16)式得到

(19)

當轉動慣量J已知時,設計姿態控制器

u=-Yξ-Dsign(e)-k2e

(20)

式中，常數k2>0,sign(·)為符號函數。將(20)式的控制輸入表達式代入(19)式得到

(21)

根據(21)式可知,在轉動慣量矩陣J已知時,若t→∞,則有e→0,即

(22)

證畢

至此,內環子系統和外環子系統在其各自控制輸入下,各閉環系統的穩定性得證。接下來證明雙環遞歸控制下閉環系統的穩定性。

3.3 雙環追蹤控制穩定性分析

定理1當轉動慣量J已知時,姿態控制器(20)式能保證航天器姿態控制系統(2)式,(4)式漸近穩定,且當t→∞時有q(t)→0,ω(t)→0。

-ωTqTRq+qTe=

qTe=-ωT‖q‖2+qTe≤

(23)

(24)

對(24)式在[0,∞]上積分,并將V1(q)=(q0-1)2+qTq=2-2q0(t)代入,得

(25)

證畢

推論1當轉動慣量J已知時,在控制器(20)作用下,對于t∈[0,∞),ω與ωv的跟蹤誤差滿足‖e(t)‖∞<ωe。

根據e=ω-Rωv,‖ωv‖∞≤ωT有‖ω‖∞≤‖e‖∞+‖ωv‖∞,結合推論1可以得到:

推論2當不存在攝動對轉動慣量J的擾動時,對于ωe∈[0,∞),ωT∈[0,∞),總可以選擇出適當參數,使得ωe+ωT≤ωmax成立。因此在姿態控制器(20)作用下,實現對航天器角速度的有界約束,即角速度‖ω‖∞≤ωmax。

推論3當轉動慣量J已知,控制增益k1,k2一定時,控制輸入力矩是有界的,且滿足

(26)

因為

‖u‖∞≤‖Yξ‖∞+

‖Dsat(e,ε)‖∞+‖k2e‖∞≤

‖ω×Jω‖∞+‖Jω×Rωv‖∞+k2ωe+

λJmax‖ω2‖∞+λJmax‖ω‖∞‖ωv‖∞+

(27)

由于符號函數容易引起抖振,因此控制器中的符號函數可以用飽和函數代替,則(20)式修正為

u=-Yξ-Dsat(e,ε)-k2e

(28)

其中飽和函數sat(e,ε)分量元素的定義為

(29)

3.4 內環自適應追蹤控制器設計

前文在轉動慣量J固定前提下,設計了航天器姿態控制器(20),而航天器在軌捕獲非合作目標過程中,因受到目標本身無序運動的干擾,其轉動慣量會出現不同程度攝動。下面針對轉動慣量發生改變的工程應用背景,構建自適應姿態穩定控制器。

(30)

(31)

自適應姿態控制器表達式為

(32)

將(32)式代入(31)式得到

(33)

(34)

則有

(35)

當自適應控制器(32)和自適應更新律(34)應用于航天器姿態控制時,根據Lyapunov穩定理論可知,閉環系統(4)漸近穩定。同理,帶飽和函數的自適應姿態控制器為

(36)

根據定理1,同樣可得如下定理2。

定理2對存在轉動慣量攝動和外部干擾的航天器姿態動力學系統,自適應控制器(32)與自適應律(34)可實現閉環系統的漸近穩定性保證,即當t→∞時有q(t)→0,ω(t)→0。

定理2證明與定理1相同。同理可得如下推論。

推論4轉動慣量J存在未知攝動時,應用自適應姿態控制器(32)與自適應更新律(34),當t∈[0,∞)時,‖e(t)‖∞<ωe,其中e(t)為實際角速度ω與虛擬角速度ωv之間的誤差。

推論5當存在未知攝動對轉動慣量J的擾動時,對于ωe∈[0,∞),ωT∈[0,∞),總可以選擇出適當參數,使ωe+ωT≤ωmax成立。因此在自適應控制器(32)與自適應更新律(34)的作用下,航天器的角速度有界,即‖ω‖∞≤ωmax。

推論5說明自適應姿態控制器(32)和自適應更新律(34)實現了在軌捕獲非合作目標過程中的姿態穩定控制和角速度有界約束的目標。為保證閉環系統的收斂性和角速度的有界性,在設計ωe,ωT時,應盡可能地增大角速度追蹤誤差上界ωe,減小虛擬角速度的變化幅度值ωT。

自適應控制器(20)和(32)中的增益系數k1,k2恒定時,為避免當姿態追蹤誤差較大時產生過大控制力矩,本文對自適應控制器中的參數采用如下變增益表達式

ki=ρieαiarctan(βit)i=1,2

(37)

式中，參數ρi,αi,βi>0(i=1,2)。其中,控制增益增長速度的參數為αi;用來控制增益取值范圍的參數為ρi;控制增益收斂速度的參數為βi。

4 數值仿真分析

在抓捕非合作目標的過程中,假設在時刻T0=10 s時成功捕獲無序運動的非合作目標,此時會對抓捕航天器產生一個瞬間強干擾d1(其中r為方波),外部太陽輻射等環境干擾力矩記為d2(單位:N·m,ωΔ=0.1)

