基于柱對稱梯度折射率體系的可調控光束傳輸*

溫廣鋒 趙領中 張琳 陳毅云 羅圻林2) 方安安 劉士陽?

1) (浙江師范大學信息光學研究所,金華 321004)

2) (廣西民族大學相思湖學院,南寧 530225)

采用磁性電磁超構材料,設計了具有柱對稱梯度折射率分布的二維體系,根據梯度的不同可以實現光束的不同調制功能.通過等效介質理論,可以計算磁性電磁超構材料的等效電磁參數,從而獲得等效折射率.而且,隨著磁性柱半徑的變化,可以實現等效折射率的靈活調制.尤為特別的是,通過改變外加偏置磁場的空間分布,可以實現不同的折射率梯度,這也是磁性電磁超構材料相對于普通介質體系的優越性.基于多重散射理論,對光束在二維體系中的傳輸行為進行了模擬計算,研究結果表明通過調制外加偏置磁場可以實現光束的囚禁、光束的內偏折和外偏折、以及分束等功能.而且,通過改變外加磁場可以實現不同功能間的切換,這種靈活的調制能力為光束傳輸提供了新的自由度.

1 引言

調控電磁波的傳輸及其與物質的相互作用是物理學和光學中最基本的問題,隨著新型光學材料的引入,各種不同于傳統方式的電磁現象得以實現并開啟了廣泛的應用空間.通過設計不同的晶格結構,光子晶體可以靈活調制的光子能帶性質,實現了豐富的物理特性,包括初期的光子帶隙、負折射[1],到近期以光子晶體為平臺的拓撲邊界態、連續譜中的束縛態、谷光子學及高階量子自旋霍爾效應等[2?5].電磁超構材料的提出可以實現靈活的電響應和磁響應,原則上能夠設計出具備任意介電常數和磁導率的等效電磁介質,為電磁波的傳輸和調控提供了更大的自由度[6].超表面,即在平面上設計的超構電磁材料[7,8],可以同時實現對電磁波的振幅、相位以及極化的調制,進一步豐富了電磁現象并帶來了更為廣闊的應用前景[9?11].

變換光學這一理論的提出為超材料的設計提供了極大的便利,它可以實現功能指向型的電磁體系設計,即基于麥克斯韋方程組在不同坐標系下的形式不變性,把電磁波在空間的傳輸特性映射到空間中的電磁參數分布[12,13].很多奇異的電磁現象和新穎的電磁特性在變換光學的理論框架下都得以實現[14?16],而且這一理念也進一步推廣到其他的理論體系中,包括聲波[17]、彈性波[18]、熱輻射[19]、物質波[20]、自旋波[21]、直流電場[22]以及直流磁場[23].但是,基于變換光學的介質往往都存在各向異性,這增加了制備過程中的難度.因此,采用各向同性梯度介質進行變換光學體系的設計引起了廣泛的關注[24?26].較為典型的體系包括 Maxwell 魚眼透鏡、Eaton 透鏡和 Luneburg 透鏡,在理論和實驗上這些體系都得到了深入的研究[27?31].還有一類典型的體系,稱為電磁“黑洞”,它以電磁體系模仿天體力學中的黑洞效應[32],在水波、聲波以及自旋波體系中也觀察到類似的現象[33?35].

在通常的“黑洞”體系設計中,通過超構材料實現特定的折射率梯度,一旦體系的結構確定以后,其對應的性質是不能改變的,從而降低了體系的靈活性.本文的研究工作就是實現可調控的梯度折射率體系設計,為了達到這一目的,引入了磁性電磁超構材料.在該體系中,等效折射率可以通過外加偏置磁場進行調控,從而使梯度折射率體系表現出不同的電磁波傳輸特性,并能夠通過改變外加磁場實現不同功能的切換.

2 梯度折射率體系和設計方案

本文探討的梯度折射率體系是具有柱對稱特征的二維體系,其折射率沿著徑向呈現梯度分布.它由兩部分構成,即梯度折射率殼層和內核區域的吸收體,折射率的徑向分布可表示為

其中,R表示梯度折射率體系的外半徑,rc表示內核吸收體的半徑.梯度折射率殼層的折射率梯度由參數η決定,稱為折射率梯度指數.而內核吸收體部分的折射率為常數,且引入虛部n′,以實現吸收的功能.

