一道習題的四種解法
2022-07-24 12:16:10韋珍
數理天地(初中版) 2022年3期
韋珍
例 如圖1，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P，求∠BPC的度數.
解法1 如圖2，在△ABC中，
∠A=40°，
∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
所以 ∠ABC+∠ACB圖2
=180°-∠A
=180°-40°
=140°.
因為∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P，
所以∠1=12∠ABC，
∠2=12∠ACB;
所以∠1+∠2=12∠ABC+12∠ACB
=12（∠ABC+∠ACB）
=12×140°=70°.
在△PBC中，∠1+∠2+∠BPC=180°，
所以∠BPC=180°-（∠1+∠2）
=180°-70°
=110°.
解法2 如圖3，延長BP，交于AC點E，
在△ABC中，∠A=40°，
∠A+∠ABC+∠ACB=180°.
所以∠ABC+∠ACB
=180°-∠A=180°-40°=140°，
因為∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P，
所以∠1=12∠ABC，∠3=12∠ACB;
所以∠1+∠3=12∠ABC+12∠ACB
=12（∠ABC+∠ACB）
=12×140°=70°.
因為∠2=∠1+∠A，
∠BPC=∠2+∠3，
（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和）.
所以∠BPC=（∠1+∠A）+∠3
=（∠1+∠3）+∠A
=70°+40°=110°.
解法3 如圖4，連接AP.
在△ABC中，∠A=40°，
∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
所以∠ABC+∠ACB
=180°-∠A=180°-40°=140°，
因為∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P，
所以∠1=12∠ABC，
∠2=12∠ACB，
所以∠1+∠2=12∠ABC+12∠ACB
=12（∠ABC+∠ACB）
=12×140°=70°.
又因為∠3=180°-（∠1+∠5），
∠4=180°-（∠2+∠6）.
所以∠3+∠4
=[180°-（∠1+∠5）]+[180°-（∠2+∠6）]
=360°-（∠1+∠2+∠5+∠6）
=360°-（70°-∠A）
=360°-（70°+40°）
=250°.
所以∠BPC=360°-（∠3+∠4）
=360°-250°
=110°.
解法4 如圖5，作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，PF⊥BC于點F.
因為∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P，
所以點P是△ABC的內切圓圓心.
因為BP平分∠ABC，
所以∠1=∠2.
又∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
所以∠3=∠4.
同理∠5=∠6.
所以∠5+∠3=∠6+∠4，
在四邊形ADPE中，
∠A+∠DPE+∠ADP+∠AEP=360°，
所以∠A+∠DPE=360°-90°-90°=180°，
所以∠DPE=180°-∠A=180°-40°=140°，
又因為∠DPE+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，
所以∠3+∠4+∠5+∠6
=360°-∠DPE
=360°-140°
=220°，
又∠5+∠3=∠6+∠4，
所以∠5+∠3=∠6+∠4=12×220°=110°，
所以∠BPC=∠6+∠4=110°.