在T1=25 s時刻,非合作目標被抓捕航天器成功回收。結合實施抓捕的機械臂的動作過程,轉動慣量各元素變化規律可以表示為

4.1 驗證仿真分析

采用Matlab進行數值仿真,圖2～4為數值仿真結果。

圖2 姿態角變化趨勢(雙環)

圖2中的曲線反映了航天器姿態角變化趨勢。從圖2可以看出,基于本文所設計的變增益自適應姿態控制器(36),航天器的姿態角呈指數漸近收斂到0,且整個收斂軌跡沒有震蕩。即便在第10 s抓捕非合作目標時出現一個瞬時強干擾,且整個抓捕過程中轉動慣量J的元素呈非線性攝動,但航天器的姿態角收斂趨勢并沒有受到干擾和參數攝動影響。說明自適應控制器(36)具有較強的魯棒性,能夠使抓捕非合作目標過程中航天器姿態快速穩定。

圖3為抓捕過程中的控制力矩變化曲線。圖3顯示即便初期姿態角偏差較大,但由于變增益函數提供較小的控制增益,使得剛開始的控制力矩在保證姿態角收斂的前提下,控制力矩較小;后期雖然控制增益較大,但是姿態角追蹤誤差減小了,使得控制力矩也較小,整個控制過程中,除第10 s外,其他時間段的控制力矩均保持在-8～5 N·m內,且力矩的頻繁震蕩相對較少。在第10 s出現瞬間強干擾時,控制力矩產生了一個較大的控制輸入力矩來抑制外部強干擾,并在強干擾消失后,控制輸入力矩迅速減小。

圖3 三軸控制力矩曲線(雙環)

圖4反映了實際角速度ω跟隨預設虛擬角速度ωv變化的跟蹤效果。在控制初期,ω與ωv存在追蹤誤差,但在本文設計控制器下,ω很快收斂到ωv,并按照ωv的軌跡收斂到0 rad/s。在整個抓捕非合作目標過程中,航天器的角速度滿足有界約束條件‖ω‖∞≤0.03 rad/s≤0.1 rad/s,且角速度追蹤誤差滿足‖e‖∞<0.05 rad/s。在第10 s出現外部強干擾時,真實角速度ω受到微弱干擾,隨著干擾消失,真實角速度會快速收斂到ωv。

圖4 ω和ωv軌跡曲線

仿真結果表明,在存在外部干擾和轉動慣量矩陣各元素呈非線性攝動的情況下,控制力矩根據實際角速度ω與虛擬角速度ωv之間的誤差,控制ω快速追蹤上ωv,并按照ωv的軌跡變化。當姿態角較大時,ωv以較大的輸入驅動姿態角迅速減小,并隨著姿態角的收斂而逐漸收斂到0 rad/s。仿真結果顯示,本文設計的魯棒姿態控制器具有理想的控制效果,能保障抓捕過程中航天器的角速度滿足有界限制和航天器的姿態快速機動。

4.2 對比仿真分析

為驗證本文的雙環跟蹤控制器與反演控制器的區別,在相同控制器設計思路下,設計反演控制器。設計Lyapunov函數為V4(e)=V1(e)+V3(e),對V4(e)求導,有

反演自適應控制器為

(38)

當控制器為反演控制器(38)時，其他控制參數不變，得到仿真結果如下：

圖5 姿態角變化趨勢(反演)

圖6 三軸控制力矩曲線(反演)

通過對比圖2和圖5，圖3和圖6可以看出，姿態跟蹤軌跡和控制力矩的變化趨勢幾乎相同，說明在相同仿真條件和控制參數下，反演控制與雙環跟蹤控制器的控制效果相同。但相對于反演控制器的復雜結構，本文設計的雙環跟蹤控制器結構更為簡單。

5 結 論

本文以存在角速度有界約束的抓捕非合作目標航天器的姿態穩定控制為研究對象，結合雙環遞歸追蹤控制思想，在轉動慣量固定和轉動慣量攝動2種環境下，設計了航天器姿態魯棒控制器，并分析了所設計控制器能保證航天器角速度的有界性。

1) 將航天器的二階姿態動力學系統分解為外環、內環2個一階子系統，并分別為這2個子系統設計各自的軌跡跟蹤控制器，進而構建出一種雙環遞歸跟蹤控制器。通過理論分析和推導，證明此二階系統的漸近穩定性。相比于反演控制器，雙環追蹤控制器具有結構更簡單，其控制器設計的自由度更高等優點。

2) 對于轉動慣量固定和轉動慣量存在未知攝動的2種情況，應用BLF函數分別設計了相應的航天器姿態穩定控制器。通過理論分析和推導，證明該閉環系統具有漸近穩定性以及角速度有界性。數值仿真了捕獲非合作目標過程中的姿態穩定控制情況，結果顯示在本文設計的自適應姿態控制器作用下，抓捕航天器的姿態角與角速度實現了平緩收斂且無振蕩，展示出良好的動態品質。

3) 通過推論3可以看出，針對轉動慣量上界已知的航天器姿態控制，可以估算出基于本控制器的最大控制輸入力矩，對航天器執行機構的設計具有一定的指導作用。

4) 航天器在受較大瞬間沖擊力矩時，航天器姿態沒有改變，說明本文所設計控制器對瞬間強干擾不敏感。