促進數學核心素養發展的專題變式教學的建構
——以專題課“隱圓”為例

李 娃

（金華市永康中學 浙江 金華 321300）

“專題教學”一般指的是以某一類知識或思想、方法等為內容載體，以梳理數學知識、探索解題策略、掌握思想方法等為目標，而開展的一系列教學。其特點是,數學問題的系列性、數學知識的綜合性、思想方法的收斂性。“變式教學”是基于數學知識和數學問題的相似性、聯系性與結構性，從已經提出和解決的數學問題出發，通過改變問題的情境、條件、障礙或目標，提出蘊含著新的數學概念、原理、方法或結論的新問題的教學。 《義務教育數學課程標準2022版》指出，初中階段數學核心素養主要表現為：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識、創新意識。 中考前的最后復習階段是進一步促進數學核心素養發展的關鍵時期，而專題復習課中恰當的變式教學的建構為核心素養的發展搭建了很好的平臺，下面就以專題課“隱圓”為例，談談變式教學如何建構。

1.明確變式教學的目標

1.1 分析題目已知和未知條件，經歷如何想到構造圓、如何構造圓的過程，從圓的定義著手實現隱圓的構造。

1.2 在隱圓構造的過程中，如旋轉構圓、滑動構圓、折疊構圓、對稱構圓……它們的本質都是定點定長，體會變中不變的化歸思想。

1.3 通過以上的過程，體會到從確定圓的方法著手，變幻出破解圓的隱身術的不同方法。

1.4 體會到模型的獲得首先需要對模型本身的特點、功能等掌握的基礎上，才能構造出相應的模型，體會模型思想在解決問題中的重要性。

1.5 促進學生的抽象能力、模型觀念、創新意識等核心素養的發展

2.選定變式教學的載體

2.1 解決問題與提出問題相結合。如在教師提出變式并解決之后，可以放手讓學生自行編擬變式題。

2.2 運用數學知識與建構數學模型相結合。如可以一邊利用圓的定義和性質解決問題，一邊建構出三種隱圓模型：定點定長型、定邊對定角型、四點共圓型。

2.3 掌握數學知識技能與發展數學關鍵能力相結合。如通過不斷的變式使學生掌握隱圓的三種模型，進而發展學生的數學抽象能力、數學建模能力、化歸能力。

3.確定變式教學的策略

3.1 變任務驅動為思維導向

如給出引題之后，讓學生自主思考，看誰的方法最多、最快。這樣學生就不會僅滿足于求出∠BDC的度數這個任務驅動，而會更深入地思考，找到一種既簡便又全面的方法，做出隱圓，從而把學生的思維導向這節課的主題——隱圓。

3.2 強化變式教學的整體設計

（1）引題——引出模型

例 1.如圖 1，在 ΔABC中，AB=AC，∠A=60°，點D在ΔABC的外部，且在BC的上方，如果AD=AB，那么∠BDC=____°.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

設置此例為引題的目的是因為此題方法眾多，但有的方法很繁瑣，如生1的方法，而且還得對D點的位置進行分類，生2～生4的方法雖然簡便，但取的都是特殊位置，不全面，唯有生5的方法，既簡便、全面，又邏輯嚴密。學生從比較這幾種方法中，充分體會到作出隱圓后，可以利用圓的相關知識，如圓心角、圓周角，弦，弧等的關系來使解題過程優化簡便，從而深刻認識到學習隱圓的必要性。

變式.如圖7，在四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，則BD的長為____.

圖7

在變式之后由學生及時提煉出第一種隱圓的模型：定點定長型。

（2）源題

例2.如圖8，正方形ABCD的邊長為2，將長為2的線段EF的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時滑動，如果點E從點A出發，按A→B滑動到B止，同時點F從點B出發，按B→C滑動到C止，則線段EF的中點M經過的路徑長是____.