為了實現梯度折射率分布,采用磁性電磁超構材料實現等效介電常數和等效磁導率,即采用周期性分布的磁性柱陣列構建電磁超構材料.與普通的介質不同,磁性材料的等效電磁參數可以通過外加磁場或者溫度進行調制[36?38],因此增加了新的自由度,可用于構建可調控折射率梯度體系.磁性材料的典型特征就是具備本征的磁性響應,磁導率是與頻率有關的二階張量.本文設定磁性柱的中心軸為z方向,對于沿著軸向飽和磁化的磁性柱而言,其磁導率為[39]

其中

式中,ω0=2πγH0為共振頻率,由外加偏置磁場H0決定;ωm=2πγMs為特征頻率,取決于材料的飽和磁化強度Ms,γ為旋磁比且其值為 2.8 MHz/Oeω是入射電磁波的頻率,α是衰減因子,它決定了磁性材料吸收損耗的大小.在梯度折射率殼層中,采用吸收很小的磁性材料,方便起見取α=0.而對于內核的吸收體部分,需要較為明顯的吸收,取α=3×10-3.飽和磁化強度Ms的值與溫度有關,因此通過改變溫度可以調制磁導率.同時,也可以看到磁導率與外加磁場H0有關,本文就是通過改變外加偏置磁場調制等效電磁參數的分布.而且,對于 (2) 式中的磁導率,只有磁場分量在xoy平面內的電磁波,即橫磁 (transverse magnetic,TM) 模式才能與磁矩發生相互作用,這也是本文采用的電磁波模式.

首先,采用常規的方法進行折射率梯度體系的設計,對連續的折射率進行離散化處理,即劃分成等厚度的殼層結構.圖1(a) 給出了對應的示意圖,整個結構包含 25 個殼層,每層厚度為a=12mm,即梯度折射率體系的尺寸為R=25a=300mm.進而,在每個殼層中均勻放置磁性柱陣列,磁性柱的間距近似等于殼層厚度a,保證磁性柱的空間均勻分布,以便于采用等效介質理論提取等效介電常數和等效磁導率[40].很顯然,通過改變磁性柱的半徑r就可以改變相應的等效電磁參數,這也是梯度折射率體系的通常設計方案[9,18,41?44].如圖1(a)所示,在梯度殼層中半徑是隨著層數N變化的,可以看成它的函數r(N).對于內核吸收體部分,包含5 個殼層,其中的磁性柱半徑是不變的,其值與相鄰梯度殼層的相同,如圖1(b) 中的半徑分布所示.不同的是,此時在磁性柱中引入吸收,即取衰減因子α=3×10-3.

圖1 通過改變結構中的半徑分布來實現折射率梯度指數 η=2 的體系 (a) 結構示意圖顯示該體系包括 25 層,每層的厚度a=12 mm,內核吸收體半徑 rc=5a,體系的半徑 R=25a,磁性柱的相對介電常數 εs=25 ;(b) 不同殼層中的磁性柱半徑和(c) 相應的等效介電常數 εeff、等效磁導率 μeff 及由此得到的等效折射率 neff ;高斯光束入射到該體系的(d)電場分布和(e)強度分布.施于體系的外加偏置磁場 H0=480 Oe,工作頻率為 f=2.7 GHz.白色圓形標記出體系的邊界和內核吸收體的邊緣位置Fig.1.The system with gradient index η=2 are implemented by varying the rod radius:(a) Schematic diagram presents the system made up of 25 concentric layers with the layer thickness a=12 mm,the radius of the absorbing core part rc=5a,the radius of the system R=25a,and the relative permittivity of the ferrite rod εs=25 ;(b) ferrite rod radius as well as (c) the effective permittivity εeff,permeability μeff,and the corresponding effective index neff are plotted as the functions of the number of the layer;(d) electric field pattern and (e) corresponding intensity pattern are simulated for the on-center incidence of a Gaussian beam on the system.The bias magnetic field is H0=480 Oe and the operating frequency is f=2.7 GHz.Two white circles denote the boundaries of the system and the absorbing core part,respectively.

