基于指數變換的對流占優反應擴散問題的有限體積法

鄒享明

（東北大學理學院，遼寧 沈陽 110000）

引言：考慮對流占優反應擴散方程：

Peclet 數

時，方程呈現雙曲性質，稱為對流占優反應擴散方程。方程的解在靠近求解區域的部分邊界附近急速變化，稱為邊界層現象，且Peclet 數越大，邊界層區域越窄。

1 問題守恒形式和差分格式的構造

將方程轉化為主部守恒形式，ρ (x,y),同時利用Green公式，得：

本文從該方程出發構建相應的有限體積元格式。

考慮如圖1 所示單元。對原方程在V0上積分，利用格林公式，有

圖1 外心對偶剖分網格

對式中V0上的積分有

其中S0是V0的面積；

對邊界上的積分有

得到方程解在有限體積單元V0上的離散格式：

下面討論差分方程的性質。在不引起混淆的情況下簡化下標，可改寫為：的相鄰節點集為M0，定義正則節點集，非正則節點集：

當Pi是非正則內點時，由邊界條件得

定義差分算子：

則差分方程可改寫為：

其中

易知Lh滿足：

因此Lh是橢圓型差分算子，方程解的存在唯一性由文獻[1]給出。

2 解的穩定性分析

考慮一種網格邊長為h 的正三角形剖分。不妨設P0

設Pi?Ω是一個內節點，當Pi的所有相鄰節點均為內節點時，稱為正則節點，否則稱為非正則節點。記Pi

首先證明W0在 Ωh2上取得其在 Ωh上的正的最大值。

若W0在 Ωh上為常數，結論成立；設W0不是常數，假設W0在上取得正的最大值M，必存在P0?使得 W0=M ，同時存在 Pi? M0使得 Wi＜M。又ai> 0，有

矛盾，所以W0在上取得其在 Ωh上的正的最大值。

引理2 得證。

定理1：差分方程

其中

證明：解的存在唯一性由定理1 給出。下面進行最大模穩定性估計：

將解分解為

則

定理2 得證。

3 解的誤差分析

由引理1 得

定理3 得證。

最后討論對流項系數不是常數的情形。引進對流項系數及相應指數變換在有限體積剖分區域上的分片常數逼近,

則方程在控制體積上改寫為：

在有限體積單元上積分，并利用格林公式，得

類似的，則可得到與之前差分方程一致的守恒型差分格式，其中用-→代替，且截斷誤差保持為 0 ( h2)。