圖8

（3）漸變

可以通過改變載體如把正方形變成矩形、菱形等，也可以改變點的位置，或者加入動點，還可以改變運動的方式，如變旋轉為滑動、折疊、對稱等，或者改變問題的結論等，但不管怎么變，都是要形成定點、定長。在原題的基礎上，繼續變式：

變式1.如圖9，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點E、F分別是AB、BC邊上的兩動點，且EF=2，點M為EF的中點.連結DM，則DM的最小值是____.

圖9

圖10

變式2.在變式1的基礎上，取點N為AD邊上一動點，連結CN、MN，則CN+MN的最小值是____.

變式3.如圖11，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，點P是AD邊上的一個動點，連結BP，將ΔABP沿BP折疊，A落在A'.

圖11

（1）連結A'D，則A'D的最小值是____.

（2）連結A'C，設A'C的中點為Q，當點P從點A出發，沿邊AD運動到點D時停止運動，則點Q運動的路徑長是____.

（4）遞變

除了定點定長型還有什么情況下可以構圓？變式4～變式6設置的目的就是讓構圓模型的方法進一步延伸，提煉出定邊對定角型、四點共圓型。

變式4.如圖12，正方形ABCD中，AB=4，動點E從點A出發向點D運動,同時動點F從點D出發向點C運動，點E，F運動的速度相同，當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AF，BE相交于點P，則點P運動的路徑長是____.

圖12

變式5.如圖13,等邊三角形ABC的邊長為4，E、F分別是AC、BC邊上的兩個動點，且CE=BF，連結AF、BE，交點為P，則CP的最小值是____.

圖13

變式6.如圖14,等邊三角形ABC的邊長為4，P為AB邊上一動點，PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分別為D、E，則DE的最小值為____.

圖14

（5）總結

由學生總結如何構圓，哪些情況可以構圓？圓可以解決哪些問題？怎么解決？

3.3 在變式中促進學生核心素養的發展

有了整體的教學設計后，教學中恰當的課堂提問能起到穿針引線的作用，有助于學生形成良好的知識和認知結構。在引題部分，教師可以追問生5為什么想到畫圓？由學生概括出這3條線段的特征：共端點等線段，然后聯系圓的定義抽象概括出第一種隱圓模型：定點定長型，培養學生的抽象概括能力。

教師繼續追問：哪些運動會出現這種情況？生：旋轉、滑動、折疊、對稱……

師：為什么這幾種運動可以構圓？

生：因為它們的本質都是定點定長。通過這些運動的變式，目的是讓學生體會變中不變的思想，進而培養學生的化歸能力。

變式4～變式6之后繼續讓學生抽象概括出隱圓的另兩種模型：定邊對定角型和四點共圓型，培養學生的模型觀念。

3.4 增強學生在變式教學中的自主性

教師在變式時，要揭示變式產生的思維過程，然后可以放手讓學生自己提出變式，這樣做的目的是加強學生對這類問題的理解，逐漸把知識、方法內化，培養學生的創新意識。如在源題之后、漸變題之后讓學生接著變式。

生1：線段EF的中點M經過的路徑與正方形邊長圍成的面積是____.

生2：EF的兩個端點始終落在正方形的邊上，按逆時針方向滑動一周，線段EF的中點M經過的路徑長是____.線段EF的中點M經過的路徑與正方形邊長圍成的面積是____.

生3：如圖15，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=3，長為2的木棒EF緊貼著矩形的邊逆時針方向滑動一周，木棒的中點M經過的路徑長是____.中點M在運動過程中所圍成的圖形的面積是____.

圖15

生4：如圖16，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點F、N分別是AB、BC邊上的兩動點，點E在AD邊上且AE=2，將ΔAEF沿EF折疊形成ΔMEF，連結MN，DN，則DN+MN的最小值是____.

圖16

生5：如圖17，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將ΔAMN沿MN所在直線折疊得到ΔA'MN，連結A'C，則A'C長度的最小值是____.

圖17

本課中，利用變式教學把隱圓的問題串成串，教師幫助學生在復雜的問題中學會抽絲剝繭，運用數學思想，多題化歸，抽象概括出此類問題的三種基本模型，最終達到促進數學核心素養發展的目的。