采用上述方案,可以構建折射率梯度η=2 的體系,它對應于折射率梯度的臨界指數,即剛好實現電磁“黑洞”效應,這在早期的工作中已經進行了詳細討論[45].采用等效介質理論,可以獲得等效介電常數εeff和等效磁導率μeff,結果如圖1(c) 所示.圖中,等效介電常數采用綠色菱形符號標記,等效磁導率采用紅色圓形符號標記,可以看出等效折射率的分布與解析表達式的分布情況是符合的.中心區域的等效電磁參數在圖中的黃色區域標記,方便起見,圖中只提供了等效電磁參數的實部.而在數值計算中,嚴格計算了內核吸收體的等效復介電常數和等效復磁導率1.96+i 0.08,由此可得相應的等效折射率為.進而,采用多重散射理論對該體系中的電磁波傳輸情況進行了模擬,結果如圖1(d) 和 圖1(e) 所示.相對于其他的數值模擬方法,基于多重散射理論進行本文中梯度體系的計算具有精度高、速度快的優點[46,47],當然也可以把該體系看成是多層柱結構采用等效電磁參數在Mie 散射理論框架下進行近似模擬計算.但是,由于采用的是等效電磁參數,這樣的模擬并不嚴格,不能保證模擬結果的可靠性.因此,在本文所有的梯度體系中,都采用多重散射理論進行相關的模擬.由圖1(d)和圖1(e)中的電場圖和相應的強度分布圖,可以看出入射的高斯光束進入電磁“黑洞”區域以后,明顯向中心匯聚,在進入內核吸收體部分后直接被吸收.這一結果與預期的“黑洞”效應是一致的,這也是該體系可以用于能量收集的原因.

3 外加磁場調控的梯度折射率體系構建和性質

在上面的研究結果中,通過改變磁性柱的尺寸實現了梯度折射率體系的設計,而外加偏置磁場是均勻的.這樣的結構在設計好以后,其對應的電磁性質和功能是固定的,限制了系統的靈活性.而磁性體系的優點就在于,電磁性質可以通過外加磁場進行調制,實現不同功能間的切換.基于這一原因,接下來采用梯度磁場來實現不同梯度折射率體系的設計[48,49].在這一設計中,為了減小電磁波的反射,將體系劃分為3 個區域,即內核吸收體區域、內部梯度折射率區域以及外部梯度折射率區域.在結構的設計中涉及兩種磁性半徑,分別是rs=0.35a和=0.12a.為了體現外加偏置磁場對等效電磁參數的調控能力,計算了不同外加磁場下的等效介電常數εeff和等效磁導率μeff,結果如圖2 所示.可以看出,隨著外加偏置磁場的改變,等效電磁參數也隨之發生連續變化且變化較為緩慢.這一特點表明,采用梯度外加磁場可用于設計不同的梯度折射率體系,而且隨著外加磁場的改變可以實現體系在不同的折射率梯度間切換.由圖2(a) 可以看出,對于半徑較小的磁性柱體系等效折射率變化較小neff∈[0.88,1.5],因此適用于構建體系的外層區域,而且可以減小邊界上的反射.而對于半徑較大的磁性柱體系等效折射率變化范圍較大neff∈[0.35,14.5],可用于構建體系內層區域.需要指出的是,在圖2(b) 中的左側區域等效電磁參數變化很快,導致在不同殼層上發生較大的反射,因此不適于構建梯度折射率體系.顯而易見,隨著折射率梯度指數η的改變,光束在進入折射率梯度體系后的傳輸軌跡也是不同的,為此考察4 個典型梯度指數,即η=2,–1,1,3.首先,探討折射率梯度指數η=2 的情況,即電磁“黑洞”體系,以便與圖1 中的結果進行對比.體系的示意圖和相關的計算結果如圖3 所示,此時的磁性柱半徑分為內部和外部兩種尺寸,在后面的所有分析中固定不變.折射率梯度是通過外加偏置磁場的特定分布來實現的,圖3(b) 給出了對應η=2 時的外加磁場分布情況,可以看出,此時外加磁場的變化較為緩慢.圖3(c) 給出了不同區域的等效電磁參數,內核吸收體部分雖然只提供了實部,相應的等效復電磁參數亦可通過等效介質理論獲得,即等效復數折射率表示為從而,圖3(d)—(g)的電場分布中不會出現較強的反射,也表明其可以用于梯度折射率體系的構建.在對心入射的高斯光束情況中,可以明顯看到高斯光束進入體系后的匯聚并被內核吸收體所吸收,這與圖1(d) 和圖1(e) 的結果基本相同.數值計算結果表明,內核吸收體的吸收效率達到98%,還有接近2% 的光束被反射.而對于偏心入射的高斯光束,可明顯看到光束向內側偏轉并圍繞內核部分形成螺旋彎曲,就像“黑洞”一樣把靠近的物質吸收并囚禁于其中,內核吸收體的吸收效率達到89%.此時,可以看出反射明顯增加,計算表明反射率達到8%,還有3% 的能量從系統中逃逸.因此,在大多數的工作中,電磁“黑洞”體系都是用于設計電磁波和聲波等的能量收集.但是,從本文的模擬結果中可以看到部分光束逃逸出“黑洞”的范圍,這一結果來源于兩個原因:一是內核吸收體的吸收不夠強,沒有將靠近的光束快速吸收;二是內核區域的折射率是有限的,而非是理想“黑洞”時的折射率奇點,即n|r=0→∞[45].

