基于命令濾波反步法的機械臂系統固定時間自適應跟蹤控制

侯書超，趙 林

（青島大學 自動化學院，青島 266071）

在工業生產和日常生活中，機械臂由于結構簡單、易于操作和高效等優點得到了廣泛的應用[1-2]。機械臂的跟蹤控制問題一直以來就是人們的研究重點，因為這需要很高的控制精度和穩定性[3-4]。近些年來，關于機械臂的跟蹤控制問題，提出了很多的控制方法，比如模型預測控制[5]、自適應滑模控制[6]和迭代學習算法控制等。因為機械臂通常的工作環境比較復雜，在工作時可能會受到各種干擾的影響，其模型的系統參數難以獲得。反步法是一種迭代控制算法[7]，經過多年的發展，目前已經應用到了很多領域，比如輸出調節、自適應跟蹤控制[8]、滑模變結構控制[9]等。傳統的反步法需要模型的具體信息，當系統參數不確定時，其應用將受到限制。反步控制通常與自適應神經控制[10]或自適應模糊控制[11]相結合，以處理非線性系統的未知動力學建模和參數不確定性問題。對于高階非線性系統，在反步設計過程中虛擬信號的重復微分會導致復雜性爆炸問題，這也限制了傳統反步設計在實踐中的進一步發展。為了消除復雜性爆炸的影響，文獻[12]提出了動態面控制，引入了一階濾波器來解決虛擬信號的重復微分問題。當動態面控制與神經網絡或模糊邏輯系統逼近技術相結合時，它可以用于處理非線性系統，比如機械臂系統的跟蹤問題[13-14]。然而，一階濾波器的引入將會帶來濾波誤差。在文獻[15]中首次提出了命令濾波反步法，這是一種改進的反步控制方法，它將虛擬信號的導數近似代替命令濾波器的輸出。命令濾波反步法不僅可以解決復雜性爆炸問題，還可以通過結合補償信號來消除濾波誤差。雖然這些控制算法在理論上已經取得了成功，但它們大多都是漸近穩定，跟蹤誤差的上界無法確定。

對于機械臂系統的跟蹤問題，收斂時間是一個非常重要的指標，因此漸近收斂存在明顯的缺陷。基于這個考慮，有學者提出了有限時間控制方法[16]，可以使系統狀態在預期時間內快速收斂。當初始狀態接近平衡狀態時，有限時間控制比漸近收斂具有更好的控制性能，如收斂速度更快和更好的抗干擾能力。近些年來，有限時間機械臂控制研究[17-18]受初始值影響較大，當初始值遠離平衡態時，收斂時間會變慢。固定時間控制[19]的收斂時間是預先確定的，與初始狀態無關。固定時間機械臂控制考慮[20-21]最終的跟蹤誤差收斂到原點附近期望的領域內。但齒隙廣泛存在于物理系統和設備中，比如電磁、機械等領域執行器和機械手系統。雖然目前已經有了針對齒隙問題的控制方案，但是對于不確定的機械臂系統，同時考慮齒隙和固定時間的研究很少?；诖丝紤]，本文將對帶有齒隙的不確定機械臂系統，提出一種固定時間命令濾波反步方法。相比于其他方法，本文主要優點如下所示：

（1）對比于文獻[17-18]中的有限時間機械臂系統，本文使用固定時間控制，不受系統初始狀態影響，最后的收斂速度也會更快且更加穩定；

（2）對比于文獻[20-21]中的固定時間機械臂系統，本文使用命令濾波反步法，不僅避免了復雜性爆炸問題，而且結合補償信號消除了濾波誤差的影響，跟蹤誤差收斂到原點附近期望的足夠小的鄰域。

1 理論準備

引理1[9]：對于正數λ1＞0，λ2＞0，γ∈（0，∞），如果一個連續函數滿足條件V˙（T）≤-λ1Va（t）-λ2Vb（t）+γ，存在?∈（0，1），那么V（t）將在時間Tr內收斂到平衡點，Tr≤Tmax=

