擴展的(3+1)維淺水波方程的解析解

劉會彩，李東方

(許昌電氣職業學院公共教學部，河南 許昌 461000)

對非線性可積方程的研究正蓬勃發展，因為這些方程可用來描述海洋學、大氣領域和工程等領域的真實特征。這促使科學家們投入更多的工作來尋找非線性可積模型的解析解，如孤子解[1-8]，在理解非線性科學現象的各種定性和定量特征方面起著重要的作用。而最近幾十年，淺水波方程一直是廣大研究人員研究的熱點。淺水波方程是一種水深遠小于自由水面擾動的波長的模型。各種淺水波模型在海洋和大氣場中被廣泛地用于模擬水波傳播的動力學行為，比如：

(2+1)維淺水波方程

uxxxy+uyt-3uyuxx-3uxuxy=0

(1)

和

uxxxy+uxt-2uyuxx-4uxuxy=0

(2)

(3+1)維淺水波方程

uxxxyz+uyzt-6uxyuxz-6uxuxyz=0

(3)

和

uxxxyz+uxzt-2(uxxuyz+uyuxxz)-4(uxuxyz+uxzuxy)=0

(4)

本文將討論一個新的擴展的(3+1)維常系數淺水波方程[9]

uxxxy+uyt+αuxx+βuyy+γuxy+δuyz-3uyuxx-3uxuxy=0

(5)

其中u=u(x,y,z,t)，α，β，γ和δ是常數。這個方程是Abdul-Majid Wazwaz首先提出來的。他使用Painlevé分析證明了這個新發展的方程(5)具有可積性，給出了受參數α，β，γ和δ以及附加項系數影響的明顯色散關系。該作者還獲得了方程(5)的多孤子解和lump解。方程(5)其他的解析解尚未看到文獻研究過。

做變換u(x,y,z,t)=-2[lnξ(x,y,z,t)]x，可得方程(5)的Hirota雙線性形式

(6)

或者

(7)

事實證明，方程(6)和(7)的解是相同的。

2 解析解

為了獲得方程(7)的解，不妨設

ξ=e-xλ11-yλ12-zλ13-tλ14+exλ11+yλ12+zλ13+tλ14φ1+φ2tan(xλ21+yλ22+zλ23+tλ24)+φ3tanh(xλ31+yλ32+zλ33+tλ34)

(8)

其中φi和λij(i=1,2,3;j=1,2,3,4)是待定常數。將方程(8)代入方程(7)可得：

(9)

將方程(9)代入方程(8)和變換u(x,y,z,t)=-2[lnξ(x,y,z,t)]x中可得方程(5)的第一組新的解析解

(10)

為了了解方程(10)的動力學行為，我們給出了相應的三維圖形(a)、等高線圖(b)以及密度圖(c)(見圖1)。

(a)

(b)

(c)圖1 λ11=λ12=λ23=δ=γ= α=β=φ3=x=y=1,λ13=-1,φ2=2

(11)

將方程(11)代入方程(8)和變換u(x,y,z,t)=-2[lnξ(x,y,z,t)]x中可得方程(5)的第二組新的解析解

u2=-2(-

(12)

為了了解方程(12)的動力學行為，我們分別給出了(z,t)平面(a)、(y,t)平面(b)以及(x,y)平面(c)下的三維圖形(見圖2)。

(a)

(b)

(c)圖2 λ11=λ12=δ=γ=α= β=x=y=1,λ13=-1,φ1=2

(3)φ2=λ32=λ12=α=0

(13)

將方程(13)代入方程(8)和變換u(x,y,z,t)=-2[lnξ(x,y,z,t)]x中可得方程(5)的第三組新的解析解

(14)

為了了解方程(14)的動力學行為，我們給出了相應的三維圖形(a)、等高線圖(b)以及密度圖(c)(見圖3)。

(a)

(b)

(c)圖3 λ11=λ14=λ31=φ3=x=y=1, λ13=λ33=-1,φ1=2,λ34=-2

(4)φ3=λ22=λ12=α=0

(15)

將方程(15)代入方程(8)和變換u(x,y,z,t)=-2[lnξ(x,y,z,t)]x中可得方程(5)的第四組新的解析解

(16)

為了了解方程(16)的動力學行為，我們給出了相應的三維圖形(a)、等高線圖(b)以及密度圖(c)(見圖4)。

(a)

(b)

(c)圖4 λ11=λ14=λ21=φ2=x=y=1,λ13=λ23=-1,φ1=2,λ24=-2

3 結論

高階非線性可積方程能夠用來描述更為真實復雜的現實模型，研究這些方程的解析解是非常有意義的，目前已經有很多方法被提出來，比如：G’/G-展開式法、雙曲函數法、Hirota雙線性方法、三波法等等。本文主要通過Hirota雙線性方法和一個特定的函數，獲得了一個新的擴展的(3+1)維常系數淺水波方程的四組新的解析解，并對這些解的動力學行為進行了展示和分析。這些解有助于我們理解水深遠小于自由水面擾動的波長的模型。