圖2 采用等效介質理論計算 εeff、μeff 以及 neff 隨外加偏置磁場 H0 的變化.把磁性電磁超構材料看成是正方晶格,晶格常數為 a=12 mm,考察了兩種不同磁性柱大小的情形 (a) 磁性柱半徑為 =0.12a ;(b) 磁性柱半徑為rs=0.35a.工作頻率為 f=2.7 GHzFig.2.The effective permittivity εeff,permeability μeff,and the corresponding effective index neff retrieved with the effective-medium theory are plotted as the functions of the bias magnetic field H0.The magnetic metamaterial is considered as a square lattice with lattice separation a=12 mmand two different rod radii with (a)=0.12a and (b) rs=0.35a are investigated.The operating frequency is f=2.7 GHz.

對于圖3(a) 中的結構,可以通過改變外加偏置磁場,實現另一種折射率梯度反轉的體系,即η=-1.此時,折射率隨著半徑減小而減小,對應的體系對光束的響應也會出現明顯的變化.由于此時的折射率梯度減小,外加偏置磁場的變化也會變得緩慢,這可以通過對比圖4(a) 與圖3(b) 中的外加磁場H0的分布明顯看出.此時的等效電磁參數如圖4(b) 所示,其變化范圍較小,相鄰層間的等效折射率更為接近.而且,由于梯度折射率指數為負,內核吸收體的等效電磁參數會明顯減小,其對應的等效復介電常數為 等效復磁導率等效復折射率為因此體系內的反射會有所減少,這一點可以從圖4(c)—(f) 中的電場分布中看出.在對心入射的情況下,內核吸收體的吸收效率達到65%,邊界上的反射率為1%,剩余34% 的能量由體系出射,實現了分束的效果.而且,還可以看到與電磁“黑洞”吸引作用相反,此時體系表現出對高斯光束的向外“排斥”.因此,在對心入射時呈現分束的特性,就像體系把光束推到外面;偏心入射時的效果更為明顯,光束直接向外偏折.此時,出射光束的效率達到77%,明顯提高.而且,反射較小,低于1%,剩余22% 的能量被內核吸收體吸收.