引理2[9]：存在一個正常數h＞0，r＞0 而且?（m，j）＞0 滿足以下不等式：

引理3：對于xi∈R，i=1，…，N，0＜q≤1，有以下不等式：

2 機械臂系統的數學模型

本文所研究的機械臂的動力學模型如下：

式中：q∈Rn，∈Rn，∈Rn分別表示關節的位置、速度和加速度；M（q）∈Rn×n為對稱正定慣性矩陣；C（q，）∈Rn×n為科里奧利向心矩陣；G（q）∈Rn為模型的重力力矩；ψ=?（τ）為關節力矩，由齒隙特征描述，τ= [τ1，…，τn]T∈Rn，?（τ）= [?1（τ1），…，?n（τn）]T∈Rn×n，而且有

式中：D＞0 代表直線的恒定斜率，Sr＞0，Sl＜0 是恒定參數，?i（t_）則代表?i（τi）沒有變化。

假設1：齒隙參數在已知范圍內

然后，將?（τ）改寫為

式中：d（τ）= [d1（τ1），…，dn（τn） ]T，而且有

假設2：根據上述等式（5）和假設1，di（τi）滿足，其中λ 可表示為

注1：式（2）中的D 表示斜率，Sl和Sr表示非光滑齒隙非線性的寬度，所以在假設1 中的有界性假設是合理的。根據式（5）中di（τi）的定義，知道di（τi）是有界的，而控制器設計中不需要有界的λ。

關于動力學模型，如式（1），進一步給出了以下性質：

性質1：0＜km1In＜M（q）＜km2In，其中km1，km2都是已知的正常數。

性質2：動力學模型，如式（1），是具有未知動力學參數θ∈Rr1的線性參數。

性質3：對于任何x∈Rn，都有xT（M˙（q）-2C（q，q˙））x=0。定義新的變量為

然后等式（1）可以被改寫為

式中：y∈Rn是系統的輸出。

3 控制器設計

將跟蹤誤差信號定義為

式中：xd是期望的輸 出信號；xi，c是 固定時間命令濾波器的輸出：

式中：αi-1是命令濾波器的輸入，i=2，…，n，ηi＞0 是一個小的常數，0＜p＜1，q＞1。

定義虛擬控制信號α1和控制器τ 分別為

式中：k1，k2，c11，c12，c21，c22均為正常數，關于自適應更新律的定義如下：

式中：ρ＞0，Γ 是一個正定對稱矩陣。定義補償跟蹤誤差信號如下：

式中：ξ1是誤差補償，而且：

定理1：對于機械臂系統來說，如式（1），如果虛擬控制信號α1和控制力矩τ 選取類似于式（12），誤差補償機制如式（15），自適應更新律如式（13），那么跟蹤誤差會在固定時間內收斂到原點附近的一個很小的期望鄰域內，而且閉環系統內所有信號都有界。

證明：選擇李雅普諾夫函數為

對V1進行求導得到：

接下來把α1和代入式（17），得到：

選擇另一個李雅普諾夫函數：

同樣對V2求導得到：

根據性質2 和性質3 可得：

根據楊氏不等式，有：

代入式（22）可得：

根據引理2，可以得到以下不等式：

將式（25）的結果代入式（24）中，得到：

接下來考慮補償系統的李雅普諾夫函數：

對式（27）求導得到：

根據有界性原則，有以下不等式：

代入可得：

設計李雅普諾夫函數

選擇李雅普諾夫函數

有：

根據不等式的性質，可以得到：

C1，C2都是設計的參數而且都大于0，根據前文的引理2，得到以下兩個不等式：

所以可得到：

令

則不等式（40）可以轉化為

其中：

根據以上的分析，存在一個常數0＜?＜1，使得?i最終在固定時間內收斂到：

而且ξi在固定時間內收斂到：

固定時間

注2：式（12）中的虛擬信號α1用來保證等式（9）中的第1 個子系統在第1 步的反步設計過程中有期望的性能。然而傳統的反步法對需要α1反復求導，這會導致復雜性爆炸問題，如式（20）及式（22～26）所示。本文中使用命令濾波器的輸出來代替虛擬信號的導數α˙1，可以簡化計算過程。在濾波器如式（11）達到穩定之前，濾波誤差（x2，c-α1）都會存在并且影響控制質量。等式（15）的誤差補償機制可以消除濾波誤差帶來的影響，提高系統控制質量，保證所需的控制性能。