圖3 通過改變空間中的外加偏置磁場 H0 分布實現折射率梯度指數 η=2 的體系 (a) 結構示意圖顯示該體系包括 25 層,每層的厚度 a=12 mm,內核吸收體半徑 =7a,折射率梯度區域的內殼層半徑為 r1=20a,體系的半徑 R=25a ;(b) 不同殼層中的外加磁場 H0 的分布;(c) 相應的 εeff,μeff 及 neff.高斯光束對心入射到該體系的(d)電場分布,(e)強度分布以及偏心入射的(f)電場分布和(g)強度分布.內部區域和外部區域的磁性柱半徑分別為 rs=0.35a,=0.12a,工作頻率為 f=2.7 GHz,白色圓形標記出體系不同區域的位置Fig.3.The system with gradient index η=2 are implemented by varying the distribution of bias magnetic field H0 :(a) Schematic diagram presents the system made up of 25 concentric layers with the layer thickness a=12 mm,the radius of the absorbing core part =7a,the inner radius of the gradient index area is r1=20a,and the radius of the system R=25a ;(b) the bias magnetic field H0 ;(c) εeff,μeff,neff.The electric field patterns and the corresponding intensity patterns are simulated for the on-center((d),(e)) and off-center ((f),(g)) incidence of a Gaussian beam on the system to illustrate the electromagnetic“black hole”effect.The ferrite rod radii are rs=0.35a and =0.12a for the inner and outer areas,respectively,and the operating frequency is f=2.7GHz.Three white circles denote the boundaries of different areas in the system.

圖4 通過改變空間中的外加偏置磁場 H0 分布實現折射率梯度指數 η=-1 的體系,體系結構與圖 3 相同 (a)外加偏置磁場H0的分布;(b) εeff,μeff,neff 分布.高斯光束對心入射到該體系的(c)電場分布,(d)強度分布,以及偏心入射的(e)電場分布,(f)強度分布.內部區域和外部區域的磁性柱半徑分別為 rs=0.35a 和 =0.12a,工作頻率為 f=2.7 GHz.白色圓形標記出體系不同區域的位置Fig.4.The system with gradient index η=-1 are implemented by varying the distribution of bias magnetic field H0.The schematic diagram is the same as that in Fig.3:(a) The distribution of bias magnetic field;(b) εeff,μeff,neff.The electric field patterns and the corresponding intensity patterns are simulated for the on-center ((c),(d)) and off-center ((e),(f)) incidence of a Gaussian beam on the system.The ferrite rod radii are rs=0.35a and =0.12a for the inner and outer areas,respectively,and the operating frequency is f=2.7 GHz.Three white circles denote the boundaries of different areas in the system.

進而考察了折射率梯度指數η=1 的情況,剛好與η=-1 的體系形成對比,也便于理解梯度折射率體系對光束傳輸的調控.外加偏置磁場的分布和相對應的等效電磁參數變化如圖5(a) 和 圖5(b)所示,此時二者都是隨著層數的增加而減小,這與圖4(a) 和 圖4(b) 剛好相反.內核吸收體的等效電磁參數分別為取值相比于電磁“黑洞”情況下明顯減小.從圖5(c)—(f) 的電場分布情況能夠看到更為明顯的效果,對于對心入射的高斯光束體系仍然表現出類似于電磁“黑洞”的吸引效應,但光束的匯聚效果要弱很多.此時,內核吸收體的吸收效率接近95%,反射率低于1%,剩余4%的能量逃逸到體系之外.對于偏心入射的高斯光束,可以看到由于體系的吸引而向內偏折,出射光束的效率為36%.同時,內核吸收體仍然較為明顯,達到63%,在邊界上還存在近1%的反射.由此可以發現,η ＞0 的梯度折射率體系表現出對光束的“吸引”,η ＜0 的梯度折射率體系表現出對光束的“排斥”,而對應的強度大小取決于體系的折射率梯度值 |η|.需要指出的是,內核吸收體的引入是為了實現電磁“黑洞”效應的完美吸收,但是它會降低光束調控的效率,這在不同功能的轉變過程中是不可避免的.

圖5 通過改變空間中的外加偏置磁場 H0 分布來實現折射率梯度指數 η=1 的體系.體系結構與圖 3 相同 (a)外加偏置磁場H0的分布;(b) εeff,μeff neff.高斯光束對心入射到該體系的(c)電場分布和(d)強度分布,以及偏心入射的(e)電場分布和(f)強度分布.內部區域和外部區域的磁性柱半徑分別為 rs=0.35a 和 =0.12a,工作頻率為 f=2.7 GHz.白色圓形標記出體系不同區域的位置Fig.5.The system with gradient index η=1 are implemented by varying the distribution of bias magnetic field H0.The schematic diagram is the same as that in Fig.3:(a) The distribution of bias magnetic field;(b) εeff,μeff,neff.The electric field patterns and the corresponding intensity patterns are simulated for the on-center ((c),(d)) and off-center ((e),(f)) incidence of a Gaussian beam on the system.The ferrite rod radii are rs=0.35a and =0.12a for the inner and outer areas,respectively,and the operating frequency is f=2.7 GHz.Three white circles denote the boundaries of different areas in the system.

最后,考察折射率梯度指數η=3 的情況,由于梯度的增加,外加磁場和等效電磁參數的變化更快,如圖6(a) 和 圖6(b) 所示.這也增加了不同殼層間的不連續性,因此入射的光束會在不同界面發生反射,這可以從圖6(c)—(f) 中的電場分布看出.相比于η=2 的情況,光束會更快地匯聚到中心區域,并被內核吸收體吸收,表現出更高的吸收效率.因此,利用不同類型“黑洞”體系可以模仿黑洞效應,也可以用于對應類型波能量的收集,提供了廣泛的應用空間.在這一理論工作中,梯度磁場是實現不同現象和功能的核心,而在通常的實驗中可采用永磁體和電磁體提供磁場.但是,要實現本文梯度折射率體系中磁場的精確控制,需要在每個磁性柱位置分別放置線圈實現外加偏執磁場的逐點控制,這一想法在磁性超構材料的研究工作中已有提及[50].而且,在真實情況下,磁性柱是有限長的,而不是理論中的無限長情況.為了達到同樣的效果,在實驗中相應的結構是置于金屬平面波導中進行的,相關的實驗結果已經表明二者是一致的[51?53].最近的研究工作表明[54],在采用不連續等效折射率的異質結構中,還可以實現光束的可調控非對稱傳輸,這也體現了外加偏置磁場作為一個特別的自由度發揮了重要的作用.

圖6 通過改變空間中的外加偏置磁場 H0 分布實現折射率梯度指數 η=3 的體系,體系結構與圖 3 相同 (a)外加偏置磁場H0分布;(b) εeff,μeff,neff.高斯光束對心入射到該體系的(c)電場分布,(d)強度分布,以及偏心入射的(e)電場分布,(f)強度分布.內部區域和外部區域的磁性柱半徑分別為 rs=0.35a 和 =0.12a,工作頻率為 f=2.7 GHz.白色圓形標記出體系不同區域的位置Fig.6.The system with gradient index η=3 are implemented by varying the distribution of bias magnetic field H0.The schematic diagram is the same as that in Fig.3:(a) The distribution of bias magnetic field;(b) εeff,μeff,neff.The electric field patterns and the corresponding intensity patterns are simulated for the on-center ((c),(d)) and off-center ((e),(f)) incidence of a Gaussian beam on the system.The ferrite rod radii are rs=0.35a and =0.12a for the inner and outer areas,respectively,and the operating frequency is f=2.7 GHz.Three white circles denote the boundaries of different areas in the system.

4 結論

采用等效介質理論和多重散射理論,探討了采用磁性電磁超構材料構建二維梯度折射率體系的效果和效率,通過改變外加偏置磁場的梯度獲得了不同的折射率梯度,從而實現了對光束的調控.結果表明,對于折射率梯度指數η ＞0 的情況,體系表現出對光束的“吸引”,而η ＜0 的體系表現出對光束的“排斥”,從而可以實現光束的內向偏折和外向偏折.當折射率梯度指數η≥2 時,體系實現了電磁“黑洞”效應,且梯度指數的增加能夠增強體系對光束的囚禁能力.由于外加磁場的可調性,可以實現體系在不同的功能間切換,提高了體系對光束傳輸的調控能力.