注3：為了實現定理1，在參數選擇上，需要滿足以下要求：

由式（14）和式（46）～式（47）可得，跟蹤誤差的半徑由Δ1和Δ2決定，Δ1，Δ2的取值越大，跟蹤誤差的半徑就會越小。同理，固定時間控制的收斂時間Tr也和Δ1，Δ2有關，Δ1，Δ2的取值越大，收斂時間越短，收斂速度就越快。

4 仿真結果與分析

在本節中，將提出的算法應用到單連桿機械臂系統中，利用Matlab 軟件進行仿真分析，來證明此算法的有效性。單連桿關節機械臂系統的動態方程如下：

根據式（9），將下列方程作為本次仿真的研究對象：

式中：M=0.5，g=10，L=1，P=1，J=1。在仿真程序中，定義初始值為q（0）=0.159π rad，期望的輸出信號為xd=sin（t）rad。在參數選擇上，c11=c12=4，c21=c22=4，0.2，0.2｝。關于齒隙參數，選擇D=1，Sr=1，Sl=1。對于前文的性質2 來說：

選擇動態回歸矩陣和θ：

虛擬控制信號α1和控制器τ 分別為

補償信號為

通過仿真得到的響應曲線，如圖1～圖5所示。圖1展示了在固定時間控制下，關節構型向量q 和期望輸出信號xd的跟蹤曲線圖，從圖中可以看出跟蹤效果良好。圖2是自適應律?^的響應曲線圖，可以看出，機械臂的關節配置向量最終在固定時間內以足夠的精度收斂到參考信號，這意味著盡管存在不確定參數和未知齒隙，但仍能保證期望的跟蹤誤差。圖3是固定時間下濾波器輸出x2，c和虛擬控制信號α1的響應曲線圖，可以看出在固定時間濾波器的作用下，虛擬控制信號被快速濾波。圖4和圖5分別是在固定時間控制和有限時間控制下，通過改變關節構型向量的初始值q（0）來驗證固定時間的控制效果，以及對比有限時間控制的優點。從這兩張圖可以看出，相比于有限時間控制，固定時間控制的收斂速度更快，而且不受初始狀態的影響，隨著時間的推移，最后的跟蹤誤差也更小，精確度更高。

圖1 機械臂系統的q 和xd 跟蹤響應曲線Fig.1 Tracking response curve of q and xd of manipulator system

圖2 固定時間控制下（z=1，2，3，…）的響應曲線Fig.2 Response curve of （z=1，2，3，…） under the fixed-time control

圖3 固定時間控制下的x2，c 和α1 的響應曲線Fig.3 Response curve of x2，c and α1 under the fixed-time control

圖4 固定時間控制下改變初始值q（0）的響應曲線Fig.4 Response curve of changing initial value q（0）under fixed time control

圖5 有限時間控制下改變初始值q（0）的響應曲線Fig.5 Response curve of changing initial value q（0）under finite time control

5 結語

針對參數不確定、齒隙未知的機械臂系統，本文提出了一種自適應固定時間命令濾波反步法來實現跟蹤控制。在高階非線性系統中，由于傳統反步法對虛擬控制信號的反復求導會導致復雜性爆炸，本文引入固定時間命令濾波器，用濾波器的輸出來代替虛擬控制信號的導數，以此來避免復雜性爆炸問題。而且，提出的誤差補償機制可以補償濾波誤差，得到更好的控制質量。因為固定時間控制的收斂時間是預先確定的，所以本文所使用的固定時間控制算法，可以不受初始狀態的影響。最終，閉環系統內所有信號都有節且收斂，跟蹤誤差也在固定時間內收斂到原點附近的期望領域內。